【正文】 表示下列事件： ::::::::::::654321“三人均未命中目標”“三人均命中目標””“最多有一人命中目標“恰有兩人命中目標”“恰有一人命中目標””“至少有一人命中目標AAAAAACBA ??CBACBACBA ??CBABCACAB ??BACACB ??ABCCBA ?? 概率的定義及其運算 從直觀上來看，事件 A的概率是描繪事件 A發(fā)生的可能性大小的量 P（ A） 應具有何種性質(zhì)？ * 拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ * 擲一顆骰子，出現(xiàn) 6點的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點的概率為多少？ * 向目標射擊，命中目標的概率有多大？ (p10)若某實驗 E滿足： ：樣本空間 S＝ {e1, e 2 , … , e n }。 （也可推廣到若干途徑） 這兩公式的思想貫穿著整個概率問題的求解 。 分球入盒問題 例 2：將 3個球隨機的放入 3個盒子中去，問： （ 1）每盒恰有一球的概率是多少？ （ 2）空一盒的概率是多少？ 解 :設(shè) A:每盒恰有一球 ,B:空一盒 33)( ?SN !3)( ?AN92)( ?AP}{}{1)( 全有球空兩合 PPBP ???32923313 ????一般地，把 n個 球隨機地分配到 m個盒子中去(n?m)， 則每盒至多 有一 球的概率是： nnmmPp ?P9 某班級有 n 個人 (n?365)， 問至少有兩個人的生日在同一天 的概率有多大？ 例 3： 30名學生中有 3名運動員，將這 30名學生平均分成 3組，求： （ 1）每組有一名運動員的概率； （ 2） 3名運動員集中在一個組的概率。 可將此穩(wěn)定值記作 P(A)， 作為事件 A的概率 . 概率的公理化定義 注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義 (p8) 若對隨機試驗 E所對應的樣本空間 ?中的每一事件 A， 均賦予一實數(shù) P(A)， 集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1) P(A) ?≥0 ； (2) P(?)＝ 1； (3) 可列可加性 ： 設(shè) A1， A2， …, 是一列兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ?， (i?j), i , j＝ 1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋ P(A2)+…. () 則稱 P(A)為事件 A的 概率 。 解 :設(shè) A— 取到 的數(shù)能被 2整除 。 例 2.(p14)一盒中混有 100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。 解：設(shè) Ai為第 i次取球時取到白球，則 )|()|()|()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP ?52)(1 ?AP63)|(12 ?AAP73)|(213 ?AAAP84)|(3214 ?AAAAP三、全概率公式與貝葉斯公式 例 4.(p16)市場上有甲 、 乙 、 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 ， 已知三家工廠的市場占有率分別為 1/ 1/ 1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％ 、 1％ 、 3％ ， 試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率 。 思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 答 : 74127)()|()()()|( 1111 ???APABPBPBAPBAP(P22,22.) 商店論箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0， 1， 2只次品的概率分別為 , , ，某顧客選中一箱，從中任選 4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱 .問這一箱含有一個次品的概率是多少？ 解 :設(shè) A:從一箱中任取 4只檢查 ,結(jié)果都是好的 . B0, B1, B2分別表示事件每箱含 0， 1， 2只次品 已知 :P(B0)=, P(B1)=, P(B2)= 1)|(0 ?BAP54)|(4204191 ?? CCBAP1912)|(4204182 ?? CCBAP由 Bayes公式 : ??? 20111)|()()|()()|(iii BAPBPBAPBPABP0 8 4 1955????????例 6 (p18)數(shù)字通訊過程中 ， 信源發(fā)射 0、 1兩種狀態(tài)信號 ，其中發(fā) 0的概率為 ， 發(fā) 1的概率為 。 問發(fā)端發(fā)的是 0的概率是多少 ? ) B A ( P ＝ ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ? ＝ ＝ 解：設(shè) A發(fā)射端發(fā)射 0， B 接收端接收到一個 “ 1”的信號 ． ????0 () 0 1 不清 () () () 1 () 1 0 不清 () () () 條件概率 條件概率 小 結(jié) 縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 事件的獨立性 一、兩事件獨立 (P19) 定義 1 設(shè) A、 B是兩事件， P(A) ≠0,若 P(B)＝ P(B|A) () 則稱事件 A與 B相互 獨立 。 思考： A、 B、 C、 D相互獨立，則 獨立嗎？與 CDBA ? 骰子擲 4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事， 哪一個有更多的機會遇到？ 答 :, 三、事件獨立性的應用 加法公式的簡化 ：若 事件 A1， A2， … ， An相互獨立 , 則 () 在可靠性理論上的應用 P23, 24．如圖， 5表示繼電器觸點 ,假設(shè)每個觸點閉合的概率為 p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求 L至 R是通路的概率。 ②進行 5次試驗，事件 D={試驗成功一次 }， F={試驗至少成功一次 }， G={至多成功 3次 } ????????奇異型（混合型）連續(xù)型非離散型離散型隨機變量隨機變量的分類 ： 隨機變量 (P25)定義 若隨機變量 X取值 x1, x2, …, x n, … 且取這些值的概率依次為 p1, p2, …, p n, … , 則稱X為離散型隨機變量，而稱 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 為 X的 分布律 或概率分布。 解 k可取值 0， 1， 2 2. 分布律的性質(zhì) 例 5次，每次命中目標的概率為 p，以 X表示命中目標的次數(shù)，求 X的分布律。 泊松 定理 (p28) 設(shè)隨機變量 Xn~B(n, p), (n＝ 0, 1, 2,…), 且 n很大， p很小，記 ?=np， 則 , . . .2,1,0,!}{ ??? ? kekkXPk??解 設(shè) X表示 400次獨立射擊中命中的次數(shù)， 則 X～ B(400, )，故 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1} ＝ 1－ － (400)()()=… 上題用泊松定理 取 ? =np＝ (400)()＝ 8, 故 近似地有 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1} ＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ . （二 . ） 泊松 (Poisson)分布 P(?)(p28) X～ P{X＝ k}＝ , k＝ 0, 1, 2, … (??0) ??? e!kk泊松 定理表明， 泊松分布是二項分布的極限分布， 當 n很大， p很小時， 二項分布就可近似地 看成是參數(shù) ?=np的 泊松分布 例 X服從參數(shù)為 ?的泊松分布 ,且知一對夫婦有不超過 1個孩子的概率為 任選一對夫婦 ,至少有 3個孩子的概率。 歸一 性 ：對任意實數(shù) x， 0?F(x)?1， 且 。 ?????????????2,121,10,1,0xxxx＝例 2 向 [0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以 X表示質(zhì)點坐標 .假定 質(zhì)點落在 [0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比 ，求 X的分布函數(shù) 解： F(x)=P{X≤x} ???????????1,110,0,0)()(xxxxxXPxF ＝＝)(xFx101當 x0時 ,F(x)=0。0 a babcddxabdxxfdXcPdcdc ????? ? ? ＝＝＝1)(}{)x(fx則稱 X在 (a, b)內(nèi)服從 均勻分布。 解 }{)( tTPtF ??當 t ≤0時， 0)( ?tF當 t 0時， }{)( tTPtF ?? }{1 tTP ???=1 {在 t時刻之前無汽車過橋 } }0{1 ??? tXP te ???? 1于是 ??????? ?000)(39。 正態(tài)分布也稱為高斯 (Gauss)分布 ? (p38) 參數(shù) ?＝ 0， ?2＝ 1的正態(tài)分布稱為 標準正態(tài)分布，記作 X~N(0, 1)。求 Y的分布律 . 例 :已知 X Pk 1 0 1 313131求： Y=X2的分布律 Y Pk 1 0 3132或 Y＝ g(X)～ P{Y＝ g(xk)}＝ pk ， k＝ 1, 2, … （ 其中 g(xk)有相同的，其對應概率合并。 解： Y的分布函數(shù)為 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X≥g1(y)}=1FX(g1(y)) ?Y的概率密度為 fY(y)=F?(g1(y))=－ fX(g1(y)) g1(y) dyd公式法：一般地 若 X～ fX(x), y=g(x)是 單調(diào)可導 函數(shù)，則 |)(|)]([)(~)( yhyhfyfXgY XY ???注 ： 1 只有當 g(x)是 x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以 上公式推求 Y的密度函數(shù)。 二 . 聯(lián)合分布函數(shù) 00 , yx? ?? ?00 , yyxxyx ????????幾何意義： 分布函數(shù) F( )表示隨機點 (X,Y)落在區(qū)域 中的概率。 2)求 P{0X2,0Y3} 解 : 1]2[),( ??????BAF0)]3(][2[),( ?????? ya r c t gCBAyF ?0]2) ] [2([),( ?????? ?Cxa r c t gBAxF212 ?? ???? ACB161)0,2()3,0()3,2()0,0(}30,20{ ????????? FFFFYXP三 .聯(lián)合分布律 (P42)若二維隨機變量 (X, Y)只能取至多可列個值 (xi, yj), (i, j＝ 1, 2, … )， 則稱 (X, Y)為 二維離散型隨機變量。 1 ) , (dxdy y x f)。 解 dx dyeDYXPDyx?? ???? )32(6}),{(? ?????303220)32(6 dyedxxyx671 ??? e 3. 兩個常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布 (p45) 若二維隨機變量 (X, Y)的密度函數(shù)為 則稱 (X, Y)在區(qū)域 D上 (內(nèi) ) 服從均勻分布。 則稱 (X1,X2,...Xn)為 n維連續(xù)型隨機變量，稱f(x1,x2,...xn)為 (X1,X2,...Xn)的概率密度。 邊緣分布律自然也滿足分布律