【正文】 說實(shí)話，我感到任教這樣班級的數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于我的教學(xué)思考實(shí)踐和驗(yàn)證，有利于我對基礎(chǔ)較弱學(xué)生學(xué)習(xí)效率提升的探索，有利于對全年級、甚至全校教學(xué)質(zhì)量，特別是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的促進(jìn)和提高。如再乘新課改“學(xué)分制”給予研究性學(xué)分的東風(fēng)，此項(xiàng)工作很容易推進(jìn)。其實(shí)立體幾何的考題，絕大多數(shù)是中等難度的考題。再比如立體幾何教科書，因?yàn)槭軞W幾里德體系影響，全書的體系和條理十分清晰。6 、提綱擴(kuò)充法語文教與學(xué)中，許多有經(jīng)驗(yàn)的老師，在分析課文和指導(dǎo)學(xué)生作文時，有一種根據(jù)課文提練提綱（縮寫也是一種）和寫作大塊文章之前先列出提綱的做法，一篇很長的文章，也許可縮寫成一小段文字，或者就是幾個簡明扼要的提綱（本篇開頭中語文老師的一、二、三、四、五，就是一個最好的例子），一個章節(jié)、一個單元、甚至是一本數(shù)學(xué)教材，也可以學(xué)習(xí)這位語文老師的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行巧妙的數(shù)字編號，讓學(xué)生帶著這些編號去整理，去充實(shí)。5 、類比對應(yīng)法根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容，聯(lián)想已學(xué)過的知識，進(jìn)行適當(dāng)?shù)芈?lián)想、類比，找出新、老知識的共同點(diǎn)、不同點(diǎn)，進(jìn)行復(fù)習(xí)和總結(jié)，能使新、老知識和方法形成一個立體的體系，達(dá)到復(fù)習(xí)、激活老知識，鞏固新學(xué)知識的目的。數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)一段時間以后的復(fù)習(xí)總結(jié)，由于學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，已經(jīng)出現(xiàn)了水平不一、差次不齊的局面，教師如果包辦代替，很難讓每一個學(xué)生都感興趣，很難讓每一個學(xué)生都有很好的收獲，很可能是低效的。否則，只能是當(dāng)時對這樣的特別技巧，感到一種贊嘆，時間不久就會遺忘。這就提醒教師和學(xué)生，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對典型例題和重要的解題方法，要給予充分地關(guān)注，廣泛地進(jìn)行搜集和歸納。無形中還教給了學(xué)生在很長的時間以后，甚至是對三角函數(shù)的許多公式的記憶開始模糊以后，利用自己的推導(dǎo)，可以迅速地重新找回自己解決問題時所需要的三角函數(shù)公式的一種方法。如果學(xué)生對概念和方法真是深刻理解了，即使在教與學(xué)的很長時間以后，也能夠用很少的關(guān)鍵知識、公式信息，進(jìn)行其余知識和公式的推導(dǎo)。詳見本書中學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥案例介紹）再后來，我引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)概念時，要注意做到：１、學(xué)會用自己的語言來敘述，即使說得不準(zhǔn)，冗長一些也沒有關(guān)系，達(dá)到理解的目的就可。1 、概念梳理法現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教材中的概念，較其它任何學(xué)科的教材，表達(dá)得更明顯和直觀（有時教材中所選用的字體也有不同），如果教師在每章節(jié)、每單元的課堂教學(xué)結(jié)束以后，僅僅是簡單地羅列一下，或者是讓學(xué)生自己去收集整理一下，是很容易做到的一件事。其總結(jié)的方法，讓我一個數(shù)學(xué)教師讀過以后，感到在很長的時間里不能忘懷。真沒有想到，學(xué)生認(rèn)為老師是因?yàn)樗麄兌軅?，感恩的情結(jié)特別濃，每天的作業(yè)完成得比我上課時所布置的作業(yè)還要認(rèn)真、還要好。萬般無奈的情況下，我摸索出了一套指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)自學(xué)的方法。1０、自學(xué)輔導(dǎo)法“改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。２、平行于同一條直線的兩個平面必然平行。例如在師生共同探究了題目：在△ABC 中，求證： tanA+tanB+tanC= tanA如果說，我們的平常教學(xué)，是在風(fēng)和日麗的環(huán)境下師生一道行走，那么，學(xué)生難理解的內(nèi)容、容易出錯內(nèi)容的學(xué)習(xí)，就好比是雨地里師生一道行走，教師比較巧妙地在易錯問題的地方組織學(xué)生討論，即使 “在雨天的路上跌倒了，爬起來還有一身泥。我總是認(rèn)為，老師上課要實(shí)實(shí)在在地以學(xué)生是否聽懂、是否掌握為主，沒有想到自己給自己帶來了麻煩。時間不長，有的同學(xué)說有０度，同學(xué)們大笑，“兩直線所成角是０度時，是兩平行直線，怎么還是異面直線？”（鞏固了兩異面直線的基本概念）有的同學(xué)說有４５度，有的說有６０度，有的說９０度，并分別指出了是哪兩條直線構(gòu)成的異面直線對。利用“數(shù)形結(jié)合”和“動定相應(yīng)”的分析法，是求解、分析類似問題不可多得的好辦法。分析：本例中函數(shù)y=f(x)實(shí)際上是一個確定的信息（等式條件）函數(shù)g(x)=kx+k+1隨著k的變動而變動，是一個動態(tài)的信息。 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）6 、動定分析法在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有大量的數(shù)式字母討論題，同時又是高考數(shù)學(xué)試卷的命題熱點(diǎn)。附：在南京市某國家級重點(diǎn)中學(xué)公開課講學(xué)案一份：冪函數(shù)（1）講學(xué)案 班級_______ 姓名____________（20015）一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握冪函數(shù)的概念，會正確畫出常見冪函數(shù)圖象，了解常見冪函數(shù)性質(zhì)，能正確利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答相關(guān)問題。5 、實(shí)驗(yàn)探索法高中的物理、化學(xué)、生物學(xué)科，有實(shí)驗(yàn)的要求，有些內(nèi)容，必須通過實(shí)驗(yàn)教學(xué)，才能幫助學(xué)生正確理解有關(guān)內(nèi)容和知識點(diǎn)，這是大家所共知的。例如，教學(xué)“不等式的解法”時，可以聯(lián)系、對比相應(yīng)“方程的求解”這一章節(jié)內(nèi)容，既講清了方程根是確定值，又可講清不等式的解通常是一個范圍，而不等式解的范圍邊界，又與類似方程的根有著緊密的對應(yīng)關(guān)系和聯(lián)系。分析：方法一，本例可以根據(jù)題目的條件信息，先求出時的具體函數(shù)y=f(x)，然后分別代入三個自變量，分別求出三個函數(shù)值，進(jìn)而比較大小，但求出函數(shù)容易出錯，而且不如方法二形象直觀。后來，我在多次教師會上，都要求教師在教學(xué)中，特別是理科教學(xué)中，應(yīng)注意講練結(jié)合，原因就來自這次的對比試驗(yàn)對我的啟發(fā)。例4 定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)。2 、講練提高法數(shù)學(xué)教與學(xué)與文言學(xué)科教與學(xué)的一個最明顯的區(qū)別是；有些文科知識，學(xué)生聽懂就能掌握，看懂就能參加考試。在平常的高中教學(xué)中，我也常以此法試探著設(shè)計一些可用此法講授的課堂教學(xué)，經(jīng)過一段時間的培養(yǎng)，學(xué)生積極主動地去解決新問題的能力，明顯有了提高。高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，與初中、小學(xué)的數(shù)學(xué)教與學(xué)一個明顯不同的特點(diǎn)就是，特別注重數(shù)學(xué)概念的教與學(xué)。校內(nèi)、校外聽課近千節(jié)，在省內(nèi)外多次上過公開課、研討課、觀摩課、電視實(shí)況直播課。這一系列的任務(wù)要想較好地實(shí)現(xiàn)和完成，決不是一件輕而易舉的事。一般地說，教學(xué)過程是對教與學(xué)活動的嚴(yán)格組織、協(xié)調(diào)和控制的過程?！?《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》的這兩段前言，實(shí)際上指出了中學(xué)數(shù)學(xué)教育的地位、作用和重要性?！保ㄕ岳ǜ裨凇恶R克思回憶錄》）的正確與先見之明。而過去一度認(rèn)為幾乎與數(shù)學(xué)聯(lián)系不多的人口學(xué)、考古學(xué)、氣象學(xué)、規(guī)劃學(xué)、建筑學(xué)、醫(yī)藥學(xué)，甚至是人們?nèi)粘Ｉ钪械纳鐣W(xué)，數(shù)學(xué)的運(yùn)用也到了幾乎無所不在的地步。毋庸置疑，這樣書寫和描述的數(shù)學(xué)理論，在其推廣和使用上，特別是在古代絕大多數(shù)人還是文盲和半文盲的時候，必然落得個“陽春白雪，和者必寡”的窘態(tài)。在世界上許多地區(qū)和民族還沒有文字的兩千多年前，我們的祖先所提倡的 “禮、樂、射、御、書、數(shù)”中，“數(shù)、算術(shù)”就與“唯此為大”的“禮”并列通稱之為“六藝”；《九章算術(shù)》、《骨髀算經(jīng)》、祖沖之父子所提出的關(guān)于圓周長與直徑之比的“祖率”等（現(xiàn)稱π值），雖經(jīng)千年仍熠熠生輝。更新教育觀念，深化教育教學(xué)內(nèi)容的改革，深化教育教學(xué)手段和方法的改革，減輕中小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生綜合素質(zhì)，建設(shè)全民學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)型社會，是中國特色社會主義賦于當(dāng)代每一個教育工作者的神圣職責(zé)。從事學(xué)校行政管理工作二十年來，一直沒有離開高中數(shù)學(xué)第一線教學(xué)的課堂教學(xué)，其中一半以上時間，擔(dān)任高三畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)。編號：時間：2021年x月x日書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟頁碼：第357頁 共357頁點(diǎn)亮師生智慧的心燈高中數(shù)學(xué) 愉快高效教與學(xué)孫舜寶　著 中國優(yōu)生優(yōu)育協(xié)會會長、中共早期著名領(lǐng)導(dǎo)人秦邦憲（博古）之女題詞：在李政道博士題詞前留影作者簡介：孫舜寶　男　一九五六年十一月出生于南京市江寧縣，中共黨員，現(xiàn)為江蘇省重點(diǎn)高中南京市秦淮中學(xué)黨總支書記、教學(xué)副校長，江蘇省考研會會員，南京市高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶頭人，南京市數(shù)學(xué)會會員，一九九四年被評為中學(xué)高級教師。該同志多年擔(dān)任高中班主任。進(jìn)入二十一世紀(jì)以來，科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，知識經(jīng)濟(jì)成倍翻番，國際競爭日益激烈，可持續(xù)的科學(xué)發(fā)展觀，已為全世界有識之士所認(rèn)同。不可否認(rèn)，在中華民族的文明發(fā)展史中，數(shù)學(xué)的發(fā)展也有過一些曲折的歷程。由此看來，即使是世界上最偉大的文字，如果不借鑒全人類的文化精華，在某些方面也會出現(xiàn)一些瑕疵和不足?？脊叛芯恐刑?4的測定，是古生物年代確定的主要依據(jù)，用的是典型的指數(shù)對數(shù)計算；氣象學(xué)中天氣變化及未來氣象的描述，運(yùn)用了概率統(tǒng)計和模糊數(shù)學(xué)；規(guī)劃學(xué)中的數(shù)理統(tǒng)計、建筑學(xué)中的數(shù)學(xué)曲線運(yùn)用（如北京０８年奧運(yùn)會的主建筑之一“鳥巢”的設(shè)計）和模型建構(gòu)、生物學(xué)中的數(shù)學(xué)優(yōu)選，傳染病學(xué)研究中指數(shù)計算和偏微分方程的科學(xué)精確描述等等，可以說數(shù)學(xué)為各門科學(xué)的數(shù)據(jù)計算、模型建構(gòu)、趨勢探索、邏輯推理、外延拓展、綜合運(yùn)用、快速發(fā)展，提供了其它學(xué)科難以替代的強(qiáng)有力支撐，為各門學(xué)科的迅猛發(fā)展提供了工具，增添了騰飛的翅膀。數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)計算等，在當(dāng)今世界各個領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用，已是不爭的事實(shí)。中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育，在普及義務(wù)教育的當(dāng)代，乃至在今后很長的時間，必然是中小學(xué)課程中最最主要的學(xué)科之一（對照江蘇?。埃改晷赂呖挤桨?，數(shù)學(xué)在高考中的地位和作用，其重要性更是不言而喻），也是培養(yǎng)和提高人們素養(yǎng)的最重要的基礎(chǔ)學(xué)科工程。不管是信息技術(shù)廣泛運(yùn)用于教與學(xué)的現(xiàn)在，還是在有新的科學(xué)技術(shù)手段運(yùn)用于教學(xué)的將來，課堂教學(xué)在很長一段時間內(nèi)，仍然是學(xué)校教育教學(xué)過程的中心環(huán)節(jié)；是全面貫徹黨和國家的教育方針，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，全面提升教育教學(xué)質(zhì)量，全方位培養(yǎng)高素質(zhì)人才的主渠道；是教師傳授知識，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，掌握知識體系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決各種問題的主陣地；是每一位從事教育教學(xué)的教育工作者，必須經(jīng)歷和思考研究的課題；是提高教育教學(xué)效益、提高師生素質(zhì)的重要實(shí)踐途徑。課堂教學(xué)的復(fù)雜性、針對性、靈活性、實(shí)效性，決定了教師課堂教學(xué)的獨(dú)創(chuàng)性、實(shí)踐性、科學(xué)性、實(shí)用性。在各級各類報刊、雜志上發(fā)表過數(shù)十篇教育教學(xué)文章，參編過幾冊教學(xué)參考書。絕大部分高中數(shù)學(xué)的解題過程，就是依據(jù)高中數(shù)學(xué)的基本概念，加上基本的數(shù)學(xué)思想和多種方法的綜合運(yùn)用。課堂如此設(shè)計，雖常有與課本例題形似而不相同的“不足”，但設(shè)計巧妙同樣能覆蓋課本中知識。但數(shù)學(xué)的教與學(xué)，僅僅教會學(xué)生記憶、讀懂公式，不做相應(yīng)的練習(xí)和訓(xùn)練，一般情況下，學(xué)生感到好象是掌握了，模仿課本的例題，依照教師的講解，似乎也能做一些作業(yè)，但實(shí)際上學(xué)生的掌握和理解還僅僅是很浮淺的。若的最小正周期是，且當(dāng)時，則的值為（A） （B） （C） （D）例5 已知函數(shù)，對任意的非零實(shí)數(shù)，恒有，試判斷函數(shù)的奇偶性。3 、數(shù)形結(jié)合法“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”。┣┣┣┣21111(2, 8)(1, 2)2468O┻方法二，利用對稱性，畫出y=f (x)的圖象（見上圖），由對稱性可知：f( 3/2 )＝f( 1/2 ).三個數(shù)的大小顯而易見：f(1/3)＞f( 3/2 )＞f( 2/3 )。講解“雙曲線”時，可以聯(lián)系、對比“橢圓”的定義、性質(zhì)、方程及其討論，對比分析，溫故而知新。數(shù)學(xué)有沒有可以實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容呢？巧妙設(shè)計的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不但能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能優(yōu)化數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)。過程與方法：通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、探究冪函數(shù)性質(zhì)。分類討論實(shí)際上是高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想，也是高中數(shù)學(xué)與初中以下數(shù)學(xué)知識和方法的最明顯不同點(diǎn)，是高中學(xué)生在學(xué)習(xí)和作業(yè)當(dāng)中的難點(diǎn)和易錯點(diǎn)，更是考生在高考數(shù)學(xué)中得分拉開距離的區(qū)分點(diǎn)。解題分析時，首先可根據(jù)確定信息入手，在坐標(biāo)系上畫出函數(shù)y=f(x)的圖象。7 、猜想驗(yàn)證法數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具?！∵€有一個同學(xué)說有１２０度，同學(xué)們又笑了起來，“成１２０度角的兩條異面直線，實(shí)際上就是成６０度角的兩條異面直線，１２０度角不在兩條異面直線所成角的范圍內(nèi)。后來，我還是硬著頭皮與學(xué)生一道研究了宣同學(xué)的這一插嘴提問，經(jīng)過師生共同探索，在正方體內(nèi)的確沒有成３０度角的異面直線對，但有成正弦值是三分之一的異面直線對?！睂W(xué)生對出錯的地方和知識的印象深，記憶牢，有助于避免易錯處出錯，準(zhǔn)確記憶知識的關(guān)鍵概念。tanB３、垂直于同一條直線的兩條直線必然平行。”是新課程理念對當(dāng)今中小學(xué)教師的教育教學(xué)工作提出的新的要求。（一）、教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)自學(xué)（其它學(xué)科理應(yīng)相似），任務(wù)、要求要明確一些，便于學(xué)生執(zhí)行和考核。四個月后的高考，兩個班級的數(shù)學(xué)成績，非但沒有受到影響，反而比原來還有些提高。后來再有意識地找來魯迅的這幾篇文章，自己再讀一讀，竟然有了一種與以前完全不同的全新印象，對魯迅這幾篇作品的理解和記憶，明顯有了提高。但是，實(shí)踐中我們可以發(fā)現(xiàn)，教師在課堂上羅列、復(fù)述，許多學(xué)生聽得好象有點(diǎn)東耳進(jìn)、西耳出，根本不入腦；學(xué)生自己簡單的抄錄、總結(jié)，效果也很不樂觀。如果喜歡抄錄整理，最好是先看一遍，然后帶有默寫性質(zhì)地抄錄，默寫后再校對，非常有利于記憶。比如，在三角函數(shù)的公式體系推導(dǎo)中，我個人認(rèn)為兩角和的余弦公式：“cos(A+B)=cosA如果再加上三角函數(shù)中最易出現(xiàn)錯誤的三角函數(shù)名稱和“符號問題”的研究方法：針對(k而對數(shù)學(xué)題型的廣泛搜集和歸納，必須建立在學(xué)生的廣泛閱讀和主動性學(xué)習(xí)上。特別的技巧如果是非常重要的內(nèi)容和方法，那就要有意識地創(chuàng)造機(jī)會，與學(xué)生在一起經(jīng)常地“把玩”，才能達(dá)到熟能生巧的地步。有經(jīng)驗(yàn)的教師，在平時的教育教學(xué)工作中，總是十分注意充分調(diào)動學(xué)生的積極性。如果教師自己有相關(guān)類比內(nèi)容復(fù)習(xí)、總結(jié)的多媒體課件，只要再次進(jìn)行一次快速地播