【正文】 照乘法的交換律可以得出： 從以上五個方面進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的，這也是分?jǐn)?shù)除法法則中，被除數(shù)不變而除數(shù)顛倒變 乘的算理。 （ 4）從求一個數(shù)的幾分之幾用乘法來分析： 可通過以下兩道例題的解法做個比較。 從脫式中可見，②式分子部分的 3與247。按照“歸一”應(yīng)用題的思路，可以得出下列算式： ① 1份是多少頁？ 60247。為此，被除數(shù)不變，除數(shù)一定要顛倒變乘。 使用這種法則的局限性很大，因?yàn)闊o論是分子相除，還是分母相除，都能整除的情況是很少的，如果不能整除，其結(jié)果就會出現(xiàn)繁分?jǐn)?shù)的情況，這就使計(jì)算結(jié)果變得更為復(fù)雜。這個算理在“教”與“學(xué)”中都是重點(diǎn)和難點(diǎn)。 由此可見，分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則，是由分?jǐn)?shù)乘法的意義，即：求一個數(shù)的幾分之幾是多少來決定的。后一種的法則是：分子相乘的積作分子，分母相 乘的積作分母。 上述確定最小公分母的過程，不要求書寫出來，它只是口算過程的表述。 8 和 12 的最小公倍數(shù)是 24， 24 就是最小公分母。 （ 2）當(dāng)幾個分母是互質(zhì)數(shù)時，這幾個分母的乘積就是它們的最小公分母。只有確定最小公分母，才能使計(jì)算的過程變得簡便。 從上圖可以看到，在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加法時，不經(jīng)過通分，就無法使不同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成相同分?jǐn)?shù)單位的分?jǐn)?shù)。 如： 4 公頃 30畝 =4 公頃 2公頃 =2 公頃 或： 4 公頃 30畝 =60 畝 30畝 =30 畝 在整數(shù)中是這個道理，所以在計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加、減法時，要先通分，其理由與上述道理也類似。 原來的分母不變的道理，在于分母是把單位“ 1”平均分成若干份的數(shù)，它決定了這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，只表示每一份的 大小，而不表示所取份數(shù)的多少；分子表示取了多少份的數(shù)，也就是有多少個分?jǐn)?shù)單位。 為什么這種簡便方法也能比較異分母分?jǐn)?shù)的大小呢？其算理與一般方法先通分后比較是一樣的，只不過是省略了通分的過程。這兩個分?jǐn)?shù)就是不等的 。 194．什么是分?jǐn)?shù)的相等和分?jǐn)?shù)的不等？ 分?jǐn)?shù)的相等是指兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)值一樣。這個結(jié)論在直觀上是能夠接受的，但這并非全部的算理。 結(jié)論是：分子相同的兩個分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)比較大。上面三個例題通過推導(dǎo)，都可以得到 證明。 箭頭所指說明：循環(huán)節(jié)有兩位 寫兩個 9，不循環(huán)部分有一位寫一個 0。即： 192．怎樣把混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)？ 分?jǐn)?shù)既然能化成混循環(huán)小數(shù)，同樣，混循環(huán)小數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)。 例如：有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。 π =?? 無限不循環(huán)小數(shù)在數(shù)學(xué)上叫做無理數(shù)。也就是說，余數(shù)一重復(fù)出現(xiàn)，商的相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字也重復(fù)出現(xiàn)，循環(huán)就開始了，所得的商當(dāng)然是循環(huán)小數(shù)。 常見的分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)互化表 對于分?jǐn)?shù)化純循環(huán)小數(shù)或混循環(huán)小數(shù)，按照上述規(guī)律，可以事前根據(jù)分?jǐn)?shù)的分母特點(diǎn)，提早做出判斷。至于什么樣的分?jǐn)?shù)化成什么樣的小數(shù)，確有規(guī)律可循，這個規(guī)律可通過下面各樣分?jǐn)?shù)化小數(shù)的實(shí)例來觀察： 從上面分?jǐn)?shù)化小數(shù)的三種 情況看，什么樣的分?jǐn)?shù)化什么樣小數(shù)，關(guān)鍵不在分子，而在分母。按后者說法，其結(jié)果很容易引起誤解，因 不是 4個蘋果，而是半個蘋果 。 總之，在分?jǐn)?shù)教與學(xué)中，只要在分?jǐn)?shù)與除法間建立起自然的聯(lián)系和遷移，溫故而知新，許多屬于算理的問題，都是比較容易得到解決的。這個基本性質(zhì)來源于整數(shù)除法中商不變的性質(zhì)，即：被除數(shù)與除數(shù)同時乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），商不變。 分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法的關(guān)系，下圖可以揭示： 在分?jǐn)?shù)中，分子相當(dāng)于除法算式中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)中間有著密切的聯(lián)系，特點(diǎn)是分?jǐn)?shù)基本概念的建立，都用到整數(shù)除法的知 識。分母不同，分?jǐn)?shù)單位也不同，分母是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越小；反之，分母越小，分?jǐn)?shù)單位則越大。一個分?jǐn)?shù)，它的分?jǐn)?shù)單位是有個數(shù)的。自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位是 1，任何一個自然數(shù)都是若干個 1組成的。分母不同，分?jǐn)?shù)單位也不同，分母是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，分母越大，分?jǐn)?shù)單位就越?。环粗?，分母越小，分?jǐn)?shù)單位則越大。一個分?jǐn)?shù)，它的分?jǐn)?shù)單位是 有個數(shù)的。自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位是 1，任何一個自然數(shù)都是若干個 1組成的。要求修了多少米，根據(jù)題目中 如果換一種思路進(jìn)行分析：要求沒修的是多少米，必須先知道沒修的米數(shù)是全長的幾分之幾，然后按求一個數(shù)的幾分之幾是多少的方法解答，關(guān)鍵的問 綜上所述，無論是在分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)知識中，還是在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過程里，單位“ 1”都是處于前提和關(guān)鍵的位置。但是，無限多的事物不能看作單位“ 1”，因?yàn)闊o限多的事物是不可分的。在這些不同情況下，部分轉(zhuǎn)化為整體時，都可以用單位“ 1”來表示。如：世界的人口數(shù)，一個國家的面積，一個縣播種小麥的畝數(shù)，一段路程，一個果園果樹的棵數(shù)，一個工廠產(chǎn)品的總產(chǎn)量，一堆煤的重量等，都可以作為單位“ 1”，也就是把整體看作“ 1”。五、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù) ，單位“ 1”是一個重要概念？ 單位“ 1”也稱做整體“ 1”，在分?jǐn)?shù)的教與學(xué)中，正確理解單位“ 1”是正確理解什么是分?jǐn)?shù)的前提。 單位“ 1”一般情況下，表示一個事物的整體。如世界人口是 50億，是個整體，中國人口是 11 億，只是它的一部分，當(dāng)說到北京市人口 占全國人口的一百分之一時，中國人口數(shù)又成為整體，當(dāng)說到某區(qū)人口是全市人口的十分之一時，全市人口又成了整體等。大到有限數(shù)的任何事物，都可以看作單位“ 1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作單位“ 1”。題目中全長 480 米已知，未知條件是修了多少米。具體到“數(shù)”，同樣也是有單位的。根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義，把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)（幾分之一）就是原來這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。如果分母用 所以，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位與分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位是不一樣的，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位永遠(yuǎn)是 1，這是不變的；而分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位則不是固定不變的，它是隨著分?jǐn)?shù)的分母不同而變化的。具體到“數(shù)”，同樣也是有單位的。根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義，把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)（幾分之一）就是原來這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。如果分母用 所以，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位與分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位是不一樣的，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位永遠(yuǎn)是 1，這是不變的；而分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位則不是固定不變的，它是隨著 分?jǐn)?shù)的分母不同而變化的。如果把小數(shù)劃入十進(jìn)分?jǐn)?shù)的范圍，那么分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的第二個主要階段，也是數(shù)的一次重要擴(kuò)展。即使在整數(shù)范圍內(nèi)，被除數(shù)小于除數(shù)這種無法計(jì)算的情況，用分?jǐn)?shù)表示也不存在任何問題。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。至于在分?jǐn)?shù)中分母不能是零的道理，只要溝通分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，即：除法中除數(shù)不能是零，分?jǐn)?shù)中分母自然不能是零。 ，一半也就不知