【正文】 ........................................................................... 28 5 二級(jí)倒立擺 LQR控制設(shè)計(jì)及仿真 ................................................................................. 29 二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)框圖 ....................................................................................... 29 任選加權(quán)陣的 LQR 最優(yōu)控制仿真 ......................................................................... 29 用遺傳算法優(yōu)化 Q 陣的仿真結(jié)果 ............................................................................ 33 實(shí)物演示 ................................................................................................................... 35 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) IV 結(jié)論 ..................................................................................................................................... 37 致 謝 ................................................................................................................................... 38 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................................. 39 附錄（程序清單） ............................................................................................................. 41 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 1 1 緒論 引言 隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，控制工程所面臨的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜。仿真結(jié)果證明：經(jīng)過(guò)遺傳算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)能更加滿足設(shè)計(jì)要求。 本文主要研究二級(jí)倒立擺 LQR 控制方法。在其控制過(guò)程中，能有效地反映諸如鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤等許多關(guān)鍵問(wèn)題。在幾次湊試 Q 矩陣值后系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果都不盡如人意，于是采用遺傳算法對(duì) Q矩陣優(yōu)化。 LQR control。倒立擺源于火箭發(fā)射器，最初的研究開(kāi)始于二十世紀(jì) 50 年代，由美國(guó)麻省理工學(xué)院的控制理論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。 通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問(wèn)題，還能將控制理論所涉及的三個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科：力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用。針對(duì)上面的實(shí)際問(wèn)題，啟發(fā)了人們采用智能控制方法對(duì)倒立擺進(jìn)行控制。 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 2 下面對(duì)這些設(shè)備具體介紹： 或稱為“小車 倒立擺系統(tǒng)”，是由可以沿直線導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車以及一端固定于小車之上的勻質(zhì)長(zhǎng)桿組成的系統(tǒng)。一般是由水平放置的連桿以及一端固定在連桿末端的勻質(zhì)長(zhǎng)桿組成。這樣系統(tǒng)可運(yùn)動(dòng)的維數(shù)增加了，從而系統(tǒng)的復(fù)雜性和控制器設(shè)計(jì)的難度也相應(yīng)的增加。由于閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)頻率受到彈簧系統(tǒng)振蕩頻率的限制，增加了對(duì)控制器設(shè)計(jì)的限制。所謂串聯(lián)倒立擺系統(tǒng)是指對(duì)各擺桿“頭尾”相接，呈串聯(lián)形式連接。 圖 各類倒立擺系統(tǒng) 當(dāng)人用手托起一根立起的竹竿時(shí)，他會(huì)通過(guò)手臂的不斷移動(dòng)來(lái)保持平衡，使竹竿不倒。二級(jí)倒立擺裝置如圖 所示： 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 4 圖 直線倒立擺本體 圖 電氣控制箱 本實(shí)驗(yàn)控制裝置是由固高科技（深圳）有限公司開(kāi)發(fā)的直線倒立擺系 統(tǒng)。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)控制卡反饋小車和擺桿位置（ 線位移和角位移）。 國(guó)外對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究可以追朔到六十年代， Schaefer 和 Cannon 于 1966 年應(yīng)用 BangBang 控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。進(jìn)入九十年代 , 等人在 1992 年提出了倒立擺系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制。 1997 年， 等設(shè)計(jì)了類 PI 模糊控制器應(yīng)用于一級(jí)倒立擺控制，具有系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單對(duì)硬件依賴小的特點(diǎn)。 2021 年 , David Angeli, 應(yīng)用連續(xù)狀態(tài)反饋使倒立擺全局穩(wěn)定 [8]。 1984 年，北京理工大學(xué)自控系田介眉等人，用模擬電路和觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了一級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制和任意位置的正弦擺動(dòng)控制。同年，上海機(jī)械學(xué)院完成了一級(jí)倒立擺在傾斜軌道上的控制，之后又研制了平行倒立擺的微機(jī)控制系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中，兩根長(zhǎng)度不等的鋁制擺桿安裝在同一小車上，且只能在垂直的平面上做相對(duì)于小車的擺動(dòng)或隨小車平行運(yùn)動(dòng)，采用 PC86 微型機(jī)， 12 位的 A/D 轉(zhuǎn)換器和 12 位的 D/A 轉(zhuǎn)換器，由觀測(cè)器和線性反饋組成了控制器。國(guó)內(nèi)進(jìn)入 90 年代后，倒立擺方面的主要研究成果有： 1992 年，北京理工大學(xué)自控系研究生李來(lái)湘完成了基于簡(jiǎn)化模型的二級(jí)倒立擺控制，以及在線參數(shù)系統(tǒng)辨識(shí) 。 1996 年，張乃堯，發(fā)表了文章“倒立擺的雙閉環(huán)模糊控制” [11]，該文章被很多文獻(xiàn)引用，對(duì)應(yīng)用智能方法控制倒立擺作出相當(dāng)大的貢獻(xiàn)。 2021 年 8 月北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的科研團(tuán)隊(duì)采用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 7 地實(shí)現(xiàn)了全球首例“四級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制” 。 [14,15]實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語(yǔ)言值，用語(yǔ)言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。 ，主要是為倒立擺設(shè)計(jì)出自適應(yīng)控制器。 糊控制理論，李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心在國(guó)際上首次成功實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺實(shí)物控制系統(tǒng)，添補(bǔ)了一項(xiàng)世界空白，這是我國(guó)自己培養(yǎng)的學(xué)者站在中國(guó)的土地上采用自己提出的控制理論完成的一項(xiàng)世界領(lǐng)先水平的科研成果。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 9 2 倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與分析 數(shù)學(xué)建模的方法 所謂 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。 ，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號(hào)由光電碼盤 2 反饋 回控制卡和伺服驅(qū)動(dòng)器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號(hào)則由光電碼盤 3 反饋。如果系統(tǒng)的運(yùn) 動(dòng)用 n維廣義坐標(biāo) q1,q2,? qn來(lái)表示，我們可以把這 n維廣義坐標(biāo)看成是 n維空間的 n位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。 拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) iq 和 L 表示為： 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 11 iii fqLqLdtd ??????? () 式中， ni ?3,2,1? ， if —— 系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是 21, ??x 。 1 1mT — — 擺 桿 繞 質(zhì) 心 轉(zhuǎn) 動(dòng) 動(dòng) 能 2239。39。39。 2 61312121 ??? ?lmlmJT m ????????? () ? ?? ?39。 能 觀 性分析 其能觀性矩陣為： ??????????????????12nCACACACOM? () 求 OM 的秩 rank? ? 6?OM () 所以系統(tǒng)是完全能觀的。 基于 LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng) 20 3 線性二次最優(yōu)控制算法簡(jiǎn)介 最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)具有最優(yōu)值的一種控制。求取最優(yōu)控制 0u ，使基于誤差向量 e 構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù)： 011( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]22 ftT T TffJ e t S e t e t Q e t U t R U t d t? ? ?? () 取最小值，其中 S 為 11? 對(duì)稱半正定矩陣， Q 為 11? 對(duì)稱半正定矩陣， R 為 rr? 對(duì)稱半正定矩陣。沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 21 它說(shuō)明，當(dāng) e(t)=0 時(shí)，代價(jià)函數(shù)為零；而誤差越大，則因此付出的代價(jià)也就越大。由于加權(quán)矩陣 R 是對(duì)稱正定，故只要有控制 U(t)存在該代價(jià)函數(shù)總是正的，而且控制 U(t)越大，則付出的代價(jià) ( ) ( )TU t RU t 也越大。它表示在給定終端時(shí)刻 ft 到來(lái)時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出 y(t)接近期望輸出 ()ryt的程度。如果正定矩陣 P 存在，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的或矩陣 ABK 是穩(wěn)定的。因此，確定加權(quán)陣 Q, R是一項(xiàng)重要且困難的工作。R是對(duì)控制量 u的平方的加權(quán)，當(dāng) R相對(duì)較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能量較小，反饋減弱，當(dāng) R相對(duì)很小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。這是一種在思想和方法上別開(kāi)生面的全新優(yōu)化 搜索算法。在自動(dòng)控制、組合優(yōu)化、模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、人工生命、管理決策等許多領(lǐng)域都得到了廣泛 的應(yīng)用 [19,20]。盡管遺傳算法經(jīng)過(guò)幾十年的理論及應(yīng)用研究已獲得了大 量的成果，但其理論基礎(chǔ)仍較薄弱，一些參數(shù)的選取還要依靠實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的積累。其基本思想是模仿生物界中基因的復(fù)制、交叉和變異的行為，以獲 得離散搜索或者參數(shù)尋優(yōu)的結(jié)果。待定參數(shù)決定了系統(tǒng)的性能，參數(shù)尋優(yōu)的目的就是 要獲得使系統(tǒng)性能最佳的一組參數(shù)。 基本遺傳算法 基本遺傳算法 (Standard Geic Algorithms， 簡(jiǎn)稱 SGA)是 Goldberg總結(jié)出的一 種最基本的遺傳算法，其工作流程和結(jié)構(gòu)形式是 Goldberg在天然氣管道控制優(yōu)化應(yīng)用中首先提出的。 (2)群體由有限數(shù)目的基因型個(gè)體組成。遺傳算法的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)迭代過(guò)程，它以編 碼空間代替問(wèn)題空間，以適應(yīng)度函數(shù)為評(píng)價(jià)依據(jù)，以群體為進(jìn)化基礎(chǔ)，以對(duì)群體中個(gè)體的位串的遺傳操作實(shí)現(xiàn)選擇和遺傳機(jī)制，通過(guò)隨機(jī)重組位串中的重要基因，使群體不斷進(jìn)化，最終達(dá)到求解目的。根據(jù)模式定理，即使基本 GAs搜索到最優(yōu)解，但在交叉和變異算子的作用下仍然可能在生成下一代群體的過(guò)程中丟失，當(dāng)前群體中最優(yōu)解被破壞的概率與群體規(guī)模和迭代次數(shù)成反比。這樣的參數(shù)很難找到，因此，采用固定參數(shù) 的 GA有很多值得改進(jìn)的地方。 通常以隨機(jī)方法產(chǎn)生初始群體。故有時(shí)也稱這一操作為再生 (Reproduction)。適應(yīng)度較高的個(gè)體，繁殖下一代的數(shù)目較多。 對(duì)于選中用于繁殖下一代的個(gè)體，隨機(jī)地選擇兩個(gè)個(gè)體的相同位置，在選中的位置實(shí)行交換。1S =010101 39。S =001111。也就是說(shuō)，變異增加了全局優(yōu)化的特質(zhì)。這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的極大區(qū)別。由于遺傳算法使用適應(yīng)值這一信息進(jìn)行搜索，并不需要問(wèn)題導(dǎo)數(shù)等與問(wèn)題直接相關(guān)的信息。通過(guò)選擇、交叉、變異操作能迅速排除與最優(yōu)解相差極大的串，這是一個(gè)強(qiáng)烈的濾波過(guò)程，并且是一個(gè)并行濾波機(jī)制。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 27 圖 遺傳算法的求解流程 遺傳算法的應(yīng)用關(guān)鍵 遺傳算法在應(yīng)用中最關(guān)鍵的問(wèn)題有如下 3 個(gè)： 這本質(zhì)是問(wèn)題編碼。一般可以把問(wèn)題的模型函數(shù)作為對(duì)象函數(shù)，但有時(shí)需要另行構(gòu)造。 遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣 采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣的具體步驟如下： 。選擇運(yùn)算采用比例選擇算子，交叉運(yùn)算采用單點(diǎn)交叉算子，變異運(yùn)算采用基本位變異算子； 。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) {論文 } 29 5 二級(jí)倒立擺 LQR 控制設(shè)計(jì)及仿真 二級(jí)倒 立擺控制系統(tǒng)框圖 對(duì)二級(jí)倒立擺采用 LQR 控制設(shè)計(jì)，確定系統(tǒng)的 狀態(tài) 反饋，其 系統(tǒng) 的框圖 如圖 所示。 用 LQR控制，其 關(guān)鍵問(wèn)題是加權(quán)陣的選擇，本文針對(duì)加權(quán)陣的確定方式對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。 加權(quán)矩陣： Q=? ?0007 0 01 0 01 0 0 ， R=1 時(shí)， 反饋矩陣： k=? ? ??, 仿真結(jié)果如圖 所示 ，實(shí)際取下如圖 所示