函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 同時(shí)也有其它一些文獻(xiàn), 得到了一些其它的結(jié)論。 若, 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) , (3)收斂, 即部分和當(dāng)時(shí)極限存在, 則稱(chēng)級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)收斂, 稱(chēng)為(1)的收斂點(diǎn)。若在數(shù)集Ｄ上一致收斂于函數(shù), 則稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂于, 或稱(chēng)在Ｄ上一致收斂。證明： 由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則, 任給正數(shù),存在某正整數(shù), 使得當(dāng)及任何正整數(shù), 有,所以對(duì)一切有根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。 萊布尼茨判別法定理2 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足下述兩個(gè)條件： 數(shù)列單調(diào)遞減；，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。解： 顯然所以，對(duì)任給的只要取對(duì)一切成立，因此在上一致收斂于。解： 設(shè)。推論 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列, 和函數(shù), 都是定義在同一數(shù)集Ｄ上, 對(duì)于任意的, 存在數(shù)列, 使得對(duì), 有, 且, 則稱(chēng)函數(shù)列一致收斂于, 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂于函數(shù)。 柯西準(zhǔn)則定理 (一致收斂的cauchy準(zhǔn)則) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集Ｄ上一致收斂的充要條件為：任給0。推論2若 在Ｄ上一致收斂，則。例6 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。證明：是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的收斂性就意味著關(guān)于x的一致收斂性。 狄利克雷判別法定理6 (Dirchlet判別法) 設(shè)(1) 的部分和函數(shù)列 ()在上一致有界；(2) 對(duì)于每一個(gè)是單調(diào)的；(3) 在上()。解::因而，級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界。證明： 首先，的部分和函數(shù)列在上是一致有界的。證明: 由在數(shù)集Ｄ上一致收斂, 對(duì), , 當(dāng)時(shí), 對(duì)一切自然數(shù)和一切, 有, 由 ,所以在數(shù)集Ｄ上一致收斂。再由積分判別法得當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)0P1時(shí)發(fā)散。根據(jù)定理7知級(jí)數(shù)（1）在p1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散。 推論3 (比式判別法的極限形式) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記, 若, 且在Ｄ上一致有界, 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。 根式判別法定理 (根式判別法) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 若, 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。推論4 (根式判別法的極限形式) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)列, 若一致收斂于, 即, 且, ,對(duì)成立, 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在Ｄ上一致收斂。證明: 因?yàn)?所以由推論5知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。證明: , 因?yàn)?所以由對(duì)數(shù)判別法知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。解： 對(duì)于每一個(gè), 易見(jiàn)為上的增函數(shù), 故連續(xù)且可微, 對(duì)于有,故收斂級(jí)數(shù)為的優(yōu)級(jí)數(shù), 所以由M判別法知在上一致收斂。證明: 由于 ,在R上點(diǎn)態(tài)斂于, 在R上連續(xù), 而在R上連續(xù), 對(duì)R上每個(gè)固定的, 不變號(hào)。解: 對(duì), 都有,又當(dāng)充分大時(shí)單調(diào)遞減, 故連續(xù), 和函數(shù)在上連續(xù), 故由推論知在上一致收斂。(顯然, 當(dāng), 則為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 則可判斷收斂)。注意 我們知道廣義調(diào)和級(jí)數(shù), 當(dāng)時(shí)是收斂的, 故當(dāng)時(shí), 則有下列推論：推論10 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 若存在, ,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂。而本論文在給出柯西準(zhǔn)則, M判別法, 阿貝爾判別法, 余項(xiàng)判別法以及積分判別法等判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的同時(shí), 也對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義及基本定理的推廣給了更加普遍性的結(jié)論, 此外對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法, 根式判別法進(jìn)行推廣得到使其適用于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂的判定定理, 對(duì)所得定理進(jìn)行證明, 同時(shí)并舉例驗(yàn)證某些定理方法的有效性。 由于我的水平有限，所寫(xiě)論文難免有不足之處，懇請(qǐng)老師批評(píng)和指正！ 張慶明 2013年04月于河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院
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