【正文】 YYYYYiiiiiiiiiiii?????????????????? 可決系數(shù) T S SR S ST S SE S SR ??? 12該統(tǒng)計量越接近于 1，模型的擬合優(yōu)度越高。 11)1(1 22??????knnRR *赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有 : 赤池信息準(zhǔn)則 （ Akaike information criterion, AIC） nknA I C)1(2ln ???? ee施瓦茨準(zhǔn)則 （ Schwarz criterion， SC） nnknAC lnln ??? ee 這兩準(zhǔn)則均要求 僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或 AC值時才在原模型中增加該解釋變量 。 可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)： H0： ?0=?1=?2= ? =?k=0 H1： ?j不全為 0 F檢驗的思想 來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS 由于回歸平方和 ??2?iyE S S 是解釋變量 X 的聯(lián)合體對被解釋變量 Y 的線性作用的結(jié)果，考慮比值 ???22?/ ii eyR S SE S S 如果這個比值較大，則 X的聯(lián)合體對 Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。 關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關(guān)系的討論 由 )1/()1/(12?????nT S SknR S SR )1/( / ??? knR S S kE S SF可推出： kFknnR??????1112與 或 )1/()1(/22???? knRkRF?在 中國居民人均收入 消費 一元模型 中， ?在 中國居民人均收入 消費 二元模型 中 ， 三、變量的顯著性檢驗（ t檢驗） 方程的 總體線性 關(guān)系顯著 ?每個解釋變量 對被解釋變量的影響都是顯著的 因此，必須對每個解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 另一方面 ，兩個統(tǒng)計量之間有如下關(guān)系： 222212221222122212212?)2(?)2(?)2(?)2(?txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii????????????????????????????????????????????在 中國居民人均收入 消費支出 二元模型 例中 ，由應(yīng)用軟件計算出參數(shù)的 t值： 6 5 3 0 210 ??? ttt 給定顯著性水平 ?=，查得相應(yīng)臨界值： (19) =。 在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道： )1(~1??????????? kntkncStiiiiiiiee?????容易推出 ：在 (1?)的置信水平下 ?i的置信區(qū)間是 ( ? , ? )? ?? ?? ?? ?i it s t si i? ? ? ?2 2其中， t?/2為顯著性水平為 ? 、自由度為 nk1的臨界值。 多元線性回歸模型的預(yù)測 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 二、 Y0的置信區(qū)間 對于模型 βXY ?? ?給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0=(1,X10,X20,… ,Xk0)， 可以得到被解釋變量的預(yù)測值： βX ?? 00 ?Y 它可以是總體均值 E(Y0)或個值 Y0的預(yù)測。 二、 Y0的置信區(qū)間 如果已經(jīng)知道實際的預(yù)測值 Y0，那么預(yù)測誤差為： 000 ?YYe ??容易證明 0))(())?(()?()(100000000????????????μXXXXββXβXβX???EEEeE))(1())(()()(01022100200XXXXμXXXX?????????????EeEeVa re0服從正態(tài)分布，即 )))(1(,0(~ 01020 XXXX ??? ??Ne)))(1(?? 01022 0 XXXX ???? ??? e構(gòu)造 t統(tǒng) 計量 )1(~??000 ???? kntYYte?可得給定 (1?)的置信水平下 Y0的 置信區(qū)間 ： 010000100 )(1??)(1?? 22 XXXXXXXX ???????????? ?? ?? ?? tYYtY 中國居民人均收入 消費支出 二元模型 例中：2021年人均 GDP： ， 于是 人均居民消費的預(yù)測值 為 ?2021=+ + =（元） 實測值 （ 90年價） =， 相對誤差： % 預(yù)測的置信區(qū)間 ： ???????????????? ?0 0 0 0 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 0 0 8 2 0 2 8 8 9 5 )( 1XX3 9 3 ??? ? 010 XX)X(X于是 E(?2021） 的 95%的置信區(qū)間為 : ???或 （ ， ） ???或 （ , ） 同樣，易得 ?2021的 95%的置信區(qū)間為 167。 一、模型的類型與變換 倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如， 描述稅收與稅率關(guān)系的 拉弗曲線 ： 拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率 設(shè) X1 = r， X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c0 冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法 例如 ， CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ：冪函數(shù) Q = AK?L? Q：產(chǎn)出量， K：投入的資本； L：投入的勞動 方程兩邊取對數(shù)： ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L 復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法 方程兩邊取對數(shù)后，得到： ??? ??? eLKAQ 1)( 21 ??? ?? (?1+?2=1) Q:產(chǎn)出量， K：資本投入， L：勞動投入 ?：替代參數(shù)， ? ?2：分配參數(shù) ??? ??? ???? ?? )( 211 LKLnL n AL n Q例如 ， 常替代彈性 CES生產(chǎn)函數(shù) 將式中 ln(?1K? + ?2L?)在 ?=0處展開臺勞級數(shù) ,取關(guān)于?的線性項，即得到一個線性近似式。 零階齊次性 ，當(dāng)所有商品和消費者貨幣支出總額按同一比例變動時，需求量保持不變 )/,/( 010 PPPXfQ ?(*) (**) 為了進(jìn)行比較，將同時估計（ *）式與（ **）式。 意味著： 所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征 167。 受約束回歸 一、模型參數(shù)的線性約束 二、對回歸模型增加或減少解釋變量 三、參數(shù)的穩(wěn)定性 *四、非線性約束 一、模型參數(shù)的線性約束 對模型 ????? ?????? kk XXXY ?22110施加約束 121 ?? ?? kk ?? ??1得 *11121110 )1( ?????? ???????? ??? kkkk XXXXY ?或 ** 1133*110* ????? ?????? ?? kk XXXY ?(*) (**) 如果對（ **）式回歸得出 1310 ?,?,?,? ?k???? ?則由約束條件可得： 12 ?1? ?? ?? 1?? ?? kk ?? 然而，對所考查的具體問題 能否施加約束 ？ 需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗。 于是，可用計算的 F統(tǒng)計量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對約束條件的真實性進(jìn)行檢驗。 二、對回歸模型增加或減少解釋變量 考慮如下兩個回歸模型 ???? ????? kk XXY ?110?????? ??????? ???? qkqkkkkk XXXXY ?? 11110(*) (**) (*)式可看成是（ **）式的 受約束回歸： H0： 021 ???? ??? qkkk ??? ?相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計量為： ))1(,(~))1(/(/)())1(/(/)(?????????????qknqFqknR S SqE S SE S SqknR S SqR S SR S SFURUUUR 如果約束條件為真，即額外的變量 Xk+1, …, Xk+q對Ｙ沒有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較??； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計量較大。 該檢驗也被稱為 鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗（ Chow test for parameter stability） 。 如果預(yù)測誤差較大，則說明參數(shù)發(fā)生了變化，否則說明參數(shù)是穩(wěn)定的 。 鄒氏預(yù)測 檢驗 )1314/(00 324 7/)00 324 378 ( ?????F給定 ?=5%，查表得臨界值 (7, 10)= 判斷 ： F值 臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè) *四、非線性約束 也可對模型參數(shù)施加 非線性約束 ,如對模型 ????? ?????? kk XXXY ?22110施加非線性約束 ?1?2=1,得到 受約束回歸模型 : *211101 ????? ?????? kk XXXY ? 該模型必需采用 非線性最小二乘法（ nonlinear least squares） 進(jìn)行估計 。 具體檢驗 時，由于大樣本下： )(~)]?,?(ln)~,~([ l n2 222 hLLLR ??? ββ ??? h是約束條件的個數(shù)。如對 ????? ?????? kk XXXY ?22110 在所有古典假設(shè)都成立的條件下，容易證明 ),(~?? 2 ??2121 21 ??????? ??? N因此，在 ?1+?2=1的約束條件下 )1,0(~1??21 ??21 Nz?????????記 )(~~ 22 ??21 Xf?? ?? ??可建立 沃爾德統(tǒng)計量 : )1(~~ )1??( 22??22121?? ???? ????W 如果有 h個約束條件，可得到 h個統(tǒng)計量 z1,z2,… ,zh 約束條件為真時，可建立 大樣本 下的服從自由度為 h的漸近 ?2 分布統(tǒng)計量 )(~ 2 hW ?ZCZ 1??? 其中， Z為以 zi為元素的列向量， C是 Z的方差 協(xié)方差矩陣。 如果某一約束為真 ， 則該約束條件對最大似然函數(shù)值的影響很小 ， 于是 ， 相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)的值應(yīng)接近于零 。 最后，一般地有 :LM?LR?W 同樣地，如果為線性約束， LM服從一精確的 ?2分布： (*)