【正文】 種新型的圖像處理方法和理論。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以通過(guò)本身的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的抑制，還可以通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)元素的調(diào)整實(shí)現(xiàn)各種場(chǎng)合條件下的應(yīng)用，且容易用硬件實(shí)現(xiàn)，所以利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行圖像處 理已經(jīng)漸漸發(fā)展為與線性方法并行的主流方向。用于描述數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的是集合論，因此可以用一個(gè)統(tǒng)一 且強(qiáng)大的工具來(lái)處理圖像處理中所遇到的問(wèn)題，它利用形態(tài)學(xué)基本概念和運(yùn)算，將結(jié)構(gòu)元靈活的組合分解，應(yīng)用形態(tài)變換達(dá)到了分析問(wèn)題的目的。 數(shù) 學(xué)形態(tài)學(xué)是一種非線性濾波方法 [6]。基本的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是將結(jié)構(gòu)元素在圖 像 范圍內(nèi)平移，同時(shí)施加交、并等基本的集合運(yùn)算。結(jié)構(gòu)元素對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算結(jié)果具有決定性的作用，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用背景和期望設(shè)計(jì)合理的結(jié)構(gòu)元素是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究的重點(diǎn)之 —。 3．快速算法。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)非常適合對(duì)形狀描述，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)應(yīng)用于目標(biāo)基圖像編碼與運(yùn) 動(dòng)景物描述是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一。形態(tài)小波包含了目前幾乎所有已知的線性和非線性小波，構(gòu)成了統(tǒng)一的非線性小波變換框架。結(jié)構(gòu)元素是一個(gè)可以在圖像上平移、且尺寸比圖像小的集合 [7]。 圖 21 二值圖像形態(tài)學(xué)的基本思想 數(shù)字圖像的表示及反 射平移 在形態(tài)學(xué)中，二值數(shù)字圖像可以用集合 A 來(lái)表示。一幅二值圖像可以看成是 x 和 y 的一個(gè)二值函數(shù)，形態(tài)學(xué)理論把二值圖像看成是前景像素的集合，集合的元素屬于 2Z 。 )}(),(),(),(|),{( BAyxByxAyxyxC 和或或 ???? （ 22） 還有兩個(gè)廣泛應(yīng)用于形態(tài)學(xué)的附加定義，在集合中 定義如定義 1 和定義 2 所示。 圖 22 平移和反射示意圖 二值圖像的腐蝕和膨脹運(yùn)算 膨脹和腐蝕變換是建立在集合的和與差基礎(chǔ)上的，是所有復(fù)合形態(tài)變換或形態(tài)分析的基礎(chǔ) [8]。 A 被 B 膨脹是所有位移 z 的集合，這樣 zB)?( 和 A至少有一個(gè)元素是重疊的。圖 24[9]理工大學(xué)畢業(yè)論文 7 給出了膨脹運(yùn)算的例子，其中 (a)是二值圖像 A ； (b)是結(jié)構(gòu)元素 B ； (c)是結(jié)構(gòu)元素 B 的映像；(d)是 B 膨脹 A 后的結(jié)果，深色的部分就是相對(duì)原圖擴(kuò)大的部分。 B 平移 z 后得到的圖像仍包含于 A ?？梢?jiàn)腐蝕運(yùn)算使得圖像區(qū)域收縮變小了。 BABABABAAA ??????????? , （ 29） BABABABABB ??????????? , （ 210） 3. 遞減（增）性 如式（ 211）所示。 5. 結(jié)合律 如式（ 213）和式（ 214）所示。 ,)(,)( tBtABAttBtABAt ?????? （ 215） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 9 7. 平移不變性 如式（ 216）和式（ 217）所示。 BBABA ??? )(? （ 218） 用結(jié)構(gòu)元素 B 對(duì)集合 A 進(jìn)行開(kāi)操作就是用 B 對(duì) A 腐蝕，然后用 B 對(duì)結(jié)果進(jìn)行膨脹。 BBABA ???? )( （ 220） 圖 28 為閉運(yùn)算的示意圖，閉運(yùn)算是先膨脹后腐蝕，也可以利用對(duì)偶性，即沿圖像的外 圖 28 二值圖像閉運(yùn)算示意圖 邊緣填充或滾動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，閉運(yùn)算磨光了凸向圖像內(nèi)部的尖角，即對(duì)圖像外部濾波。閉運(yùn)算具 有填充物體內(nèi)細(xì)小空洞，連接鄰近物體和平滑邊界的作用。 BABABABAAA ????????? ,?? （ 223） CABACABACBCCB ??????? , ??? （ 224） 4．冪等性 如式（ 225）所示。 灰度圖像形態(tài)學(xué) 隨著數(shù)字成像技術(shù)的發(fā)展和數(shù)字圖像處理技術(shù)應(yīng)用范圍的擴(kuò)展，對(duì)二值圖像的處理已經(jīng)不能滿足數(shù)字圖像處理日新月異的變化需要，而對(duì)高分 辨率圖像的處理已成為圖像工程中的迫切需要解決的問(wèn)題。所以在介紹灰度形態(tài)變換之前，先介紹一些與之相應(yīng)的概念。 yxzfzyf x ???? )())(( （ 229） 假設(shè) g 和 f 分別定義在域 ][gD 和 ][fD 上的兩個(gè)信號(hào)，如果（ 1） ][][ fDgD ? ；（ 2）對(duì)][gDx?? ，有 )()( xfxg ? ，則稱 g 在 f 下方，記為 fg?? 。如果 x 在 g 的定義域內(nèi)，但在 f 的定義域外， 理工大學(xué)畢業(yè)論文 12 圖 210 信號(hào)的移位、平移及相應(yīng)的形態(tài)學(xué)平移 那么，定義 )())(( xgxgf ?? 。如圖 212 所示，信號(hào)的反射是通過(guò)先對(duì)縱軸反射，然后對(duì)橫軸反射得到的。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個(gè)運(yùn)算集合至少有一個(gè) (非零 )元素相交。 })(|)()(m a x { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 234） 在此利用了結(jié)構(gòu)元素的反射，求將信號(hào)限制在結(jié)構(gòu)元素的定義域內(nèi)時(shí)，上推結(jié)構(gòu)元素使其原點(diǎn)超過(guò)信號(hào)時(shí)最小值，即為該點(diǎn)的膨脹結(jié)果。這里限制 )( xs? 和 )( yt? 在 f 的定義域之內(nèi)，類似于二值膨脹定義中要求兩個(gè)運(yùn)算集合至少有一個(gè) (非零 )元素相交。 })(|)()(m i n { [))(( bf DxDxsxbxsfsbf ??????? 和 （ 236） 從幾何角度講，為了求出信號(hào)被結(jié)構(gòu)元素在點(diǎn) x 腐蝕的結(jié)果，可以在空間滑動(dòng)這個(gè)結(jié)構(gòu)元素，使其原點(diǎn)與 x 點(diǎn)重合，然后上推結(jié)構(gòu)元素，使其處于信號(hào)下方所能達(dá)到的最大值，即為該點(diǎn)的腐蝕結(jié)果。其中 (1)是結(jié)構(gòu)元素； (2)是原始信號(hào)； (3)是灰度腐蝕后的結(jié)理工大學(xué)畢業(yè)論文 14 果； (4)是灰度膨脹后的結(jié)果。但是這里存在一個(gè)限制條件，即結(jié)構(gòu)元素必須在信號(hào)曲線的下面平 移。 (a) 原始灰度圖像 (b)灰度膨脹圖像 (c)灰度腐蝕圖像 圖 214 灰度圖像膨脹腐蝕仿真結(jié)果 理工大學(xué)畢業(yè)論文 15 圖 214 給出了灰度圖像膨脹和腐蝕結(jié)果。 從圖中效果可以看出，膨脹變換是由結(jié)構(gòu)元素確定的鄰域中選取圖像值與結(jié)構(gòu)元素值的和的最大值，致使輸出圖像比輸入圖像亮；腐蝕變換是由結(jié)構(gòu)元素確定的鄰域塊中選取圖像值與結(jié)構(gòu)元素值的差的最小值，致使輸出圖像比輸入圖像暗。 gfgfgfgfff ??????????? , （ 240） gfgfgfgfgg ???????????? , （ 241） 3．?dāng)U展縮小性 如式（ 242）所示。 ])[(][],)[(][ hgfghfhgfghf ?????? （ 245） ])[(][],)[(][ hgfhgfhgfhgf ?????? （ 246） hgfhgfhgfghf ?????????? )()(,)()( （ 247） hgfhgfhgfhgf ?????????? )()(,)()( （ 248） 7. 與極大（極?。┖瘮?shù)關(guān)系 如式（ 249）、式 （ 250）和式（ 251）所示。用 b (灰度 )開(kāi)啟 f 記為 bf? ，其定義如式（ 252）所示。 bbfbf ???? )( （ 253） 閉合運(yùn)算的直觀描述則是一種滾球的效果：在信號(hào)上方滾動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，并記錄每一點(diǎn)結(jié)構(gòu)元素上的最低點(diǎn)，同樣原點(diǎn)相對(duì)結(jié)構(gòu)元素的位置不會(huì)對(duì)運(yùn)算結(jié)果產(chǎn)生影響。從圖 (c)可看出，對(duì)所有比 b 的直徑小的山峰其高度和尖銳程度都減弱了。 圖 216 給出了一個(gè)原始灰度圖像為圖 215 中的原始圖像的開(kāi)啟和閉合運(yùn)算的結(jié)果，其中用的結(jié)構(gòu)元素為 77? 的菱形結(jié)構(gòu)元素。 ygfgyf xx ??? )()( ?? （ 254） 同樣，開(kāi)運(yùn)算的遞增性、非擴(kuò)展性和冪等性可表示為 式（ 255）和式（ 256）的形式。 與結(jié)構(gòu)元素軟邊界對(duì)應(yīng)的處理結(jié)果和與結(jié)構(gòu)元素核心 (重復(fù) K 次 )對(duì)應(yīng)的結(jié)果按升序或降序排列 。 由式（ 257）可見(jiàn) ，軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果與結(jié)構(gòu)元素核心重復(fù)的次數(shù) K 密切相關(guān)， K=1 時(shí)，軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。 模糊算子的定義不同，相應(yīng)的模糊形態(tài)運(yùn)算的定義也不相同 [4]。 模糊形態(tài)學(xué)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從二值邏輯向模糊邏輯的推廣 ， 與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有相似的計(jì)算結(jié)果和相似的代數(shù)特性 ， 模糊形態(tài)學(xué)重點(diǎn)研究 n 維空間目標(biāo)物體的形狀特征和形態(tài)變換 ， 主要應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域 ， 如模糊增強(qiáng)、模糊邊緣檢測(cè)、模糊分割等。在前面所述各種變換中，變換原理本質(zhì)上均是基于結(jié)構(gòu)元素是否全部包含在集合 A 或它的補(bǔ)集 cA 中，而實(shí)際中還存在一些中間狀態(tài)，即結(jié)構(gòu)元素與 A和 cA 均相交。 擊中擊不中變 換 就是在一次運(yùn)算中同時(shí)可以捕獲到內(nèi)外標(biāo)記。嚴(yán)格地說(shuō)，擊中和擊不中變換的說(shuō)法更準(zhǔn)確，擊中或擊不中變換的說(shuō)法更常用。 cBAABAABA )*()*( ????? （ 32） 關(guān)鍵問(wèn)題是要應(yīng)用多少次細(xì)化 操作 。形態(tài)學(xué)重構(gòu)是圖像形態(tài)處理的重要操作之一，通常用來(lái)強(qiáng)調(diào)圖像中與掩模圖像指定對(duì)象相一致的部分，同時(shí)忽略圖像中的其他對(duì)象。一種創(chuàng)建標(biāo)記圖像的方法就是將掩模圖像減去一個(gè)常數(shù)。 10101010101010101010101010101010101010101010161616101010101010101616161010101010101016161610101010101010101010101010101010101010101012121210101010101010121212101010101010101212121010101010101010101010?B 圖 34 標(biāo)記圖像的形態(tài)重構(gòu)結(jié)果 形態(tài)學(xué)圖像平滑 圖像中的噪聲和邊緣在空間域中都表現(xiàn)為梯度的突變，在頻域中都表現(xiàn)為高頻信息。 實(shí)現(xiàn)形態(tài)學(xué)平滑處理的一種途徑是先使用形態(tài)學(xué)進(jìn)行開(kāi)操作，然后進(jìn)行閉操作。用結(jié)構(gòu)元素 B對(duì)集合 A 進(jìn)行開(kāi)操作，就可以將目標(biāo)周圍的噪聲塊消除掉。 （ a）原圖像 （ b）加入噪聲密度為 的椒鹽噪聲 （ c）經(jīng)過(guò)開(kāi) — 閉平滑操作后的圖像 （ d）經(jīng)過(guò)閉 — 開(kāi)平滑操作后的圖像 圖 35 圖像平滑操作仿真 結(jié)果 對(duì)于灰度圖像，用開(kāi)運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)．而保持 圖 像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不變。 圖 35 顯示了在原圖中加入噪聲密度為 的椒鹽噪聲后的污染圖像和經(jīng)過(guò)平滑后的圖像，操作選用 33? 的十字形結(jié)構(gòu)元素。 在一幅圖像中，如果圖像某個(gè)像素值滿足以下條件： （ 1） 該像素狀態(tài)為 ON； （ 2） 該像素領(lǐng)域中有有一個(gè)或多個(gè)像素狀態(tài)為 OFF。 理工大學(xué)畢業(yè)論文 24 第 4 章 基于形態(tài)學(xué)的圖像邊緣檢測(cè) 圖像邊緣的定義 圖像的邊緣對(duì)人的視覺(jué)具有重要意義。 一個(gè)好的邊緣檢測(cè)算法應(yīng)滿足：檢測(cè)精度高；抗噪能力強(qiáng)；計(jì)算簡(jiǎn)單；易于并行實(shí)現(xiàn)。 由 對(duì)圖像的邊緣分析可見(jiàn) ，在圖像上灰度不連續(xù)處和變化劇烈處可能存在圖像的邊緣。在邊緣檢測(cè)中，常用的方法是尋找圖像灰度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)局部最大值或是二階導(dǎo)數(shù)局部過(guò)零點(diǎn)。 結(jié)構(gòu)元素的確定 結(jié)構(gòu)元素是形態(tài)學(xué)的基本算子 ， 合理選取結(jié)構(gòu)元素直接影響圖像處理的效果和質(zhì)量 ， 結(jié)構(gòu)元素的選擇在于結(jié)構(gòu)元素的形狀和尺寸大小如何確定 [15]。 （ 2）結(jié)構(gòu)元素形狀的選擇。 結(jié)構(gòu)元素的尺寸 當(dāng)確定了結(jié)構(gòu)元素的形狀后，結(jié)構(gòu) 元素的尺寸是至關(guān)重要的。 設(shè)結(jié)構(gòu)元素 B 可以分解為小結(jié)構(gòu)元素 C 對(duì)小結(jié)構(gòu)元素 D 的膨脹，即 CDB ?? ，則式（ 218）可以表示為如式 （ 41）的形式。 有如 式（ 44）的 計(jì)算公式： 1)1( ???? krR （ 44） 其中， R 為結(jié)構(gòu)元素尺寸， r 為小結(jié)構(gòu)原素尺寸， k 為膨脹或腐蝕的次數(shù)。 Canny 首先提出了最優(yōu)邊緣檢測(cè)算子，采用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)相近的濾波函數(shù)，性能優(yōu)于 LOG 算 子 ，但定位不夠精確，且計(jì)算量較大。形態(tài)學(xué)方法進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)，算法簡(jiǎn)單同時(shí)能較好地保持圖像的細(xì)節(jié)特征，較好地解決了邊緣檢測(cè) 斷點(diǎn)問(wèn)題。 BfBffBfBf ??????? ? （ 47） 由 式（ 47） 我們可以構(gòu)造出基本的形態(tài)學(xué)梯度邊緣檢測(cè)算子： 膨脹型 如式（ 48）所示 ： fBfyxE ???),( （ 48） 腐蝕型 如式（ 49）所示 ： BffyxE ???),( （ 49） 膨脹腐蝕型 如式（ 410）所示 ： BfBfyxE ????),( （ 410） 理工大學(xué)畢業(yè)論文 27 開(kāi)操作型 如式（ 411）所示 ： BffyxE ???),( （ 411） 閉操作型 如式（ 412）所示 ： fBfyxE ???),( （ 412） 開(kāi)閉操作型 如式（ 413）所示 ： BfBfyxE ????),( （ 413） 顯然，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)差分算子的實(shí)質(zhì)是傳統(tǒng)差分算子在一定意義上的推廣。 由 形態(tài)學(xué) 可見(jiàn)，膨脹型算子是將原圖像膨脹后減去原圖像從而得到圖像邊緣，得到的是圖像的外邊緣，由于膨脹 運(yùn)算在結(jié)構(gòu)元素的值為正時(shí)，使輸出圖像趨向比輸入圖像亮，暗細(xì)節(jié)被削減或去除，所以檢測(cè)到的圖像邊緣信號(hào)較弱，出現(xiàn)了模糊邊緣；腐蝕型算子是原圖像減去原圖像腐蝕收縮后的圖像得到邊緣，得到的是圖像的內(nèi)邊緣，腐蝕運(yùn)算在結(jié)構(gòu)元素的值