【正文】 {an}和 {bn}的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列 {anbn}的前 n項和為 Tn，求證： Tn2. ?k ＝ 1n 1bk ＋ b k ＋ 1＝ nb1 ＋ b n ＋ 1， 解析： ( 1 ) ∵ Sn＝ 1 － an， 當(dāng) n ＝ 1 時， a1＝ S1＝ 1 － a1，解得 a1＝12. 當(dāng) n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ ( )1 － a n － ( )1 － a n － 1 ， 得 2 an＝ an － 1，即anan － 1＝12. ∴ 數(shù)列 { an} 是首項為12，公比為12的等比數(shù)列 ． ∴ an＝12????????12n － 1＝12n . ∵ 對于一切 n ∈ N*，有 ?k ＝ 1n 1bk＋ bk ＋ 1＝nb1＋ bn ＋ 1， ① 當(dāng) n ≥ 2 時，有 ?k ＝ 1n － 1 1bk＋ bk ＋ 1＝n － 1b1＋ bn， ② ① － ② ，得1bn＋ bn ＋ 1＝nb1＋ bn ＋ 1－n － 1b1＋ bn， 去分母，并化簡、整理得 ( n － 1 ) bn ＋ 1－ nbn＋ b1＝ 0 ， ③ 用 n ＋ 1 替換 ③ 式中的 n ，得 nbn ＋ 2－ ( n ＋ 1 ) bn ＋ 1＋ b1＝ 0 ， ④ ③ － ④ ，整理得 bn ＋ 2－ bn ＋ 1＝ bn ＋ 1－ bn， ∴ 當(dāng) n ≥ 2 時，數(shù)列 { bn} 為等 差數(shù)列 ． ∵ b3－ b2＝ b2－ b1＝ 1， ∴ 數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列． ∵ b1＝ 1， b2＝ 2， ∴ 數(shù)列 {bn}的公差 d＝ 1. ∴ bn＝ 1＋ (n－ 1)＝ n. ( 2 ) ∵ 數(shù)列 { anbn} 的前 n 項和為 Tn， ∴ Tn＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ， ⑤ ∴12Tn＝122 ＋223 ＋ ? ＋n2n ＋ 1 ， ⑥ ⑤ － ⑥ ，得12Tn＝12＋122 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝12 ????????1 －????????12n1 －12－n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ， ∴ T n ＝ 2 －n ＋ 22n 2 . 5. ( 2 0 1 1 常州市模擬 )根據(jù)如圖所示的程 序框圖，將輸出的 x， y值依次分別記為 x1， x2， … ， xn， … ， x2022； y1， y2， … ， yn， … ， y2022. (1)求數(shù)列 {xn}的通項公式 xn； (2)寫出 y1， y2， y3， y4，由此猜想出數(shù)列 {yn}的一個通項公式 yn，并證明你的結(jié)論； (3)求 Zn＝ x1y1＋ x2y2＋ … ＋ xnyn (x∈ N*， n≤2022)． 解析： (1)由框圖，知數(shù)列 {xn}中， x1＝ 1， xn＋ 1＝ xn＋ 2， xn＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1(n∈ N*， n≤2022)． (2)由框圖，知數(shù)列 {yn}中， yn＋ 1＝ 3yn＋ 2， ∴ y1＝ 2， y2＝ 8， y3＝ 26， y4＝ 80. 由 yn＋ 1＝ 3yn＋ 2，得 yn＋ 1＋ 1＝ 3(yn＋ 1)， ∴ ＝ 3， y1＋ 1＝ 3. ∴ 數(shù)列 {yn＋ 1}是以 3為首項， 3為公比的等比數(shù)列． ∴ yn＋ 1＝ 332＋ 23n＋ 1 ＝ 2 － 3－ (2n－ 1)3n＋ 1＋ 3. 又 1＋ 3＋ … ＋ (2n－ 1)＝ n2， ∴ Zn＝ (n－ 1) ( －13) ≥ 20 25 ， ∴ n2－ 145n＋ 3000≤0， 即 (n－ 25)(n－ 120)≤0， ∴ 25≤n≤120. ∴ nmin＝ 25， ∴ n－ 1＝ 24. 故至少還須組織 24輛車陸續(xù)工作，才能保證 24小時內(nèi)完成第二道防堤． 數(shù)列創(chuàng)新問題 (2022 2n － 1＝ 2n，即 kn＝ 2n－ 1 ， ∴ an＝ 2nkn＝ 2n( 2n－ 1 ) ＝ 4n－ 2n. 8 ． ( 2 0 1 1 n － 1an － 1＋1b. ① 當(dāng) b ＝ 1 時，nan－n － 1an － 1＝ 1 ，則 {nan} 是以 1 為首項， 1 為公差的等差數(shù)列， ∴nan＝ 1 ＋ ( n － 1 ) 1 ＝ n ，即 an＝ 1. ② 當(dāng) b 0 且 b ≠ 1 時，nan＋11 － b＝1b????????n － 1an － 1＋11 － b 當(dāng) n ＝ 1 時，1a1＋11 － b＝1b ? 1 － b ? ∴??????????nan＋11 － b是以1b ? 1 － b ?為首項，1b為公比的等比數(shù)列， ∴nan＋11 － b＝11 － b1bn － 1 ＋ 2 bn2n＋ 1. (1)若數(shù)列 {bn}是首項為 1和公比為 2的等比數(shù)列，求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)若數(shù)列 {an}是等差數(shù)列，數(shù)列 {bn}是否是等比數(shù)列？若是，請求出通項公式，若不是，請說明理由； ( 3 ) 求證 ： ?i ＝ 1n 1ai b i 32 . 解析： (1)依題意，數(shù)列 {bn}的通項公式為 bn＝ 2n－ 1， 由 a1b1＋ a2b2＋ a3b3＋ … ＋ an－ 1bn－ 1＋ anbn＝ (n－ 1)2 n－ 1，即 an＝ n. 當(dāng) n＝ 1時， a1＝ 1，從而對一切 n∈ N*，都有 an＝ n. 所以數(shù)列 {an}的通項公式是 an＝ n. ( 2 )( 法一 ) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的首項為 a1，公差為 d ，則 an＝ a1＋ ( n － 1 ) d . 由 ( 1 ) 得 an2n － 1? a1－ d ? ＋ nd＝2n － 1a1－ dn＋ d， 要使bn ＋ 1bn是一個與 n 無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) a1＝ d ≠ 0 ， 即當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 { an} 滿足 a1＝ d ≠ 0 時，數(shù)列 { bn} 是等比數(shù)列，其通項公式是 bn＝2n － 1d； 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 { an} 滿足 a1≠ d 時，數(shù)列 { bn} 不是等比數(shù)列 ． ( 法二 ) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的首項為 a1，公差為 d ，則 an＝ a1＋ ( n － 1 ) d . 由 ( 1 ) 得 an2n － 1， ?i ＝ 1n 1aibi＝11 1＋12 2＋13 22＋14 23＋ ? ＋1n 2n － 1， ?i ＝ 1n 1aibi11 1＋12 2＋12 22＋12 23＋ ? ＋12 2n － 1 ＝11＋14＋181 －????????12n － 21 －12 ≤11＋14＋14＝32( )n ≥ 3 ， 當(dāng) n ＝ 1 時，1a1b1＝ 132，當(dāng) n ＝ 2 時， 1a1b1＋1a2b2＝ 1 ＋14＝5432， 故 ?i ＝ 1n 1aibi32.