《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2》ppt課件-預(yù)覽頁
【正文】 . (2)若函數(shù) f(x)在 ［ a,b］ 上單調(diào)遞增 ， 則 為函數(shù)的最小值 ， 為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f(x)在［ a,b］ 上單調(diào)遞減 ， 則 為函數(shù)的最大值 ， 為函數(shù)的最小值 . (3)設(shè)函數(shù) f(x)在 ［ a,b］ 上連續(xù) ， 在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo) ，求 f(x)在 ［ a,b］ 上的最大值和最小值的步驟如下： ① 求 f(x)在 （ a,b)內(nèi)的 ； ② 將 f(x)的各極值與 比較 ， 其中最大的一個是最大值 ， 最小的一個是最小值 . f(b) f(a) f(b) 極值 f(a),f(b) f(a) 解決優(yōu)化問題的基本思路是 : 基礎(chǔ)自測 y=x33x的單調(diào)遞減區(qū)間是 （ ） A.（ ∞ ， 0） B.（ 0， +∞ ） C.（ 1， 1） D.（ ∞ ， 1） ， （ 1， +∞ ） 解析 ∵ y′ =3x23,∴ 由 3x23＜ 0,得 1＜ x＜ 1. C f(x)=x3+ax2在區(qū)間 （ 1， +∞ ） 上是增函數(shù) ，則實數(shù) a的取值范圍是 （ ） A.［ 3,+∞) B.［ 3， +∞) C.(3,+∞) D.(∞, 3) 解析 ∵ f(x)=x3+ax2在 （ 1， +∞ ） 上是增函數(shù) ， ∴ f′ (x)=3x2+a≥ 0在 （ 1， +∞ ） 上恒成立 . 即 a≥ 3x2在 （ 1， +∞ ） 上恒成立 . 又 ∵ 在 （ 1， +∞ ） 上 3x2＜ 3,∴ a≥ 3. B y=2x33x212x+5在 ［ 0， 3］ 上的最大值 ， 最小 值分別是 （ ） ,15 ,4 ,15 ,16 解析 ∵ y′ =6x26x12=0， 得 x=1（ 舍去 ） 或 2,故函數(shù) y=f(x)=2x33x212x+5在 ［ 0， 3］ 上的最值可能是 x取 0， 2， 3時的函數(shù)值 ， 而 f（ 0） =5， f（ 2） = 15， f（ 3） =4,故最大值為 5， 最小值為 15. A f（ x） 的定義域為開區(qū)間 （ a， b） ， 導(dǎo)函數(shù)f′ (x)在 （ a， b） 內(nèi)的圖像如圖所示 ,則函數(shù) f（ x）在開區(qū)間 （ a， b） 內(nèi)有極小值點 （ ） 解析 f′ (x)＞ 0時 ,f(x)單調(diào)遞增 ， f′ (x)＜ 0時 ，f(x)單調(diào)遞減 .極小值點應(yīng)在先減后增的特殊點 ， 即f′ (x)＜ 0→ f′ (x)=0→ f′ (x) ＞ 1個極小值點 . A 5.（ 2021 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 增函數(shù) 減函數(shù) 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) （ 1） 判斷 f(x0)是極值的方法 一般地 ， 當(dāng)函數(shù) f(x)在點 x0處連續(xù)時 ， ① 如果在 x0附近的左側(cè) ， 右側(cè) ，那么 f(x0)是極大值； ② 如果在 x0附近的左側(cè) ， 右側(cè) ， 那么 f(x0)是極小值 . (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ① 求 f′ (x)。 (2)若 f′( 1)=0，求函數(shù) f(x)在［ 2， 2］上的最大值、最小值 . 先求函數(shù)的極值，然后再與端點值進行比較、確定最值 . 解 （ 1） f(x)=x3ax24x+4a, 得 f′( x)=3x22ax4. 思維啟迪 （ 2） 因為 f′ (1)=0,所以 a= , 有 f(x)=x3 x24x+2,所以 f′ (x)=3x2x4. 又 f′ (x)=0,所以 x= 或 x=1. 又 f = ,f(1)= , f(2)=0,f(2)=0, 所以 f(x)在 ［ 2， 2］ 上的最大值 、 最小值分別為 、 . 212134??????34 2750? 29292750? 探究提高 在解決類似的問題時 ， 首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別 .求解函數(shù)的最值時 ， 要先求函數(shù) y=f（ x） 在 ［ a， b］ 內(nèi)所有使 f′ （ x） =0的點 ， 再計算函數(shù) y=f（ x） 在區(qū)間內(nèi)所有使 f′ （ x）=0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值 ， 最后比較即得 . 知能遷移 3 已知 a為實數(shù) ， 函數(shù) f(x)=(x2+1)(x+a).若f′ (1)=0， 求函數(shù) y=f(x)在 [ ， 1]上的最大值和最小值 . 解 ∵ f′ (x)=3x2+2ax+1,又 f′ (1)=0， ∴ 32a+1=0， 即 a=2. ∴ f′ （ x） =3x2+4x+1=3（ x+ ） (x+1). 由 f′ (x)＞ 0， 得 x＜ 1或 x＞ ； 由 f′ (x)＜ 0， 得 1＜ x＜ . 23?313131因此函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 [ ， 1]， [ ， 1]， 單調(diào)遞減區(qū)間為 [1， ]. ∴ f（ x） 在 x=1取得極大值為 f(1)=2。 湖南 ) 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間 [ a ， b ] 上是增函數(shù)，則函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上的圖象 可能是 ( ) 解析 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知導(dǎo)數(shù)遞增說明函數(shù)切線 斜率隨 x 增大而變大． A 4.（ 2021 當(dāng) ≥ 2時 ,即 a≥ 3時 ,f(x)在 ［ 0,2］ 上單調(diào)遞減 , 從而 f(x)max=f(0)=0
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