【正文】 )水平面 )(2c o s1( G2G 輻射強(qiáng)度為為地面的平均反射率， HHR III ??? ???? （ 8） ? i?入射光 光伏電池傾斜面 5 5．模型的建立與求解 5． 1 問(wèn)題 1 模型的建立與求解 問(wèn)題 1 模型的 準(zhǔn)備 問(wèn)題 1 要求 僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，選配相應(yīng)的逆變器的容量和數(shù)量。 即目標(biāo)函數(shù)是使 W 最大， CFW ??? （ 9） 則 要使利潤(rùn) W 盡可能大，則必須要使 F 盡可能大，而成本 C 要盡量小 。屋頂南北側(cè)面的總輻射強(qiáng)度可由 式（ 1） — （ 8） 求出 。多個(gè)光伏組件串聯(lián)后可以再進(jìn)行并聯(lián)， 并且 并聯(lián)的光伏組件端電壓相差不應(yīng)超過(guò) 10%，即： %1039。 ??? ijjijiij YU UU （ 17） 光伏陣列 并聯(lián)后接到逆變器，任意某個(gè)電池組的電壓與逆變器的輸入電壓都要滿(mǎn)足下列關(guān)系： kijk VUV ?? （ 18） 光伏陣列的最大功率不能超過(guò)逆變器的額定容量 ，同時(shí)考慮到 逆變器 的轉(zhuǎn)換效率，則： ki ii Ppm ????24139。24139。24118124124187701???kPpmEYEjiVUVjiYUUUSsmtsdbammpIWkkiiikiijijkijkijjijiijiniikkkiiii tkiii?? （ 21） 問(wèn)題 1 模型的 求解 假設(shè)某一面墻體只選用一種型號(hào)的光伏電池，下面討論每一面墻 是否會(huì)在 35 年內(nèi) 7 回收 光伏電池鋪設(shè)的 建設(shè)費(fèi)用。 因此， 不妨以小屋的南立面為例，設(shè)選擇 A3 型號(hào)的 電池的個(gè)數(shù) 為 3m ，選用逆變器的總費(fèi)用為 kk db? ， 若忽略逆變器的逆變效率， 則 一 年后的 發(fā)電量 為 ： kt mpIf ????? ?? 338 7 7 0131000 （ 22） 35 年后的總 發(fā)電量 為： ? ? wF ??????? %8010%9015%10010 （ 23） 鋪設(shè)光伏 電池 的費(fèi)用為： kk dbamC ???? 33 （ 24） 則經(jīng)計(jì)算得到 35 年后能獲得的利潤(rùn)為： kk dbmW ????? 3239 （ 25） 由于 1,0 3 ??? mdb kk ，則 0?W 恒成立，即小屋南立面選用性?xún)r(jià)比最高的光伏電池也不能在 35 年內(nèi)收回建設(shè)成本 。 2. 屋頂應(yīng)盡量鋪設(shè)性?xún)r(jià)比高且高效的光伏電池，而且應(yīng)該充分利用屋頂?shù)拿娣e多鋪設(shè)光伏電池。 同時(shí)可以看出為了發(fā)電總量盡可能大，東、西、南、北四個(gè)墻面均鋪設(shè)了光伏電池，但 35 年后仍沒(méi)有回收成本 。 光伏 電池板 傾角 的選擇 由模型準(zhǔn)備中的式（ 1） — （ 8） 可以得到 傾斜平面上的太陽(yáng)總輻射強(qiáng)度 ?I ： 天窗 11 ? ? ? ? ? ?????? c o o i n ?????? HdHDN IIII （ 25） 可以看出 ?I 只是 ? 函數(shù) ? ??? fI ? ， 由下圖 3 ? ??? fI ? 的曲線(xiàn)關(guān)系圖可以看出 ?I 是 關(guān)于傾角 ? 的 單峰值函數(shù) 。 太陽(yáng)方位角 A 是太陽(yáng)至地面上給定點(diǎn)連線(xiàn)在地面上的投影與北向的夾角，對(duì)于傾斜角為 ? 的斜面，陽(yáng)光入射 角為 i ，這三個(gè)角的空間關(guān)系可以從圖（ 5）得到，如式（ 5）所示。再選取該日太陽(yáng)輻射強(qiáng)度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)角、赤緯角和太陽(yáng)高度角，求得相應(yīng)的光伏電池的轉(zhuǎn)向角： 表 6 光伏電池的轉(zhuǎn)向 參數(shù)表 日期 日照開(kāi)始時(shí)刻 日照結(jié)束時(shí)刻 最大輻射強(qiáng)度 ? ? ? ? 9 16 0 9 17 15 8 17 15 7 18 15 7 19 15 6 19 0 7 19 15 7 18 15 7 18 15 8 17 15 9 16 15 9 16 0 再對(duì)這 12 個(gè)傾角取均值，即為兼顧全年 光伏電池 獲取最大太陽(yáng)輻 射強(qiáng)度 的 最佳傾角，求得結(jié)果為 ?1 ?? ??i i??。總的鋪設(shè)費(fèi)用為 203791 元，總發(fā)電量為 KWh， 35 年后所得的利潤(rùn)為 元，投資的回收年限為 22 年，單位發(fā)電量的費(fèi)用為 元 / KWh 由此得到 小屋各外表面電池組件鋪設(shè)分組陣列圖形及組件連接方式（串、并聯(lián)）示意圖 如下： 南屋頂?shù)?分組 陣列連接圖： 南屋頂?shù)墓夥嚵羞B接圖： 5 組 SN15 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 C6 A1 A1 A1 5 組 SN15 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 A1 C6 A1 A1 A1 15 5． 3 問(wèn)題 3 模型的建立與求解 如果 重新設(shè)計(jì)一個(gè)小屋 ，那么可以根據(jù)問(wèn)題 2 求解出的光伏電池的傾角和朝向來(lái)解決小屋的朝向和屋頂?shù)膬A角問(wèn)題，即設(shè)計(jì)的結(jié)果是光伏電池既可以 貼附 也可以架空 安裝在小屋的表面，同時(shí)又可以最大程度的利用太陽(yáng)能輻射能量，并且此時(shí)的光伏電池可以延伸出屋頂。 （ 2）約束條件的構(gòu)造 建 筑縱投影面積的約束。由。與問(wèn)題 1 和問(wèn)題 2 中的鋪設(shè)方案相比，總利潤(rùn)有較大幅度提高，并且充分利用了屋頂?shù)目臻g，鋪設(shè)的費(fèi)用都能夠收回 ，投入資金的回收年限為 22年 。其他墻面均虧損，可能是由于墻面豎直，太陽(yáng)能輻射量常年較少，尤其是北墻面，基本上常年日照較少；東墻面由于方位關(guān)系的限制，太陽(yáng)在升起時(shí)一般光照不是很強(qiáng)，輻射量較小，只有到了中午以后輻射量才會(huì)很大，此時(shí)，東側(cè)面已經(jīng)接受不到光照。 6． 2 問(wèn)題 2 模型的結(jié)果分析 在問(wèn)題 2 的結(jié)果中，西面墻和屋頂都是盈利的，這說(shuō)明電池板的架空措施得當(dāng)，由于南立面可用空間較小，沒(méi)有鋪設(shè)電池板。 6． 3 問(wèn)題 3 模型的結(jié)果分析 在重新設(shè)計(jì)了小屋的外形后， 通過(guò)求解得到的發(fā)電總量和利潤(rùn)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)問(wèn)題 1 和問(wèn)題 2，這說(shuō)明小屋的設(shè)計(jì)是合理的，即通過(guò)改變小屋的建筑結(jié)構(gòu)能夠增大光伏電池的 19 效率和鋪設(shè)面積，進(jìn)而增大發(fā)電總量和利潤(rùn)。設(shè)電池板的長(zhǎng)度為 a ,某時(shí)刻的太陽(yáng)高度角為 ? ，電池板的陰影長(zhǎng)度為 l ，則 應(yīng)有： ? ?la ??? ??? ?180s ins in （ 40） 當(dāng)太陽(yáng)高度角最小時(shí)，亦即電池板的陰影長(zhǎng)度最大時(shí)，兩面傾斜的電池板之間的距離 b 應(yīng)滿(mǎn)足： lb? 。 ，對(duì)問(wèn)題的結(jié)果做了合理性分析和討論。 20 參考文獻(xiàn) [1] 岺幻霞．太陽(yáng)能熱利用 [M]．北京：清華大學(xué)出版社， 1996． [2] 姜啟源 ． 數(shù)學(xué)模型（第三版） [M]． 北京：高等教育出版社， 1999． [3] 韓中庚 ． 數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版） [M]． 北京：高等教育出版社， 2020． [4] CUMCM 組委會(huì)． CUMCM 問(wèn)題 [EB/OL]． ，2020917． 21 附 錄 附錄 1 東面墻的光伏陣列連接圖： 東面墻的分組陣列連接圖： 在此圖中表示了東面墻的鋪設(shè)方案，在這面墻中主要是采用了 C6 這種電池進(jìn)行的鋪設(shè)，在下面的矩形中除了門(mén)之外，其他的地方用了 190 塊 C6 的電池板，在鋪設(shè)時(shí)采用了 310*355 的方式鋪設(shè)，而上面的三角形內(nèi)鋪設(shè)了 34 塊電池板，采用了 355*310 的鋪設(shè)方案，從而得到鋪設(shè)的省略圖如上。 附錄 3 南面墻分組陣列連接圖： C6 C6 C6 C6 SN4 137 個(gè) C6 C6 C6 C6 SN4 C6 C6 C6 C6 105 組 C6 C6 25 南面墻光伏陣列連接圖： 在此圖中表示了南面墻的鋪設(shè)方案，在這面墻中主要是采用了 C6 這種電池進(jìn)行的鋪設(shè)，在門(mén)的右側(cè)，采用 355*310 的方式鋪設(shè)了 10 個(gè)電池板，門(mén)的左側(cè)一共用了 278塊 C6 的電池板，在鋪設(shè)時(shí)采用了 310*355 的方式鋪設(shè)，在鋪設(shè)到窗戶(hù)上時(shí)可以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，從而得到鋪設(shè)的省略圖如上。 a*sin()+z=。 y=15。 s1/(x*