重慶市永川區(qū)20xx-20xx學(xué)年九年級數(shù)學(xué)12月月考試題（含解析） 新人教版-預(yù)覽頁
【正文】 （ 2）請?jiān)賹懗鲆粋€與上例不同的黃金拋物線的解析式 y=2x2+2x+2 ； （ 3）若拋物線 y=ax2+bx+c（ a、 b、 c 是常數(shù)， a≠0 ）是黃金拋物線，請?zhí)骄吭擖S金拋物線與 x軸的公共點(diǎn)個數(shù)的情況（要求說明理由）． 【分析】 （ 1）先利用配方法得到 y=2（ x﹣ ） 2+ ，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（ ， ）平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ），于是利用頂點(diǎn)式可寫出平移后的新拋物線的解析式； （ 2）根據(jù)黃金拋物線寫出的二次函數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)滿足 b2=ac即可； （ 3）由于 △=b 2﹣ 4ac，而 b2=ac時，則 △= ﹣ 4ac，利用 △=b 2﹣ 4ac決定拋物線與 x軸的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行討論：當(dāng) c=0 時， △=0 ，該黃金拋物線與 x軸只有一個公共點(diǎn)；當(dāng) c≠0 時，由于a、 c同號，則 △ ＜ 0，則可判斷該黃金拋物線與 x軸沒有公共點(diǎn)． 【解答】 解：（ 1） y=2x2﹣ 2x+2=2（ x﹣ ） 2+ ，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）， 把點(diǎn)（ ， ）先向下平移 3個單位，再向左平移 2個單位得到點(diǎn)（﹣ ，﹣ ）， 所以平移后的新拋物線的解析式為 y=2（ x+ ） 2﹣ ，即 y=2x2+2x﹣ 1； （ 2）拋物線 y=2x2+2x+2是黃金拋物線； （ 3） △=b 2﹣ 4ac， 因?yàn)?b2=ac時， 所以 △=ac ﹣ 4ac=﹣ 4ac， 當(dāng) c=0時， △=0 ，該黃金拋物線與 x軸只有一個公共點(diǎn)，即原點(diǎn)； 當(dāng) c≠0 時，而 a、 c同號，則 △ ＜ 0，所以該黃金拋物線與 x軸沒有公共點(diǎn)． 故答案為 y=2x2+2x﹣ 1； y=2x2+2x+2． 五．解答題（本大題兩個小題，每小題 12 分，共 24 分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上． 25．一個廣告公司制作廣告的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：以面積為單位，在不超過規(guī) 定面積 a（ m2）的范圍內(nèi)，每張廣告收費(fèi) 100元，若超過 am2，則除了要交這 100元的基本廣告費(fèi)以外，超過部分還要按每平方米 5a元繳費(fèi)．如表是該公司對兩家用戶廣告的面積及相應(yīng)收費(fèi)情況的記載： 單位 廣告的面積（ m2） 收費(fèi)金額（元） 煙草公司 6 140 食品公司 3 100 紅星公司要制作一張大型公益廣告，其材料形狀是矩形 ABCD，如果它的四周是空白，并且四周各空 ，空白部分不收廣告費(fèi)，中間的矩形 EFGH 部分才是廣告面積，若矩形 ABCD的長寬之比為 3： 2，并且紅星公司只能支出 11040元的廣告費(fèi) （ 1）求 a的值； （ 2）求矩形 ABCD的長和寬各是多少？（參考數(shù)據(jù)： 1152=13225， 232=529） 【分析】 （ 1）從表知： 3≤a ＜ 6，所以根據(jù)煙草公司的交費(fèi)情況來列方程 100+5a（ 6﹣ a） =140 （ 2）求出 a的值，又知道紅星公司支出的 11040，然后設(shè)廣告面積為 S，根據(jù)條件可列方程100+54 （ S﹣ 4） =11040．求出 S，設(shè)廣告的長是 3x，寬是 2x，根據(jù)長方形的面積公式求解． 【解答】 解：（ 1）由表知： 3≤a ＜ 6， 由題意得： 100+5a（ 6﹣ a） =140， 整理得： a2﹣ 6a+8=0， 解得 a1=4， a2=2（舍去）， 答： a的值為 4． （ 2）設(shè)廣告的收費(fèi)部分為 S平方米， 100+54 （ S﹣ 4） =11040， 解得： S=551， 設(shè)廣告的長，寬分別為 3x米， 2x米， （ 3x﹣ 1）（ 2x﹣ 1） =551， 6x2﹣ 5x﹣ 550=0， 解得 x=10或 x=﹣ （舍去）， 3x=30， 2x=20， 答：這張廣告的長和寬分別是 30米和 20米． 26．已知，如圖，拋物線 y=ax2+2ax+c（ a＞ 0）與 y軸交于點(diǎn) C，與 x軸交于 A， B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn) B左側(cè)．點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 1， 0）， OC=3OB． （ 1）求 拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) D是線段 AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形 ABCD面積的最大值； （ 3）若點(diǎn) E在 x軸上，點(diǎn) P在拋物線上．是否存在以 A， C， E， P為頂點(diǎn)且以 AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù) OC=3OB， B（ 1， 0），求出 C點(diǎn)坐標(biāo)（ 0，﹣ 3），把點(diǎn) B， C的坐標(biāo)代入 y=ax2+2ax+c，求出 a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式； （ 2）圖，過點(diǎn) D作 DM∥y 軸分別交線段 AC和 x軸于點(diǎn) M， N．設(shè) M（ m，﹣ m﹣ 3）則 D（ m，m2+2m﹣ 3），然后求出 DM的表達(dá)式，把 S 四邊形 ABCD分解為 S△ABC +S△ACD ，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值； （ 3） ① 過點(diǎn) C作 CP1∥x 軸交拋物線于點(diǎn) P1，過點(diǎn) P1作 P1E1∥AC 交 x軸于點(diǎn) E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．平移直線 AC交 x軸于點(diǎn) E，交 x軸上方的拋物線于點(diǎn) P，當(dāng) AC=PE時，四邊形 ACEP為平行四邊形． 【解答】 解：（ 1） ∵OC=3OB ， B（ 1， 0）， ∴C （ 0，﹣ 3）． 把點(diǎn) B， C的坐標(biāo)代入 y=ax2+2ax+c，得 a=1， c=﹣ 3， ∴ 拋物線的解析式 y=x2+2x﹣ 3． （ 2）由 A（﹣ 3， 0）， C（ 0， ﹣ 3）得直線 AC 的解析 式為 y=﹣ x﹣ 3， 如圖 1，過點(diǎn) D作 DM∥y 軸分別交線段 AC和 x軸于點(diǎn) M， N． 設(shè) M（ m，﹣ m﹣ 3）則 D（ m， m2+2m﹣ 3）， DM=﹣ m﹣ 3﹣（ m2+2m﹣ 3） =﹣ m2﹣ 3m=﹣（ m+ ） 2+ ， ∴ ﹣ 1＜ 0， ∴ 當(dāng) x= 時， DM有最大值 ， ∴S 四邊形 ABCD=S△ABC +S△ACD = 43+ 3DM ，此時四邊形 ABCD面積有最大值為 6+ = ． （ 3）存在． 討論： ① 如圖 2，過點(diǎn) C作 CP1∥x 軸交拋物線于點(diǎn) P1，過點(diǎn) P1作 P1E1∥AC 交 x軸于點(diǎn) E1， 此時四邊 形 ACP1E1為平行四邊形． ∵C （ 0，﹣ 3），令﹣ 3=x2+2x﹣ 3 ∴x 1=2， x2=﹣ 2． ∴P 1（﹣ 2，﹣ 3）． ② 平移直線 AC 交 x軸于點(diǎn) E，交 x軸上方的拋物線于點(diǎn) P，當(dāng) AC=PE 時，四邊形 ACEP 為平行四邊形， ∵C （ 0，﹣ 3）， ∴ 可令 P（ x， 3）， 3=x2+2x﹣ 3，得 x2+2x﹣ 6=0 解得 x1=﹣ 1+ ， x2=﹣ 1﹣ ， 此時存在點(diǎn) P2（﹣ 1+ ， 3）， P3（﹣ 1﹣ ， 3）， 綜上所述，存在 3個點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是： P1（﹣ 2，﹣ 3）， P2（﹣ 1+ ， 3）， P3（﹣ 1﹣ ， 3）．
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