【正文】 設(shè)計為例，優(yōu)化過程如圖1—14所示。由于工程實際問題的復(fù)雜性，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)均比較復(fù)雜，要實現(xiàn)上述目標(biāo)不是花費大量的時間，就是無法達到。第一節(jié) 一元函數(shù)的極值問題如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)處處有一階導(dǎo)數(shù),x為其極值點；則必須：這就是極值存在的必要條件。第二節(jié) 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)極值點的必要條件：必要條件成立并滿足：則：第三節(jié) 一般n元函數(shù)的極值多元函數(shù)的性質(zhì)．能從二元函數(shù)得到很好的反映。 二、極值點的充分條件若x*為f(x)的一個極小點，則函數(shù)在x*沿任何方向s均不減小，因此對任何方向的s恒有：存在極值點的必要條件。 凸集 若任意兩個點Xl和X2位于某集合之中，且連接這兩點的線段上所有點也在這個點集中，則這個點集便是凸集，如圖2—7所示。若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行區(qū)又是凸集，則找到的極小點必為最小點。下面我們來研究圖2—11中的兩種情況。雖然，工程實際中的最優(yōu)化設(shè)計問題絕大多數(shù)都是有約束的，但是，無約束最優(yōu)化問題是有約束最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。無約束員優(yōu)化方法是基于古典極值理論的一種數(shù)值迭代方法，主要是用來求解非線性規(guī)劃問題。下面首先來解決迭代終止問題。根據(jù)這一特點，目前常用的迭代終止準(zhǔn)則即停機準(zhǔn)則有以下幾種形式： 1)當(dāng)相鄰兩次迭代點Xk 和Xk+1，之間的距離已達到充分小時，則可認(rèn)為Xk+1，是極小值點，此時可以終止迭代。有數(shù)學(xué)式表示，即為：3)當(dāng)?shù)c的目標(biāo)函數(shù)的梯度值達到充分小時，即滿足下式時，可以終止迭代過程。上面各式中的ε是代表計算精度要求的一個足夠小的正數(shù)。第三節(jié) 常用的一維搜索方法一維搜索方法只牽涉到搜索步長的問題。導(dǎo)數(shù)法確定搜索區(qū)間：取一點a0及步長Δa，計算f’（ a0），若：再取一點a1= a0+Δa，計算f’（ a1），若：則確定搜索區(qū)間為：[a=a0，b= a1]。但也不宜太小，否則，費時太多。具體步驟是這樣的：在區(qū)間[a0，b0]內(nèi)取兩個黃金分割點，如圖3—6所示：若則保留a1點，可推出：因而，a1又是新區(qū)間[a，b]內(nèi)的一個黃金分割點，相當(dāng)于前面的a2。程序框圖如下：三、分?jǐn)?shù)法。若：則應(yīng)在區(qū)間[a1，b]內(nèi)，那么去掉[a，a1]一段，a2點作為新區(qū)間進行下一輪縮短時的一個點。第四節(jié) 梯度法(最速下降法)一、 基本思想梯度法又稱最速下降法，它是解析法的一種。設(shè)目標(biāo)函數(shù)f（x）在已知點Xk的梯度為：則我們在設(shè)計空間中過Xk點選擇的搜索方向為：最后提出：問題轉(zhuǎn)化為求ak 值得到：采用一維搜索求 ak。經(jīng)過若干次迭代即可求出極小點和極小值。改善梯度法的幾項措施： 選好初始點； 進行變量轉(zhuǎn)換； 改變迭代步長； 采用平行切線法。它的基本思想來源于用牛頓法求解方程的根。上述思想很容易推廣到求多元函數(shù)極值問題中。也就是說．它的迭代次數(shù)相對其他方法來說，要少得多。這就使計算較為復(fù)雜，增加了每次選代的計算工作量。第三，對于非二次函數(shù)，我們應(yīng)用泰勒級數(shù)展開．將函數(shù)簡化為—一個近似的二次函數(shù)。第四，對于非二次函數(shù)，采用牛頓法時初始點并不能任取，而是要求離極小點較近。這兩點將函數(shù)劃分為三個區(qū)域：討論一下當(dāng)初始點分別選在這三個區(qū)域內(nèi)時，用牛頓法的收斂情況?？驁D如下：第六節(jié) 共扼方向法共扼方向法的最大特點是具有二次截止性。如果有n個M維向量s1，s2，s3：，…，sn滿足以下條件:則我們稱這n個向量是A共扼向量，它們的方向稱共扼方向。現(xiàn)在設(shè)有一個n維二次函數(shù)：它的極小點為x*。得：這就是所求極小值點。具體做法是這樣的，設(shè)有一個n維函數(shù)f(x)，用梯度法經(jīng)過n—1次迭代，即可得到n個選代點xo，xl，x2，…xn1，這些點所對應(yīng)的函數(shù)的梯度為g1,g2, …gn1。共扼梯度法的計算步驟及迭代公式如下(1)任選初始點Xo，則：如此可構(gòu)造n個共扼方向s0，sl，s2，…，sn。點后，不一定就是極小值點。變尺度法的種類很多，這里我們只介紹其中最重要的兩種方法，DFP法和BFGS陽法。為此，必須做到以下四點：(1) 希望算法具有下降性，即滿足：(2)為使算法具有二次收斂性，必須保證每次迭代的搜索方向Sk是關(guān)于H(xk)相互共扼的。(5)計算：(6)若在迭代了n次后仍達不到精度要求，為了加快收斂速度可重取Ak＝I：，再進行選代循環(huán)。在70年代韌，又有人提出了另一種方法，稱為BFGS變尺度法，實際上，是對DFP方法的一種改進的方法。(2)目標(biāo)函數(shù)本身不是一個解析式或無法用解析式表達，例如目標(biāo)函數(shù)是一個二階常微分方程的解．而不是一個解析式；(3)對于維數(shù)不多的優(yōu)化設(shè)計問題，持別對于帶有離散變量的維數(shù)不多的問 題，有時用直接法較簡便。工程優(yōu)化設(shè)計多屬于后者。從運輸眨離來講．每小時能運A科7t或B料12t。3． 基本可行解滿足非負(fù)條件的基本解稱基本可行解。5． 最優(yōu)解及最優(yōu)基本解目標(biāo)函數(shù)為最優(yōu)的可行解稱最優(yōu)解。這里關(guān)留要解決三個問題： (1)初始頂點(初始的基本可行解)如何確定?(2)怎樣使最優(yōu)搜索從一個頂點移到另一個頂點?(3)如何判斷所找到的頂點是不是最優(yōu)解?首先讓我們來解決第一個問題。已知初始基本可行解所對應(yīng)的增廣矩陣為：既然是把X2，作為基本變量替換X3。根據(jù)線性規(guī)劃的基本原理可知，最優(yōu)點必在可行區(qū)的頂點之中．因此每當(dāng)找到一個新的頂點，就需要判斷該頂點是不是最優(yōu)點。用前面介紹過的方法，我們可以找到新的基本可行解：且對所有i有a(k)iQ0，則無最優(yōu)解。若某個檢驗數(shù)小于零且全部元素a(k)iQ0，則此問題無最優(yōu)解。為了解決這個問題，我們可設(shè)法人工構(gòu)造一個基本可行解(稱人造基)作為已知的初始基本可行解。它的基本思想是將原來的目標(biāo)函數(shù)相約束函數(shù)按一定的方式構(gòu)成一個新的函數(shù)。這樣我們就把一個有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的無約束優(yōu)化問題。即有約束的優(yōu)化設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化成一系列無約束極小化問題進行求解。根據(jù)這一特點，內(nèi)點法每次用無約束最優(yōu)化方法求極小點時，其初始點必須是可行區(qū)的內(nèi)點，而每次選定一個rk所找到的極小點也必然是內(nèi)點，即內(nèi)點法始終是在可行區(qū)的內(nèi)部進行最優(yōu)搜索。這就是用外點法構(gòu)造的新目標(biāo)函數(shù)的重要特點。三、外點法例題及框圖例：二桿衍架的優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)函數(shù)：約束函數(shù)：懲罰函數(shù)：四、SUMT方法的討論(1) 關(guān)于函數(shù)φ(X)的構(gòu)成圍墻函數(shù)和罰函數(shù)的構(gòu)成可以是多種形式，但不管是什么形式，都必須滿足具有圍墻函數(shù)和罰函數(shù)的特征這一條件。和遞增系數(shù)β選得是否恰當(dāng)，對計算效率和有效性同樣有顯著影響。因此，對于外點法所獲得的最優(yōu)點必須進行可行性檢查．必要時進行人工調(diào)整，以使其為可行點。只要所得新點在可行域內(nèi)，并且其目標(biāo)函數(shù)是下降的，就按該步長繼續(xù)搜索，直到新點不滿足上述條件時才減小步長進行搜索。在選擇起始點時既可以憑經(jīng)驗人為地確定、也可以利用計算機產(chǎn)生的偽隨機效進行隨機選擇。由初始點x(0)出發(fā)，沿S(0方向搜索。因此它對函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，使得程序結(jié)構(gòu)簡單，適應(yīng)面大。因此對于多峰函數(shù)，常需要多選擇幾個不同的初始點進行搜索．最后再從它們的結(jié)果中選出最優(yōu)設(shè)計方案。如此重復(fù)計算，使新的復(fù)合形不斷地向員優(yōu)點移動和收縮，直到復(fù)合形本身小到一個預(yù)定的精度時，即可停止迭代，取得最優(yōu)解。(4) 檢查映像點的可行性。(2) 計算頂點的目標(biāo)函數(shù)值，找出最差點和次差點，并計算中心點及其目標(biāo)函數(shù)值，檢查停機準(zhǔn)則。用x(a)代替x(h)和其余3個頂點一起構(gòu)成新的復(fù)合形，從而進入新一輪搜索，程序?qū)⑥D(zhuǎn)向步驟(2)繼續(xù)進行。 (2)起始復(fù)合形的頂點應(yīng)全部在可行區(qū)內(nèi)，人為地選定這些頂點在復(fù)雜的問題中是較為困難的。滿足這一條件的方法就稱為可行方向法。這兩條原則對于初始點為非可行點時也同樣適用。D的方向總是指向最優(yōu)點而不會背離最優(yōu)點，所以沿這個方向進行搜索有可能向最優(yōu)點逼近。按上述方法反復(fù)迭代，就可以自動找到一系列合適的步長，使最優(yōu)搜索如圖5—16b)那樣一步一步逼近最優(yōu)點，并在給定的精度范圍內(nèi)收斂于最優(yōu)點x。如果最優(yōu)點不在約束界面上，而在可行區(qū)的內(nèi)部，那么此方法將失效。這就增加了求解的困難度，特別是對于不易求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，還需要用差分法求偏導(dǎo)數(shù)的近似值，這不僅增加了程序上的復(fù)雜性，而且使計算精度也受到影響。 (3)在一般情況下可求得全局最優(yōu)解。這樣，我們就把原問題轉(zhuǎn)化為求其對偶問題。其數(shù)學(xué)模型為：第二節(jié) 動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃是20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個分文，它是用于解決多階段決策過程的最優(yōu)化問題納一種方法。所謂無后效性是指模型具有如下特征：過程的過去情況，只能通過當(dāng)前的狀態(tài)去影響過程的未來。4)轉(zhuǎn)換方程就每一階段而言，其輸出狀態(tài)與輸入狀態(tài)和決策變量有關(guān)。根據(jù)這一原理，我們可以按逆過程(回化過程)，分階段進行優(yōu)化。 線性加權(quán)組合法 目標(biāo)規(guī)劃法 功效系數(shù)法 乘除法二、主目標(biāo)法主目標(biāo)法的基本思想是把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成為單目標(biāo)優(yōu)化問題．然后再用單目標(biāo)優(yōu)化方法求解，得到多目標(biāo)優(yōu)化問題的解。當(dāng)u可用實數(shù)繼續(xù)表示時，模糊集合。一、離散變量優(yōu)化問題的一些概念1．離散變量優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型機械設(shè)計中混合型離散優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：離散值域表示的矩陣Q為：2．非均勻離散變量和連續(xù)變量的均勻離散化處理若一個離散變量的離散增量相等，則稱該變量力均勻離散變量，即有：若一個離散變量的離散增量部分相等成全不相等，則統(tǒng)稱為非均勻離散變量。這種方法是先權(quán)宜地將所有變量視為連續(xù)變量，用一般連續(xù)型最優(yōu)化方法求其最優(yōu)解，然后取其該解與之接近的整數(shù)值或離散值。這是求解離散變量優(yōu)化問題的一種最原始的遍數(shù)法。手段有些不同：1）映射點2）搜索步長：3)當(dāng)沿X(B)和X(C)聯(lián)線方向進行一維搜索找到比X(B)更好的點時，則應(yīng)改變方向，依次取第2次壞點、第3次壞點……和X(C)聯(lián)線作為搜索方向，重新進行一維搜索。7） 算法步驟 (1)選擇并輸入運算的基本參數(shù)。(5)檢查收斂淮則，若滿足轉(zhuǎn)到(10)。(9)各頂點向最好點收縮，形成新的復(fù)合形，并轉(zhuǎn)到(4)。按經(jīng)驗分配壓下量而得到的軋制規(guī)程雖然生產(chǎn)上可行，但是缺乏定量的科學(xué)依據(jù)。其目標(biāo)函數(shù)為：2）等負(fù)荷軋制規(guī)程熱連軋帶鋼軋機精軋機組各機架主電機功率相等時，為使各機架的負(fù)荷分配均勻，以各機架的軋制負(fù)荷相等為尋優(yōu)目標(biāo)。成品機架的軋制速度按電機能力和軋后冷卻等因素的限制一旦確定之后，其他各機架的軋制速度便會依據(jù)壓下規(guī)程及連軋常數(shù)而確定。 采用動態(tài)規(guī)劃法尋求軋制能耗最小、軋制負(fù)荷或相對軋制負(fù)荷近似相等的軋制規(guī)程，需要將各道次的壓下量在一定范圍內(nèi)離散。或相對負(fù)荷近似相等的軋制方案。優(yōu)化方法用于計算機輔助孔型設(shè)計，使計算機輔助孔型設(shè)計的功能加強，并使孔型設(shè)計的某些目標(biāo)值達最優(yōu)，無疑這對孔型設(shè)計來說是在向工程科學(xué)邁進。在確定目標(biāo)函數(shù)時，選擇自變量非常關(guān)鍵。所以在確定自變量時，應(yīng)該注意到能夠表示軋件在孔型中的軋制特點，便于求解目標(biāo)函數(shù)值，便于處理約束條件?？仔拖到y(tǒng)的選擇在傳統(tǒng)的孔型設(shè)計中是根據(jù)生產(chǎn)條件．按照設(shè)計的一般原則結(jié)合設(shè)計者的生產(chǎn)經(jīng)驗來確定的。這是因為腰部和腿部不同的壓下量組合很多，會使計算量大幅度地增加。在進行孔型參數(shù)優(yōu)化時，延伸系數(shù)與軋制功率的函數(shù)關(guān)系不易于表示成明確的函數(shù)關(guān)系。這樣便可采用網(wǎng)格法求解。一直到網(wǎng)格的員大間距小于預(yù)先所給的計算精度為止。在軋輥的原始直徑一定的俏況下，前后機架不同的軋件斷面面積可以便兩機架間的張力不同。因此采用動態(tài)規(guī)劃法進行優(yōu)化，可以得到使連軋總張力最小的各機架軋出的斷面尺寸