【正文】 設(shè)計(jì)為例，優(yōu)化過程如圖1—14所示。由于工程實(shí)際問題的復(fù)雜性，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)均比較復(fù)雜，要實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)不是花費(fèi)大量的時(shí)間，就是無法達(dá)到。第一節(jié) 一元函數(shù)的極值問題如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)處處有一階導(dǎo)數(shù),x為其極值點(diǎn)；則必須：這就是極值存在的必要條件。第二節(jié) 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件：必要條件成立并滿足：則：第三節(jié) 一般n元函數(shù)的極值多元函數(shù)的性質(zhì)．能從二元函數(shù)得到很好的反映。 二、極值點(diǎn)的充分條件若x*為f(x)的一個(gè)極小點(diǎn)，則函數(shù)在x*沿任何方向s均不減小，因此對任何方向的s恒有：存在極值點(diǎn)的必要條件。 凸集 若任意兩個(gè)點(diǎn)Xl和X2位于某集合之中，且連接這兩點(diǎn)的線段上所有點(diǎn)也在這個(gè)點(diǎn)集中，則這個(gè)點(diǎn)集便是凸集，如圖2—7所示。若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，可行區(qū)又是凸集，則找到的極小點(diǎn)必為最小點(diǎn)。下面我們來研究圖2—11中的兩種情況。雖然，工程實(shí)際中的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題絕大多數(shù)都是有約束的，但是，無約束最優(yōu)化問題是有約束最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。無約束員優(yōu)化方法是基于古典極值理論的一種數(shù)值迭代方法，主要是用來求解非線性規(guī)劃問題。下面首先來解決迭代終止問題。根據(jù)這一特點(diǎn)，目前常用的迭代終止準(zhǔn)則即停機(jī)準(zhǔn)則有以下幾種形式： 1)當(dāng)相鄰兩次迭代點(diǎn)Xk 和Xk+1，之間的距離已達(dá)到充分小時(shí)，則可認(rèn)為Xk+1，是極小值點(diǎn)，此時(shí)可以終止迭代。有數(shù)學(xué)式表示，即為：3)當(dāng)?shù)c(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)的梯度值達(dá)到充分小時(shí)，即滿足下式時(shí)，可以終止迭代過程。上面各式中的ε是代表計(jì)算精度要求的一個(gè)足夠小的正數(shù)。第三節(jié) 常用的一維搜索方法一維搜索方法只牽涉到搜索步長的問題。導(dǎo)數(shù)法確定搜索區(qū)間：取一點(diǎn)a0及步長Δa，計(jì)算f’（ a0），若：再取一點(diǎn)a1= a0+Δa，計(jì)算f’（ a1），若：則確定搜索區(qū)間為：[a=a0，b= a1]。但也不宜太小，否則，費(fèi)時(shí)太多。具體步驟是這樣的：在區(qū)間[a0，b0]內(nèi)取兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，如圖3—6所示：若則保留a1點(diǎn)，可推出：因而，a1又是新區(qū)間[a，b]內(nèi)的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，相當(dāng)于前面的a2。程序框圖如下：三、分?jǐn)?shù)法。若：則應(yīng)在區(qū)間[a1，b]內(nèi)，那么去掉[a，a1]一段，a2點(diǎn)作為新區(qū)間進(jìn)行下一輪縮短時(shí)的一個(gè)點(diǎn)。第四節(jié) 梯度法(最速下降法)一、 基本思想梯度法又稱最速下降法，它是解析法的一種。設(shè)目標(biāo)函數(shù)f（x）在已知點(diǎn)Xk的梯度為：則我們在設(shè)計(jì)空間中過Xk點(diǎn)選擇的搜索方向?yàn)椋鹤詈筇岢觯簡栴}轉(zhuǎn)化為求ak 值得到：采用一維搜索求 ak。經(jīng)過若干次迭代即可求出極小點(diǎn)和極小值。改善梯度法的幾項(xiàng)措施： 選好初始點(diǎn)； 進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換； 改變迭代步長； 采用平行切線法。它的基本思想來源于用牛頓法求解方程的根。上述思想很容易推廣到求多元函數(shù)極值問題中。也就是說．它的迭代次數(shù)相對其他方法來說，要少得多。這就使計(jì)算較為復(fù)雜，增加了每次選代的計(jì)算工作量。第三，對于非二次函數(shù)，我們應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開．將函數(shù)簡化為—一個(gè)近似的二次函數(shù)。第四，對于非二次函數(shù)，采用牛頓法時(shí)初始點(diǎn)并不能任取，而是要求離極小點(diǎn)較近。這兩點(diǎn)將函數(shù)劃分為三個(gè)區(qū)域：討論一下當(dāng)初始點(diǎn)分別選在這三個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，用牛頓法的收斂情況?？驁D如下：第六節(jié) 共扼方向法共扼方向法的最大特點(diǎn)是具有二次截止性。如果有n個(gè)M維向量s1，s2，s3：，…，sn滿足以下條件:則我們稱這n個(gè)向量是A共扼向量，它們的方向稱共扼方向?，F(xiàn)在設(shè)有一個(gè)n維二次函數(shù)：它的極小點(diǎn)為x*。得：這就是所求極小值點(diǎn)。具體做法是這樣的，設(shè)有一個(gè)n維函數(shù)f(x)，用梯度法經(jīng)過n—1次迭代，即可得到n個(gè)選代點(diǎn)xo，xl，x2，…xn1，這些點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)的梯度為g1,g2, …gn1。共扼梯度法的計(jì)算步驟及迭代公式如下(1)任選初始點(diǎn)Xo，則：如此可構(gòu)造n個(gè)共扼方向s0，sl，s2，…，sn。點(diǎn)后，不一定就是極小值點(diǎn)。變尺度法的種類很多，這里我們只介紹其中最重要的兩種方法，DFP法和BFGS陽法。為此，必須做到以下四點(diǎn)：(1) 希望算法具有下降性，即滿足：(2)為使算法具有二次收斂性，必須保證每次迭代的搜索方向Sk是關(guān)于H(xk)相互共扼的。(5)計(jì)算：(6)若在迭代了n次后仍達(dá)不到精度要求，為了加快收斂速度可重取Ak＝I：，再進(jìn)行選代循環(huán)。在70年代韌，又有人提出了另一種方法，稱為BFGS變尺度法，實(shí)際上，是對DFP方法的一種改進(jìn)的方法。(2)目標(biāo)函數(shù)本身不是一個(gè)解析式或無法用解析式表達(dá)，例如目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二階常微分方程的解．而不是一個(gè)解析式；(3)對于維數(shù)不多的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，持別對于帶有離散變量的維數(shù)不多的問 題，有時(shí)用直接法較簡便。工程優(yōu)化設(shè)計(jì)多屬于后者。從運(yùn)輸眨離來講．每小時(shí)能運(yùn)A科7t或B料12t。3． 基本可行解滿足非負(fù)條件的基本解稱基本可行解。5． 最優(yōu)解及最優(yōu)基本解目標(biāo)函數(shù)為最優(yōu)的可行解稱最優(yōu)解。這里關(guān)留要解決三個(gè)問題： (1)初始頂點(diǎn)(初始的基本可行解)如何確定?(2)怎樣使最優(yōu)搜索從一個(gè)頂點(diǎn)移到另一個(gè)頂點(diǎn)?(3)如何判斷所找到的頂點(diǎn)是不是最優(yōu)解?首先讓我們來解決第一個(gè)問題。已知初始基本可行解所對應(yīng)的增廣矩陣為：既然是把X2，作為基本變量替換X3。根據(jù)線性規(guī)劃的基本原理可知，最優(yōu)點(diǎn)必在可行區(qū)的頂點(diǎn)之中．因此每當(dāng)找到一個(gè)新的頂點(diǎn)，就需要判斷該頂點(diǎn)是不是最優(yōu)點(diǎn)。用前面介紹過的方法，我們可以找到新的基本可行解：且對所有i有a(k)iQ0，則無最優(yōu)解。若某個(gè)檢驗(yàn)數(shù)小于零且全部元素a(k)iQ0，則此問題無最優(yōu)解。為了解決這個(gè)問題，我們可設(shè)法人工構(gòu)造一個(gè)基本可行解(稱人造基)作為已知的初始基本可行解。它的基本思想是將原來的目標(biāo)函數(shù)相約束函數(shù)按一定的方式構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)。這樣我們就把一個(gè)有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的無約束優(yōu)化問題。即有約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化成一系列無約束極小化問題進(jìn)行求解。根據(jù)這一特點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)法每次用無約束最優(yōu)化方法求極小點(diǎn)時(shí)，其初始點(diǎn)必須是可行區(qū)的內(nèi)點(diǎn)，而每次選定一個(gè)rk所找到的極小點(diǎn)也必然是內(nèi)點(diǎn)，即內(nèi)點(diǎn)法始終是在可行區(qū)的內(nèi)部進(jìn)行最優(yōu)搜索。這就是用外點(diǎn)法構(gòu)造的新目標(biāo)函數(shù)的重要特點(diǎn)。三、外點(diǎn)法例題及框圖例：二桿衍架的優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)：約束函數(shù)：懲罰函數(shù)：四、SUMT方法的討論(1) 關(guān)于函數(shù)φ(X)的構(gòu)成圍墻函數(shù)和罰函數(shù)的構(gòu)成可以是多種形式，但不管是什么形式，都必須滿足具有圍墻函數(shù)和罰函數(shù)的特征這一條件。和遞增系數(shù)β選得是否恰當(dāng)，對計(jì)算效率和有效性同樣有顯著影響。因此，對于外點(diǎn)法所獲得的最優(yōu)點(diǎn)必須進(jìn)行可行性檢查．必要時(shí)進(jìn)行人工調(diào)整，以使其為可行點(diǎn)。只要所得新點(diǎn)在可行域內(nèi)，并且其目標(biāo)函數(shù)是下降的，就按該步長繼續(xù)搜索，直到新點(diǎn)不滿足上述條件時(shí)才減小步長進(jìn)行搜索。在選擇起始點(diǎn)時(shí)既可以憑經(jīng)驗(yàn)人為地確定、也可以利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的偽隨機(jī)效進(jìn)行隨機(jī)選擇。由初始點(diǎn)x(0)出發(fā)，沿S(0方向搜索。因此它對函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，使得程序結(jié)構(gòu)簡單，適應(yīng)面大。因此對于多峰函數(shù)，常需要多選擇幾個(gè)不同的初始點(diǎn)進(jìn)行搜索．最后再從它們的結(jié)果中選出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。如此重復(fù)計(jì)算，使新的復(fù)合形不斷地向員優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)和收縮，直到復(fù)合形本身小到一個(gè)預(yù)定的精度時(shí)，即可停止迭代，取得最優(yōu)解。(4) 檢查映像點(diǎn)的可行性。(2) 計(jì)算頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，找出最差點(diǎn)和次差點(diǎn)，并計(jì)算中心點(diǎn)及其目標(biāo)函數(shù)值，檢查停機(jī)準(zhǔn)則。用x(a)代替x(h)和其余3個(gè)頂點(diǎn)一起構(gòu)成新的復(fù)合形，從而進(jìn)入新一輪搜索，程序?qū)⑥D(zhuǎn)向步驟(2)繼續(xù)進(jìn)行。 (2)起始復(fù)合形的頂點(diǎn)應(yīng)全部在可行區(qū)內(nèi)，人為地選定這些頂點(diǎn)在復(fù)雜的問題中是較為困難的。滿足這一條件的方法就稱為可行方向法。這兩條原則對于初始點(diǎn)為非可行點(diǎn)時(shí)也同樣適用。D的方向總是指向最優(yōu)點(diǎn)而不會(huì)背離最優(yōu)點(diǎn)，所以沿這個(gè)方向進(jìn)行搜索有可能向最優(yōu)點(diǎn)逼近。按上述方法反復(fù)迭代，就可以自動(dòng)找到一系列合適的步長，使最優(yōu)搜索如圖5—16b)那樣一步一步逼近最優(yōu)點(diǎn)，并在給定的精度范圍內(nèi)收斂于最優(yōu)點(diǎn)x。如果最優(yōu)點(diǎn)不在約束界面上，而在可行區(qū)的內(nèi)部，那么此方法將失效。這就增加了求解的困難度，特別是對于不易求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，還需要用差分法求偏導(dǎo)數(shù)的近似值，這不僅增加了程序上的復(fù)雜性，而且使計(jì)算精度也受到影響。 (3)在一般情況下可求得全局最優(yōu)解。這樣，我們就把原問題轉(zhuǎn)化為求其對偶問題。其數(shù)學(xué)模型為：第二節(jié) 動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分文，它是用于解決多階段決策過程的最優(yōu)化問題納一種方法。所謂無后效性是指模型具有如下特征：過程的過去情況，只能通過當(dāng)前的狀態(tài)去影響過程的未來。4)轉(zhuǎn)換方程就每一階段而言，其輸出狀態(tài)與輸入狀態(tài)和決策變量有關(guān)。根據(jù)這一原理，我們可以按逆過程(回化過程)，分階段進(jìn)行優(yōu)化。 線性加權(quán)組合法 目標(biāo)規(guī)劃法 功效系數(shù)法 乘除法二、主目標(biāo)法主目標(biāo)法的基本思想是把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成為單目標(biāo)優(yōu)化問題．然后再用單目標(biāo)優(yōu)化方法求解，得到多目標(biāo)優(yōu)化問題的解。當(dāng)u可用實(shí)數(shù)繼續(xù)表示時(shí)，模糊集合。一、離散變量優(yōu)化問題的一些概念1．離散變量優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型機(jī)械設(shè)計(jì)中混合型離散優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：離散值域表示的矩陣Q為：2．非均勻離散變量和連續(xù)變量的均勻離散化處理若一個(gè)離散變量的離散增量相等，則稱該變量力均勻離散變量，即有：若一個(gè)離散變量的離散增量部分相等成全不相等，則統(tǒng)稱為非均勻離散變量。這種方法是先權(quán)宜地將所有變量視為連續(xù)變量，用一般連續(xù)型最優(yōu)化方法求其最優(yōu)解，然后取其該解與之接近的整數(shù)值或離散值。這是求解離散變量優(yōu)化問題的一種最原始的遍數(shù)法。手段有些不同：1）映射點(diǎn)2）搜索步長：3)當(dāng)沿X(B)和X(C)聯(lián)線方向進(jìn)行一維搜索找到比X(B)更好的點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)改變方向，依次取第2次壞點(diǎn)、第3次壞點(diǎn)……和X(C)聯(lián)線作為搜索方向，重新進(jìn)行一維搜索。7） 算法步驟 (1)選擇并輸入運(yùn)算的基本參數(shù)。(5)檢查收斂淮則，若滿足轉(zhuǎn)到(10)。(9)各頂點(diǎn)向最好點(diǎn)收縮，形成新的復(fù)合形，并轉(zhuǎn)到(4)。按經(jīng)驗(yàn)分配壓下量而得到的軋制規(guī)程雖然生產(chǎn)上可行，但是缺乏定量的科學(xué)依據(jù)。其目標(biāo)函數(shù)為：2）等負(fù)荷軋制規(guī)程熱連軋帶鋼軋機(jī)精軋機(jī)組各機(jī)架主電機(jī)功率相等時(shí)，為使各機(jī)架的負(fù)荷分配均勻，以各機(jī)架的軋制負(fù)荷相等為尋優(yōu)目標(biāo)。成品機(jī)架的軋制速度按電機(jī)能力和軋后冷卻等因素的限制一旦確定之后，其他各機(jī)架的軋制速度便會(huì)依據(jù)壓下規(guī)程及連軋常數(shù)而確定。 采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法尋求軋制能耗最小、軋制負(fù)荷或相對軋制負(fù)荷近似相等的軋制規(guī)程，需要將各道次的壓下量在一定范圍內(nèi)離散?；蛳鄬ω?fù)荷近似相等的軋制方案。優(yōu)化方法用于計(jì)算機(jī)輔助孔型設(shè)計(jì)，使計(jì)算機(jī)輔助孔型設(shè)計(jì)的功能加強(qiáng)，并使孔型設(shè)計(jì)的某些目標(biāo)值達(dá)最優(yōu)，無疑這對孔型設(shè)計(jì)來說是在向工程科學(xué)邁進(jìn)。在確定目標(biāo)函數(shù)時(shí)，選擇自變量非常關(guān)鍵。所以在確定自變量時(shí)，應(yīng)該注意到能夠表示軋件在孔型中的軋制特點(diǎn)，便于求解目標(biāo)函數(shù)值，便于處理約束條件?？仔拖到y(tǒng)的選擇在傳統(tǒng)的孔型設(shè)計(jì)中是根據(jù)生產(chǎn)條件．按照設(shè)計(jì)的一般原則結(jié)合設(shè)計(jì)者的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)來確定的。這是因?yàn)檠亢屯炔坎煌膲合铝拷M合很多，會(huì)使計(jì)算量大幅度地增加。在進(jìn)行孔型參數(shù)優(yōu)化時(shí)，延伸系數(shù)與軋制功率的函數(shù)關(guān)系不易于表示成明確的函數(shù)關(guān)系。這樣便可采用網(wǎng)格法求解。一直到網(wǎng)格的員大間距小于預(yù)先所給的計(jì)算精度為止。在軋輥的原始直徑一定的俏況下，前后機(jī)架不同的軋件斷面面積可以便兩機(jī)架間的張力不同。因此采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化，可以得到使連軋總張力最小的各機(jī)架軋出的斷面尺寸