【正文】 計(jì)出一個(gè)最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器，并將其用于對倒立擺系統(tǒng)的控制。 Yamakita 等人。智能控制理論有很多分支，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、擬人智能控制、模糊控制、遺傳算法和專家系統(tǒng)等。 1995 年， Li 基于一級倒立擺系統(tǒng)有 2 個(gè)變量需要進(jìn)行控制，設(shè)想了用兩個(gè)并行的模糊滑模來分 別對小車和擺桿偏角進(jìn)行控制，并取得良好的效果。可以看出對于較簡單的被控系統(tǒng)，傳統(tǒng)控制理論具有一定的優(yōu)越性。 1996 年清華大學(xué)張乃堯等利用雙閉環(huán)模糊控制方案成功的實(shí)現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制，解決了模糊控制規(guī)則爆炸問題，對其他串級控制具有很大的參考價(jià)值。將這一理論應(yīng)用于三級倒立擺系統(tǒng)中，成功的實(shí)現(xiàn)了對三級倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，具有很好的穩(wěn)定效果和一定的抗干擾能力。在靜止?fàn)顟B(tài)下，由于重力的作用，倒立擺處于豎直向下的狀態(tài)。 1996 年， TorresPomales 利用滑膜控制結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的滑膜控制器來實(shí)現(xiàn)倒立擺的起擺。 本文圍繞直線一級倒立擺的動(dòng)力學(xué)建模、控制算法設(shè)計(jì)、仿真和實(shí)驗(yàn)等一系列工作展開。借助固 高 Matlab 實(shí)時(shí)控制軟件，得出直線一級倒立擺 LQR 控制 Simulink 仿真圖，通過改變 Simulink 的 LQR 模塊及狀態(tài)空間模塊中的參數(shù)，觀察仿真，選取合適的控制參數(shù)從而得到最好的控制效果。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對象并 通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入 — 輸出關(guān)系。但忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 用 u 來代表被控對象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： ??? ???? ??? umlxbxmM xmlm g lmlI ??? ????? ????)( )( 2 （ 29） 對式（ 29）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 ??? ???? ??? )()()()()( )()()()(22222sUssmlssbXssXmM ssml Xsmg lssmlI ??? （ 210） 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0. 由于輸出為角度 ? ，求 解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： 12 )(])([)(22 ssgmlmlIsX ???? （ 211） 或 m glsmlI m l ssX s ??? 222)()( )(? （ 212） 如果令 xv ?? ，則有： m g lmlI mlSV s s)()( )( 22??? （ 213） 把式（ 213）代入式（ 210）的第二個(gè)方程，得到： )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ???????? ????????? ??? ???（ 214） 整理后得到傳遞函數(shù)： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs??????23242)()()()(? （ 215） 其中 ])())([( 22 mlmlImMq ???? 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： DCXy BuAXX ?? ??? （ 216） 方程組對 ???,x 解代數(shù)方程，得到解如下： ??????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMmg lxM mlmMIml buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(???????????????（ 217） 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程： 13 uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMmglM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010????????????uxxxy?????????????????????????????????0001000001????? （ 218） 由（ 29）的第一個(gè)方程為： xmlm g lmlI ????? ?? 22 )( 對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： 231mlI? 于是可以得到： xmlmg lmlml ???? ??? ??)31( 22 化簡得到： xllg ???? 4343 ?? ?? （ 219） 設(shè) ? ? xuxxX ???? ??? , ?? 則有： uxxxyulxxlgxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000014301004300100000000010????????????????? （ 220） 另外，也可以利用 Matlab 中 tf2ss 命令對（ 213）式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求的上訴狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程描述了輸入 u（ t）引起狀態(tài) x（ t）的變化過程；輸出方程則描述了由狀態(tài)變化引起的輸出 y（ t）的變化。 若存在輸入信號(hào) u（ t），能在有限時(shí)間 0ttf ? 內(nèi)，將系統(tǒng)從任意非零初始狀態(tài) )(0tx 轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài) 0)( ?ftx ， 那么，稱該系統(tǒng)的狀態(tài)在時(shí)刻是完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。 系統(tǒng)的輸出可控性的條件為：當(dāng)且僅當(dāng) ]:1:...:::[ 2 DBCABCAC A BCB n ?的秩等 于輸出向量 y 的維數(shù)。...。 rank(cona) rank(cona2) 或可以利用計(jì)算能控性矩陣的 ctrb命令和計(jì)算能觀性的矩陣 obsv命令來計(jì)算。并且系統(tǒng)的能觀性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量的行數(shù)，故系統(tǒng)能觀。 18 第三章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR控制器設(shè)計(jì)與仿真 線性二次最優(yōu)控制 LQR基本原理及分析 線性二次控制的 LQR 基本原理為， 由系統(tǒng)方程： BuAXX ??? （ 31） 確定下列最佳控制向量的矩陣 K。 ),( RQBAlqrK ? （ 35） 改變矩陣 Q 的值， 可以得到不同的響應(yīng)效果， Q 的值越大 (在一定范圍之內(nèi) )，系統(tǒng)抵抗干擾的能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短。設(shè)計(jì)控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達(dá)新的指定位置。最簡單的情況是假設(shè) CCQR *,1 ??? 。 在 Matlab 中編程計(jì)算 : 令 1,1 3,31,1 ?? 求得 K=[1 ] 得到仿真結(jié)果如下： 20 圖 32 當(dāng) 1,1 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從圖中可以看出，小車的位置、小車的加速度和擺桿角度、擺桿角速度達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)，所以需調(diào)整 Q 的參數(shù)，令 200,1000 3,31,1 ?? 求得 K=[ ] 可得仿真圖： 圖 33 200,1000 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從仿真圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可 以在 2s 左右同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，可以看出達(dá)到了穩(wěn)定效果。 從圖中可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間有明顯的改善，增大 1,1Q 和 3,3Q ，系統(tǒng)的響應(yīng)還會(huì)更快，但是對于實(shí)際離散控制系統(tǒng)，過大的控制量會(huì)引起系統(tǒng)振蕩。 24 第四章 直線倒立擺的實(shí)物穩(wěn)定控制 直線一級倒立擺 LQR實(shí)物穩(wěn)定控制 本次倒立擺實(shí)時(shí)控制是基于固高倒立擺 Matlab Simulink 實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)上進(jìn)行的。 設(shè)置好相關(guān)參數(shù)再點(diǎn)擊 編譯程序，編譯成功后點(diǎn)擊“ ”連接， 再點(diǎn)擊“ ”運(yùn)行程序，在確認(rèn)點(diǎn)擊上伺服后，緩慢的提起擺桿到豎直向上的位置， 27 程序進(jìn)入自動(dòng)控制后松開擺桿。 29 本章小結(jié) 本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實(shí)時(shí)控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級倒立擺 GLIP2020 來驗(yàn)證第三章設(shè)計(jì)的 LQR 控制器是否成功，并借助該軟件利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)直線一級倒立擺的實(shí)物系統(tǒng)的控制，給出實(shí)物系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)和受干擾時(shí)各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計(jì)的控制器對實(shí)物系統(tǒng)的 控制是否有效。 本文對一級倒立擺進(jìn)行了系統(tǒng)分析研究并推算出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。在實(shí)際中必修考慮到這些現(xiàn)實(shí)的因素，在用這些控制方法對倒立擺進(jìn)行控制，難度將大大的提高，甚至不可行。 31 附 錄 一級倒立擺能控、能觀性程序 clear。 0 0 0 ]。3]。0]。 A=[ 0 1 0 0。 B=[ 0 1 0 3]39。 Q11=1000。 0 0 Q33 0。 Bc = [B]。 U=*ones(size(T))。 N=inv([A,B。 Nbar=Nu+K*Nx。 plot(T,X(:,1),39。 plot(T,X(:,2),39。 plot(T,X(:,3),39。 plot(T,X(:,4),39。,39。,39。這些都將對我今后的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生深刻的 影響，使我獲益非淺。 在此，向所有關(guān)心和幫助過我的老師、同學(xué)和朋友表示由衷的謝意 !