【正文】 ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?或?? ? ?X μ AF或6 稱為 公共因子 ， 是不可觀測的變量 ，他們的系數(shù)稱為因子載荷 。 ),0(~ 2ii N ??8 用矩陣的表達方式 X μ = A F + ε()E ?F0()E ?ε 0 ()V ar ?FI2 2 212( ) ( , , , )pVar di ag ? ? ??ε1 1 1 2 12 1 2 2 212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )c ov ( ) ( )( ) ( ) ( )ppp p p pE F E F E FE F E F E FEE F E F E F? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ?????F, ε F ε 09 二、因子分析模型的性質(zhì) 原始變量 X的協(xié)方差矩陣的分解 X μ = A F + ε( ) ( ) ( )V ar V ar V ar? X μ = A F A + ε?xΣ = A A + DA 是 因 子 模 型 的 系 數(shù)2 2 212( ) ( , , , )pVar di ag ? ? ???ε D D的主對角線上的元素值越小，則公共因子共享的成 分越多。 14 變量共同度的統(tǒng)計意義 定義： 變量 的共同度是因子載荷矩陣的第 i行的元素的平方和 。??? mj iji ah 1 2215 公共因子 方差貢獻的統(tǒng)計意義 jF因子載荷矩陣中各列元素的平方和 稱為所有的 對 的方差貢獻和 。 2 2 212? ? ? ?( , , , )pdiag ? ? ??D其 中221?mi ii ijjsa???? ?19 注：殘差矩陣 ? ? ??S AA D－ －其中 S為樣本的協(xié)方差矩陣。得如下 的矩陣： * * * * * *1 1 2 2 pp? ? ???? ??A u u u* * *1 0p??? ? ?R 特 征 根 ：* * *12, , , pu u u正 交 特 征 向 量 ：22 21222p???????????????RR＝ 當特殊因子 的方差不為且 已知的 ， 問題非常好解決 。 iii rh /12 ? iir 1?R28 例 假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率 ，失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為 試用主成分分析法求因子分析模型。 211 FFx ??3212 FFFx ???3213 FFFx ????31 假定某地固定資產(chǎn)投資率 ，通貨膨脹率 ，失業(yè)率 ，相關(guān)系數(shù)矩陣為 試用主因子分析法求因子分析模型。 4 因子旋轉(zhuǎn)（正交變換） 建立了因子分析數(shù)學目的不僅僅要找出公共因子以及對變量進行分組 ， 更重要的要知道每個公共因子的意義 ， 以便進行進一步的分析 ， 如果每個公共因子的含義不清 ， 則不便于進行實際背景的解釋 。 四次方最大法 、 方差最大法 和等量最大法 。于是考慮旋轉(zhuǎn)因子，得下表 38 變量 共同度0. 844*0 . 1 3 6 0 . 1 5 6 0 . 1 1 3 0 . 8 40. 631*0 . 1 9 40 . 5 1 5* 0 . 0 0 6 0 . 70. 2430 . 8 2 5*0 . 2 2 3 0 . 1 4 8 0 . 8 10. 239 0 . 1 50 . 7 5 0*0 . 0 7 6 0 . 6 50. 797*0 . 0 7 5 0 . 1 0 2 0 . 4 6 8 0 . 8 70. 404 0 . 1 5 30 . 6 3 5* 0 . 1 7 0 . 6 20. 1860 . 8 1 4*0 . 1 4 7 0 . 0 7 9 0 . 7 2 0. 036 0 . 1 7 60 . 7 6 2*0 . 2 1 7 0 . 6 6 0 . 0 4 80 . 7 3 5*0 . 1 1 0 . 1 4 1 0 . 5 70 . 0 4 5 0 . 0 4 1 0 . 1 1 20 . 9 3 4*0 . 8 91F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X39 通過旋轉(zhuǎn) ， 因子有了較為明確的含義 。 方差最大的直觀意義是希望通過因子旋轉(zhuǎn)后，使每個因子上的載荷盡量拉開距離，一部分的載荷趨于 ?1，另一部分趨于 0。 如果我們要使用這些因子做其他的研究 ， 比如把得到的因子作為自變量來做回歸分析 ， 對樣本進行分類或評價 ， 這就需要我們對公共因子進行測度 ，即給出公共因子的值 。人口 （ 萬人 ） X3:GDP(億元 ) 經(jīng)濟發(fā)展總量因子 X1=+ X2= X3=++ X4= X5= X6=+ X7=+ 52 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 F1=++++++ F2=+++++ F3=+++++ 53 REGION FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 beijing169。 iix ??????????????pmppmm???????????????212222111211ijF1) 巴特萊特因子得分計算方法的思想 56 ?????????????????????????mmpmpppipmmimmifafafaxfafafaxfafafax??????????221122222121221121211111由于特殊因子的方差相異 ， 所以用加權(quán)最小二乘法求得分 ， 每個各案作一次 ， 要求出所有樣品的得分 ， 需要作 n次 。 65 矩陣表示方法 在因子模型中，假設 服從（ m+p)元的正態(tài)分布，有 ??????Fε()()EEE? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?F F 0xx μ? ?VE? ? ? ? ?? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ?FF F x μx x μ66 ? ?? ? ? ?? ?( ) ( )()EEEE?? ?????????F F F x μx μ F x μ x μ? ?? ?()()IEE?? ???????F x μx μ F Σ? ?? ?()()IEE?? ???????F A F + εA F + ε F Σ????????IAA Σ67 ()E ??? 1 1 2F / x A Σ μ +A Σ x21xx這 是 一 個 對 于 給 定 的 的 多 元 回 歸 模 型 。 人文發(fā)展系數(shù)利用三類內(nèi)涵豐富的指標組合 ， 即人的健康狀況 (使用出生時的人均預期壽命表達 )、 人的智力程度 (使用組合的教育成就表達 )、 人的福利水平 (使用人均國民收入或人均 GDP表達 )，并且特別強調(diào)三類指標組合的整體表達內(nèi)涵 ， 去衡量一個國家或地區(qū)的社會發(fā)展總體狀況以及國民生活質(zhì)量的總水平 。下表是 1990 年中國 30個省、自治區(qū)、直轄市的數(shù)據(jù)。 6 因子分析的步驟、展望和建議 計算所選原始變量的相關(guān)系數(shù)矩陣 相關(guān)系數(shù)矩陣描述了原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。 一、 因子分析通常包括以下五個步驟 81 提取公共因子 這一步要確定因子求解的方法和因子的個數(shù)。 82 計算因子得分 求出各樣本的因子得分，有了因子得分值，則可以在許多分析中使用這些因子，例如以因子的得分做聚類分析的變量，做回歸分析中的回歸因子。 84 補充：變量聚類分析 一 、 簡介 在實際工作中 ， 變量聚類的應用也十分重要 。 85 SAS/VARCLUS過程試圖把一組變量分為不重疊的一些類 ， 所以 VARCLUS過程可以用來壓縮變量 ， 用信息損失很少的類分量來代替含有很多變量的變量集 。 如此原有的大類被分裂為二 。