【正文】 aaaaaaaaaaaaaa26 ?監(jiān)督矩陣 上式可以寫成矩陣形式： （模 2） 將上式簡寫為 HAT = 0T 或 AHT = 0 ???????????????????????????????????????????????010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????????????????????????????????????????0001 0 1 1 0 0 11 1 0 1 0 1 01 1 1 0 1 0 00123456aaaaaaa27 HAT = 0T 式中， － 稱為監(jiān)督矩陣 ?監(jiān)督矩陣的性質(zhì) ?監(jiān)督矩陣 H確定碼組中的信息位和監(jiān)督位的關系。 ???????????1 0 1 1 0 0 11 1 0 1 0 1 01 1 1 0 1 0 0H? ?rPIH ????????????001101101011011001110??? A = [a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0] 0 = [000] 28 ?H 矩陣的各行應該是線性無關的，否則將得不到 r 個線性無關的監(jiān)督關系式。這種形式的碼組稱為 系統(tǒng)碼 。 ? ?0121 aaaaA nn ????? ?0121 bbbbB nn ????B – A = E (模 2) ? ?0121 eeeeE nn ??????????iiiii ababe當當,1,031 ?校正子矩陣 B – A = E 可以改寫成 B = A + E 上式表示發(fā)送碼組 A與錯碼矩陣 E之和等于接收碼組 B。代入后，該式仍成立，即有 BH T = 0 只有當錯碼未超出檢測能力時，上式才不成立。 ?線性碼的封閉性：若 A1和 A2是一種線性碼中的兩個碼組，則 (A1+A2)仍是其中一個碼組。 33 循環(huán)碼 循環(huán)碼的概念： 循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位后仍然是該編碼中的一個碼組。 例：碼組 1 1 0 0 1 0 1可以表示為 012211)( axaxaxaxT nnnn ????? ???? ?11010011)(25623456?????????????????xxxxxxxxxxT35 循環(huán)碼的運算 ? 整數(shù)的按模運算 在整數(shù)運算中，有模 n運算。 例 1： x3被 (x3 + 1)除，得到余項 1，即 例 2： 因為 x x3 + 1 x4 +x2 + 1 x4 + x x2 +x +1 在模 2運算中加法和減法一樣。 結(jié)論：一個長為 n的循環(huán)碼必定為按模 (xn + 1)運算的一個余式。 ?在循環(huán)碼中，一個 (n, k)碼有 2k個不同的碼組。否則，在經(jīng)過若干次循環(huán)移位后將得到 k位信息位全為“ 0”，但監(jiān)督位不全為“ 0”的一個碼組。顯然，這是與前面的結(jié)論矛盾的。 ?????????????????????)()()()()(21xgxxgxgxxgxxkk?G碼組編號 信息位 監(jiān)督位 碼組編號 信息位 監(jiān)督位 A6a5a4 a3a2a1a0 a6a5a4 A3a2a1a0 1 000 0000 5 100 1011 2 001 0111 6 101 1100 3 010 1110 7 110 0101 4 011 1001 8 111 0010 41 g(x) = x4 + x2 + x + 1 即 “ 1 0 1 1 1” 將此 g(x)代入上矩陣，得到 或 上式不符合 G = [IkQ]形式，所以它不是典型生成矩陣。由 可知， xk T ?(x)在模 (xn + 1)運算下也是一個碼組，所以有 上式左端分子和分母都是 n次多項式，故相除的商式 Q(x) = 1。 選用的生成多項式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。當 n – k = 7 – 3 =4時， xnk m(x) = x4 (x2 +x) = x6 +x5，它表示碼組 1100000。這時，錯碼就不能檢出了。 )(/)()()(/)( xgxrxQxgxR ??)(/)()()(/)( xgxrxQxgxR ??46 截短循環(huán)碼 ? 截短目的： 在設計時，通常信息位數(shù) k、碼長 n和糾錯能力都是預先給定的。然后從中刪去這 i 位全“ 0”的信息位，最終得到一個 (n – i， k – i)的線性碼。 這時可以由 (15, 11)循環(huán)碼的 11種碼組中選出前兩信息位均為“ 0”的碼組，構(gòu)成一個新的碼組集合。 ? BCH碼分為兩類：本原 BCH碼和非本原 BCH碼。 n k t g(x) n k t g(x) 17 21 23 33 41 9 12 12 22 21 2 2 3 2 4 727 1663 5343 5145 6647133 47 65 65 73 24 53 40 46 5 2 4 4 43073357 10761 354300067 1717773537 48 ? 常用 BCH碼： ?戈萊 (Golay)碼： (23, 12)非本原 BCH碼，它能糾正 3個隨機錯碼，并且容易解碼 。 ?擴展戈萊碼 (24, 12)：其最小碼距為 8，碼率為 1/2，能夠糾正 3個錯碼和檢測 4個錯碼。 51 卷積碼 ? 卷積碼的特點： ?監(jiān)督碼元不僅和當前的 k比特信息段有關，而且還同前面 m = (N – 1)個信息段有關。 58 ?解碼第 1步 ?由網(wǎng)格圖可見，沿路徑每一級有 4種狀態(tài) a, b, c和 d。例如，由出發(fā)點狀態(tài) a經(jīng)過 3級路徑后到達狀態(tài) a的兩條路徑中上面一條為“ 000 000 000”。 序號 路徑 對應序列 漢明距離 幸存否？ 1 aaaa 000 000 000 5 否 2 abca 111 001 011 3 是 3 aaab 000 000 111 6 否 4 abcb 111 001 100 4 是 5 aabc 000 111 001 7 否 6 abdc 111 110 010 1 是 7 aabd 000 111 110 6 否 8 abdd 111 110 101 4 是 60 ?解碼第 2步：繼續(xù)考察接收序列中的后繼 3個比特“ 110” ?計算 4條幸存路徑上增加 1級后的 8條可能路徑的漢明距離。 序號 路徑 原幸存路徑的距離 新增 路徑段 新增距離 總距離 幸存否？ 1 abca+a 3 aa 2 5 否 2 abdc+a 1 ca 2 3 是 3 abca+b 3 ab 1 4 否 4 abdc+b 1 cb 1 2 是 5 abcb+c 4 bc 3 7 否 6 abdd+c 4 dc 1 5 是 7 abcb+d 4 bd 0 4 是 8 abdd+d 4 dd 2 6 否 61 ?按照上表中的幸存路徑畫出的網(wǎng)格圖示于下圖中。這樣得到的幸存路徑網(wǎng)格圖示于下圖中。所以，這時上圖可以簡化成： 110 011 010 010 101 101 001 001 a b c d a b c d 000 111 100 100 000 011 011 001 110 011 010 010 101 101 001 001 a b c d a b c d 000 111 100 100 000 011 011 001 101 64 ?在上例中卷積碼的約束長度為 N = 3，需要存儲和計算 8條路徑的參量。 ?鏈接碼：鏈接碼是復合編碼的一種，它包括一個內(nèi)（部）碼和一個外（部）碼，如下圖所示： ?內(nèi)碼是二進制分組碼或卷積碼，而典型的外碼則是多進制的 RS碼。 ?輸入信息位是 bi， 輸出是 bic1ic2i， ?故碼率等于 1/3。 a11 a12 ? ? ? a1m a21 a22 ? ? ? a2m ? ? ? ? ? ? an1 an2 ? ? ? anm 68 ?卷積交織器舉例 x x x 1 2 3 4 x x x 1 2 3 4 x x x 1 x x x 1 x x x x x x (a) 第 1~4比特輸入時的狀態(tài) x x 2 5 6 7 8 3 4 x 5 6 7 8 x x 2 5 x 2 x 5 1 x x x x x (b) 第 5~8比特輸入時的狀態(tài) x 3 6 9 3 6 2 9 5 1 x x x x 9 10 11 12 10 11 12 7 8 4 x 3 6 9 (c) 第 9~12比特輸入時的狀態(tài) 10 13 7 6 9 5 4 3 2 1 14 15 16 11 12 8 13 14 15 16 4 7 10 13 4 7 10 13 (d) 第 13~16比特輸入時的狀態(tài) 交織器 解交織器 69 ?卷積交織法優(yōu)點： ?延遲時間短和需要的存儲容量小