湖北卷文科數學試題與解答(全解析)-預覽頁
【正文】 這時，的取值范圍為； 當時，從而，由在上單調遞增與②式， 得，即的取值范圍為；當時，從而，由在上單調遞減與②式，第22題圖 得，即的取值范圍為. （湖北文22）如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D．記，△和△的面積分別為和.（Ⅰ）當直線與軸重合時，若，求的值； （Ⅱ）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得？并說明理由． 【湖北文22解答】依題意可設橢圓和的方程分別為：，：. 其中，（Ⅰ）解法1：如圖1，若直線與軸重合，即直線的方程為，則，所以. 在C1和C2的方程中分別令，可得，于是.若，則，化簡得. 由，可解得.故當直線與軸重合時，若，則. 解法2：如圖1，若直線與軸重合，則，；，.所以. 若，則，化簡得. 由，可解得.故當直線與軸重合時，若，則. 第22題解答圖1第22題解答圖2（Ⅱ）解法1：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得. 根據對稱性，不妨設直線：，點，到直線的距離分別為，則因為，所以. 又，所以，即. 由對稱性可知，所以，于是. ①將的方程分別與C1，C2的方程聯立，可求得，.根據對稱性可知，于是. ② 從而由①和②式可得. ③令，則由，可得，于是由③可解得.因為，所以. 于是③式關于有解，當且僅當，等價于. 由，可解得，即，由，解得，所以當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得. 解法2：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得. 根據對稱性，不妨設直線：，點，到直線的距離分別為，則因為，所以. 又，所以.因為，所以.由點，分別在C1，C2上，可得，兩式相減可得，依題意，所以. 所以由上式解得. 因為，所以由，可解得.從而，解得，所以當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得. 第10頁（共10頁）
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