【正文】 .............................................. 1 Keywords............................................................ 1 不等式的簡介 ....................................... 2 不等式的四種形式 ................................... 2 實數(shù)域中的 CauchySchwarz 不等式 .............................. 2 定理 ................................................... 2 應用 ................................................... 3 用 于證明不等式 ................................... 3 用于求最值 ....................................... 3 用于解方程組 ..................................... 4 用于解三角形相關問題 .............................. 4 維 歐氏空間中的 CauchySchwarz 不等式 ........................ 5 定理 ................................................... 5 應用 ................................................... 6 用于證明不等式 ................................... 6 用于求最值 ........................................... 6 用于證明三維空間中點到面的距離公式 ............... 7 數(shù)學分析中的 CauchySchwarz 不等式 ............................ 7 定理 ................................................... 7 定理（積分學中的柯西 — 施瓦茨不等式） .............. 7 定理（數(shù)項級數(shù)的柯西 — 施瓦茨不等式） ............. 9 應用 .................................................. 10 用于證明不等式 .................................. 10 概率空間中的 CauchySchwarz 不等式 ........................... 10 定理 .................................................. 10 應用 .................................................. 11 用于研究 兩個隨機變量的相關系數(shù) .................. 11 用于求方程的系數(shù) ................................. 12 用于判斷極值是否存在 ............................ 13 3． CauchySchwarz 不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系 ......................... 13 證明方法的相似性 ............................................ 13 內(nèi)在之間的互推性 ............................................ 14 四種形式的本質 .................................... .........15 參考文獻 ........................................................... 16 1 內(nèi)容摘要 ： 本文介紹了柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域、 n 維歐式空間、數(shù)學分析、概率空間四個不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個領域內(nèi)的應用，主要包括證明不等式、求最值，解三角形的相關問題，解方程組，研究概率論中的相關系數(shù)、判斷極值的存在性。 柯西施瓦茨不等式 是一條很多場合都用得上的不等式，例如 證明不等式、求函數(shù)最值、 線性代數(shù)的矢量， 研究三角形的相關問題， 數(shù)學分析的無窮級數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差 ，求方程系數(shù)，判斷極值的存在性 。 證明：證法 1 通 過構造關于 x 的二次函數(shù)來證明 設 ( ) ,f x x x? ? ? ?? ? ? 由 實 向 量 的 內(nèi) 積 的 雙 線 性 ， 對 稱 性 和 正 定 性 可 知2( ) , , 2 , , 0 .f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 當 0?? 時， ,0??? ，不等式成立。把 ? 的表達式代入，利用內(nèi)積的雙線性計算得 ,0,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , , , , , , , ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,.,? ? ? ??? ???? 由于 , 0.??? 且由內(nèi)積的對稱性知 , , ,? ? ? ?? 故2, 0 , , ,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?，其等號只在 0?? 時成立，即 6 ,??????? 時成立，不等式獲證。 又由距離的定義可知點 P ?到 平 面 的 距 離為 0 0 0m i n 2 2 2|||| A x B y C z Dd P M A B C? ? ??? ??。此外也可以類似定理 構建一元二次函數(shù)來求證。 應用 用于研究兩個隨機變量的相關系數(shù) 例 9. 對于相關系數(shù) ,| | 1??? 成立，并且 1?? 當且僅當 { } 1EEPDD? ? ? ???????； 而 1??? 當且僅當 { } 1EEPDD? ? ? ?????? ? ? 證明： 對隨機變量 EEDD? ? ? ?????與應用柯西施瓦茨不等式有 222[ ] [ ] [ ] [ ]| { } | { } { }E E E EE E ED D D D? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 即 2 1?? ，故 | | 1,?? 等號成立當且僅當存在 0t 使得 0{ } 1EEPtDD? ? ? ???????（其中 0t 是方程 2 2 1 0 | | 1tt??? ? ? ?當時的解） 顯然， 1?? 時， 0 1,t? 即 { } 1EEPDD? ? ? ??????? 12 1??? 時， 0 1,t ?? 即 { } 1EEP DD? ? ? ?????? ? ? 注： 以上表明，當 1??? 時， ??與 存在完全線性關系，這時如果給定一個隨機 變量的值 ，另一個隨機變量的值便完全決定 . 用于求方程的系數(shù) 例 ( ) , ( 1, 2 , , ) ,iiy f t i n?? …是由實驗或觀察得到的，建立直線趨勢方程 ey a bt?? 的模型時，要求實際觀察值 iy 與趨勢值 ey 離差的平方和必須為最小。 3． CauchySchwarz 不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系 證明 方法的相似性 以上我們介紹了柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域、 n 維歐式空間、數(shù)學分析、概率空間四個不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個領域內(nèi)的應用，盡管這四種表現(xiàn)形式涉及到不同的數(shù)學對象，證明方法各自也呈現(xiàn)出多樣化，但是我們發(fā)現(xiàn)，這四種種形式在證明方法上都可以通過構造二次函數(shù)或者二次不等式（本質都是通過判別式對根的情況進行判斷）來進行統(tǒng)一的證明。 當定義內(nèi) 積 ,ba dx? ? ????其中 ,??是關于 x 在 [, ]ab 上的連續(xù)函數(shù)，則取22 2 2( ) , ( ) , , ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,b b ba a af x g xf x g x dx f x dx g x dx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?時 ， 由 得 即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學分析積分學中的表現(xiàn)形式