微積分在不等式中應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 微積分的研究，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。不等式同時也是高中知識的一個重要的章節(jié)，高中時就學(xué)習(xí)了很多基本的不等式證明方法。微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容，利用其證明不等式是一種非常有效的方法，它能將某些不等式的證明化難為易。對于較復(fù)雜的不等式，用一般的解不等式的方法往往需要很多技巧，微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是一種實用性很強的數(shù)學(xué)方法和工具，用它來解不等式就可以使解題思路變得簡單。①設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中是不依賴于的一個常數(shù)，是的高階無窮小，則稱在點處可微。隨著時代的發(fā)展微積分在數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了很重要的發(fā)展十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識是從生動的直觀開始，進而達到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。 一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的。 微分中值定理在不等式中的應(yīng)用一般地，若所要證明的函數(shù)不等式或數(shù)值不等式含有增量或者可以生成增量（或增量的商），則可考慮借助于拉格朗日中值定理證明，證明的關(guān)鍵是函數(shù)和區(qū)間的選??；證明區(qū)間上的不等式，特別是含有兩個不等號時，可考慮利用拉格朗日中值定理。例 3 證明：當(dāng)時，證明：取，則當(dāng)x1時， 0，即在（1，）上彈調(diào)增又在[1，）上連續(xù)，且f(1)=0故當(dāng)x1時，有 即0所以，有例 4 證明當(dāng)時，證明：令= 因為（x0）所以單調(diào)遞減，又因為故當(dāng)時， 從而 利用函數(shù)的極值(最值)證明不等式 函數(shù)的極值定理設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，若0,則在取得極大值；若0，則在取得極小值?；蛟谀硡^(qū)間上凹（或下凹） ，也即（或）定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一二階導(dǎo)數(shù)，則 (1)若時，恒有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為凹函數(shù)；(2)若時，恒有，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為凸函數(shù) 函數(shù)的凹凸性質(zhì)在不等式中的應(yīng)用如果函數(shù)是凸函數(shù)，則在上有；如果函數(shù)是凹函數(shù)，則在上有。當(dāng)所求證不等式中含有積分號時，可以用定積分性質(zhì)來處理問題，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，達到目的。但如果能巧妙的應(yīng)用微積分方法，就會變得非常簡單。在學(xué)習(xí)微積分的過程中，我們用它解決了一些初等數(shù)學(xué)問題，將初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容銜接起來，從而在整體上更好地理解有關(guān)數(shù)學(xué)知識。以上我們通過舉例，歸納總結(jié)了微積分的若干概念、定理、性質(zhì)等內(nèi)容在不等式證明這一方面的應(yīng)用。本文把應(yīng)用微積分來進行不等式的證明進行了多種方法介紹，在面對實際問題時需要具體問題具體分析，可能有的不等式證明需要用到一種甚至多種的方法。參考文獻[1]同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)[M]．上海：同濟大學(xué)出版社，2003．147—149[2]E,2正新．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，1999．116—117[3]盛祥耀．高等數(shù)學(xué)[M]．高等教育出版社，2033．[4]宣立新．高等數(shù)學(xué)[M]．高等教育出版社，2003．[5] 張奠宙. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)[ M] . 上海: 上海教育出版社.[6][M].北京:高等教育出版社,2001.[7]蕭樹鐵,(一).北京:高等教育出版社,2003.[8]劉玉璉,:高等教育出版社,2003.[9]孫清華,、方法與技巧(上).武漢:華中科技大學(xué)出版社,2003.[10][J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2003,(6):112116.[11][M].北京:高等教育出版社,2003.[12]:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002.[13][M].北京:高等教育出版社,.[14][J]. ,:89.[15][J].(3期):4446.[16]劉玉璉,[M].北京:高等教育出版社,1992,7.[17]劉章輝，不等式證明的微積分方法[J].雁北師范學(xué)院院報,2006,12(2)；7376.[18] 方法和技巧[J].高等函數(shù)學(xué)報,2010,32(1)8789[19][J].泰山學(xué)院學(xué)報,2004(11):2122致謝本論文是在唐慧老師悉心指導(dǎo)下完成的
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