【正文】 則，稱積分是發(fā)散的。例：設球體具有均勻的密度,求對球外一點(質量為1)的引力。例：計算由平面，所圍成的均勻物體（設）對于坐標平面的轉動慣量。分別稱，為物體關于坐標平面，坐標平面，坐標平面的階矩。又假設為上的連續(xù)函數(shù)。令，則=。例：，D由上半球面和拋物面所圍的區(qū)域。二三重積分的變量替換設作變量替換：,且滿足下列條件：（1）建立了之間的一一對應；（2）在內有關于的連續(xù)偏導數(shù)，并且其變換：在內有關于的連續(xù)偏導數(shù)；（3）Jacohi行列式在內無零點，則=注：和二重積分類似，當J點在內個別點上為零時，上述公式仍成立?！裨O，==。2三重積分的計算一化三重積分為三次積分設是中的（閉）長方體，是定義在上的有界函數(shù)。（3）在具體問題中，選擇變換公式的依據(jù)有兩條：（i）使交換的函數(shù)容易積分；（ii）使得積分限容易安排。注：（1）在定理中，假設，但有時會遇到這種情形。例：求。說明：①注意，雖經極坐標交換，但又變成極坐標系下二重積分，這是如何計算極坐標系下二重積分，在極坐標下，二重積分一樣可以化為二次積分來計算，下面分情況討論之：情形1若=，為[，]上的連續(xù)函數(shù)，則稱之為型區(qū)域。對于二重積分也有相應的換元公式，用于簡化積分區(qū)域或被積函數(shù)。例：求由和，所圍空間區(qū)域的體積V。因而，解決了型區(qū)域和型區(qū)域上二重積分的計算方法后，一般區(qū)域上的二重積分的計算問題也就得到解決。確切地說，設函數(shù)在上有定義，如果任意確定，則是自變量為的一元函數(shù)，設，有意義，其值是的函數(shù)，記為，又得體積為同樣，可以先后的二次積分：=在此例中，先后的二次積分等于先后的二次積分，即兩個二次積分相等，這個現(xiàn)象包含在下面的定理中。推論若函數(shù)在上連續(xù)，則在上至少存在一點，使。性質5若函數(shù)在上可積，則在上可積，且。性質2若函數(shù)、都在上可積，則在上也可積，且有。（2）若在上可積，則在上有界。（2）如果幾何體是一塊可求體積的空間幾何體，那么上的積分就稱為三重積分，在直角坐標下記為。并令，在每一塊中任取一點，做下列和式：如果這個和式不論對于的怎樣分劃以及在上如何取法，只要當時恒有同一極限，則稱此極限為在幾何形體上的黎曼積分，記為：.也就是，這個極限是與分法和取法無關的。當時,和,（由Cauchy判法)積分收斂.（易見時積分發(fā)散).綜上,于是,記為,即=不難驗證,因此,函數(shù)是D內的二元連續(xù)函數(shù).（2）函數(shù)的對稱性:.由于函數(shù)的兩個變元是對稱的,因此,．Gamma函數(shù)（1）Gamma函數(shù)考慮無窮限含參積分,當時,來討論其斂散性.:,.利用非負函數(shù)積的Cauchy判別法,注意到當時積分收斂.(易見當時,仍用Cauchy判別法判得積分發(fā)散).因此,時積分收斂.:對R成立,.,稱該函數(shù)為Gamma函數(shù),記為,即=,.函數(shù)是一個很有用的特殊函數(shù).（2）函數(shù)的連續(xù)性和可導性::若含參廣義積分在內收斂,但在點發(fā)散,對積分,有,，—判法,它們都一致收斂,:的連續(xù)性::在區(qū)間內可導,且.同理可得:在區(qū)間內任意階可導,且.（3）的遞推公式，函數(shù)表的遞推公式:.證..于是,利用遞推公式得:，,…………，一般地有.可見,在上,易見對,我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了內的所有實數(shù)上,于是,自然就有,可見在初等數(shù)學中規(guī)定：計算積分。由于時點和均為瑕點，故把積分分成和考慮。定理5積分在上一致收斂對任一數(shù)列,↗,函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。那么，也就是微分運算可以通過積分號。，關于一致收斂，那么。定理1（魏爾斯特拉斯判別法）設有函數(shù)，使得如果積分收斂，那么關于一致收斂。就稱含參無窮積分關于一致收斂。證：令，則，它們都在上連續(xù)，則例：設為連續(xù)函數(shù)，,求?；蛴枚ǚe分中值定理，當時，使若存在，則,故在不連續(xù)。例：研究函數(shù)的連續(xù)性，其中是上連續(xù)且為正的函數(shù)。定理4設函數(shù)函數(shù)及其偏導數(shù)在矩形域上連續(xù)，函數(shù)和在上存在，并且，則。例：求。我們稱由含參積分表達的函數(shù)為含參積分。性質2設函數(shù)定義于某一維區(qū)域中，且有關于一切變元的連續(xù)偏導數(shù)，并且它們的反函數(shù)存在，且有關于一切變元的連續(xù)偏導數(shù)。又設定義于某一維區(qū)域中，且有關于一切變元的連續(xù)偏導數(shù)。二多變量及方程組的情形定理2滿足：的一個鄰域內對各個變元有連續(xù)的偏導數(shù)；（2）（3）F，G關于的Jacobi矩陣則：（1）存在點的一個鄰域，在此鄰域內由方程組可以確定唯一的函數(shù)：滿足：（2）在內連續(xù)；（3）在內有關于和的連續(xù)偏導數(shù)。在點(0,1)的某個鄰域內由方程可確定唯一的（3）定理的條件是充分的，非必要的。然而需要指出的是：并不是任一方程都能確定出隱函數(shù)。若，則取得極小值；若，則取得極大值。三條件極值的求法在具體解題時，例如在限制條件下求的極值，可如下進行：1．引入函數(shù)（函數(shù)）：。前提：設函數(shù)具有對各個變元的連續(xù)偏導數(shù)，而這些變元之間又受到以下條件的限制：其中和都具有對各個變元的連續(xù)偏導數(shù)，并且它們的行列式。即，問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題。2條件極值一何謂條件極值在討論極值問題時，往往會遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。因此，為找出函數(shù)在區(qū)域上的最大（小）值，必須找出一切有極值的內點，算出這些點的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（?。┲?。多元函數(shù)的最大（小）值問題設函數(shù)在某一有界閉區(qū)域中連續(xù)且可導，必在上達到最大（小）值。例：在點。定義2設是內的一個區(qū)域，是的一個內點，如果，則稱是的一個駐點。例：按及的乘冪展開函數(shù)到三項為止。7泰勒公式定理1設函數(shù)在點內對及具有直到階連續(xù)偏導數(shù)。（2）；（3）（）（4）（在可微）例：設在空間原點處有一個點電荷，在真空中產生一個靜電場，在空間任一點處的電位是：，則。梯度的定義定義2設定義于某個三維區(qū)域內，又設函數(shù)具有關于各個多元的連續(xù)偏導數(shù)，稱向量是在點的梯度，記為，即。定理1設函數(shù)在點可微，則在點沿任何方向的方向導數(shù)存在，并且有其中是方向的方向余弦。167。曲面方程由方程組給出：，給出，其中是參數(shù)。167。如果曲線方程由下式表示：。又設都在連續(xù)，并且對每一不全為0，這樣的曲線稱為光滑曲線。例：設，變換方程。例：設二階可微，求。這種形式的函數(shù)稱為隱函數(shù)。例：設則如果二階微分只有形式不變性，則有：但（2）利用一階微分形式不變性求偏導數(shù)例：設利用微分形式不變性求并求出（3）高階微分不具有形式不變性。二一階微分形式不變性一階微分有個很重要性質——形式不變性。(3)有時記。167。例：設，求，；。例：設證明在點不可微。二全微分的定義二元函數(shù)微分的定義定義2若函數(shù)的全改變量可表示為=(+,+)=++()且其中與，無關而僅與有關，則稱函數(shù)在點可微，并稱為在點的全微分，記為，即。見下面的例子。例：，求和。1偏導數(shù)和全微分的概念一偏導數(shù)的定義1．偏導數(shù)定義定義1設是一個二元函數(shù)，定義在內某一個開集內，點（，）D，在中固定,那么是一個變元的函數(shù)，如果在點可導，即如果(1)存在，則稱此極限值為二元函數(shù)在點（,）關于的偏導數(shù)。推論1設（1）；（2），存在；（3），存在；則，都存在，并且等于二重極限。定理1　設（1）二重極限；（2）。例：（兩個二次極限存在，但不相等）。不存在知的累次極限不存在。零點存在定理設是中的一個區(qū)域，和是內任意兩點，是內的連續(xù)函數(shù)，如果，則在內任何一條連結的折線上，至少存在一點，使。例：求函數(shù)的不連續(xù)點。例：。例：設二元函數(shù)，討論在點的的二重極限。記為或。記為或。有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如平行四邊行的面積由它的相鄰兩邊的長和寬以及夾角所確定,即。那么從里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區(qū)域。一個區(qū)域加上它的邊界就是一個閉區(qū)域。5．聚點：設是平面上的一點，它可以屬于，也可以不屬于，如果對的任何鄰域，至少含有中一個（不等于的）點，就稱是的聚點。2．外點：設，若存在的一個鄰域，使，就稱是的外點。性質：（1）。平面點集一鄰域、點列的極限定義1在平面上固定一點，凡是與的距離小于的那些點組成的平面點集，叫做的鄰域，記為。性質2（平移）對任何，設，那么。例：求衰減函數(shù)的富里埃變換。即。例：將在上展開為余弦級數(shù)。例：設是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,求的Fourier展開式。第二篇：數(shù)學分析公式定理2第十二章富里埃級數(shù)167。1 證明|39。c(12xy+ey)dx(cosyxe)dy其中C為右由點A（1，1）出發(fā)沿yy=x到O（0，0）點，再沿直線y=0到B（2，0）的路徑。2nncosxxndx 1n二 利用不等式(1+（歐拉常數(shù)）165。2n=1n(n+n)2舉例說明存在函數(shù)0）處不連續(xù)。u182。exsin(2x)dx 0165。04(cosxex2) x2 求導數(shù){(1+求積分242。u3所確定的函數(shù)，求182。y證明無窮級數(shù)229。242。n=1四 求曲線積分2242。1，|f|163。2 39。二富里埃級數(shù)收斂性的判別（黎曼）引理設在（有界或無界）區(qū)間上絕對可積，則，.推論在上絕對可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；定理1和,使得當時成立推論:設在上除去有限點外存在有界導數(shù),則的Fourier級數(shù)點點收斂,且特別地,是的連續(xù)點時，即例:設是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,：設是以為周期的函數(shù),其在上等于,判定的Fourier級數(shù)的收斂性例：設在上單調(或有界變差)，則。例:),將展開成余弦函數(shù)。定義1稱是的富里埃變換，并把它記為或。又稱是的富里埃變換積分公式。性質1（線性），其中是兩個任意給定的常數(shù)。第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性167。就稱點列收斂，并且收斂于，記為或。1．內點：設，如果存在的一個鄰域，使得，就稱是的內點。4．開集：如果的點都是的內點，就稱是開集。7．區(qū)域：設是一個開集，并且中任何兩點和之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在中，就稱是區(qū)域。：若一開矩形集合覆蓋一有界閉區(qū)域。2多元函數(shù)的極限和連續(xù)一多元函數(shù)的概念不論在數(shù)學的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。一般地，有下面定義：定義1設是的一個子集，是實數(shù)集，是一個規(guī)律，如果對中的每一點，通過規(guī)律，在中有唯一的一個與此對應，則稱是定義在上的一個二元函數(shù)，它在點的函數(shù)值是，并記此值為，即。二多