24正多項(xiàng)式和最佳平方逼近-預(yù)覽頁
【正文】 區(qū)間上的正交多項(xiàng)式序列同樣可以由遞推公式 ()和 ()構(gòu)造 ,其中內(nèi)積按 ()式定義 . 下面給出幾種常用的正交多項(xiàng)式 . (1)Legendre多項(xiàng)式 . Legendre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式 連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式 連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式的概念與離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變 。若多項(xiàng)式組 在離散意義下的內(nèi)積滿足 )(xf )(xg0),( ?gf ? ?)( 0xk nk? ?第二章 插值與擬合 ????? ???? jijiaiji ,0,0),( ?? () 則稱多項(xiàng)式組 為 在離散點(diǎn)集 上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式序列 。它們在數(shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。離散情形的正交多項(xiàng)式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項(xiàng)式用于生成最佳平方逼近多項(xiàng)式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。若函數(shù) 和 的內(nèi)積 ，則稱兩者正交。 )(),(),( 210 xxx PPP解 先令 ，由此得 1)(0 ?xP)(,),/(),(,)(0),(,5)(0),(01000002400024000?????????? ????xxx aPPPPxPaxPxwPxPxPwPP iiiiiii由此得 .)(1),(,)(1),( 2401124011???? ???? xPxwPxPxPwPP iii iii i從而有 )()()()(),/(),(,),/(),()( 2020200011111111??????????xPbPaPPPPPbPPPxPaxxxx第二章 插值與擬合 其中的 為給定的權(quán)函數(shù)。 Legendre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式 第二章 插值與擬合 ???????????????)(,2,1),(12)()21()(1,1)(1,1)(0?nxnLnxnLxnxnLxxLxL給出。它們是在區(qū)間（ ∞， +∞）上帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式。在 Rn空間中任一向量都可用它的線形無關(guān)的基表示，類似 地，對內(nèi)積空間任一元素 f(x)∈ C[a,b]，也可用線形無關(guān)的基表示。利用多元函數(shù)求極小值的必要條件有 第二章 插值與擬合 .,1,0,0)()]()([)(20njdxxxfxaxaI jnkkkbaj ??????? ??????按內(nèi)積的定義，上式可寫為 這是關(guān)于的線性方程組，稱為 法方程 。 ),(),(),( ***22 fffff ???? ????????? nk kk faf 0 *22 ),( ? 考慮特殊情形，設(shè) [a,b]=[0,1], 。實(shí)用的辦法是采用正交多項(xiàng)式作基。 平方誤差 32* 1 7 6 3 6 9 7 9 6 )( xxxx ?????),()(302*11222 ??? ?? ?? kkk kx adxe ??
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