【正文】 ????kk － 1，2 k － 1k － 1. 因為 0 k 12，所以kk － 10 ，2 k － 1k － 10 ，所以交點在第二象限． 方法二：特值 法． 取 k ＝13，易得交點為??????－12，12，所以交點在第二象限． [ 答案 ] ( 1 ) 二 ( 2 ) C 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關(guān)系 ( 2) 方法一：設(shè)點 P ( x ， y ) ，依題意有 | y |＝| 3 x － y |（ 3 ）2＋ 1，化簡得 x － 3 y ＝ 0 或 3 x ＋ y ＝ 0. 故選 C. 方法二：因為直線 l 的傾斜角為 60 176。x1＋ 42＋ 4 或 120 176。 惠州調(diào)研 ] “ a ＝－ 2 ” 是 “ 直線 ax ＋ 2 y ＝ 0 垂直 于直線 x ＋ y ＝ 1 ” 的 ( ) A ． 充分不必要條 件 B ．必要不充分條件 C ． 充分必要條件 D ．既不充分也不必要條件 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1) 顯然 a ＝ 0 時兩直線不重合，所以若兩直 線重合，則有－a4＝－1a，且204＝ba，解得 a ＝ 2( 舍去 a ＝－ 2) ， b＝ 10. ( 2) 直線 ax ＋ 2 y ＝ 0 與直線 x ＋ y ＝ 1 垂直的充要條件是a 179。 ( 3 ) ①√ ②√ ③√ ④√ ( 4 ) √ 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 43講 兩直線的位置關(guān)系 2 ． 距離公式的應(yīng)用 ( 1) 點 P (1 ， a ) 到直線 x － y ＋ a ＝ 0 的 距離是22. ( ) ( 2) 兩平行直線 2 x － y ＋ 1 ＝ 0 ， 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 間的距離是 0.( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 43講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1) 點 P (1 ， a ) 到直線 x － y ＋ a ＝ 0 的距離為 d ＝|1 － a ＋ a |2＝22. ( 2) 把直線 2 x － y ＋ 1 ＝ 0 化為 4 x － 2 y ＋ 2 ＝ 0 ，則兩直線間距離為 d ＝|1 － 2|16 ＋ 4＝12 5＝510. [ 答案 ] ( 1 ) √ (2 ) 179。 b － 3 179。 ， α ] ∪ [ β ， 180 176。 （ 1 ＋ k2） ＝ 2 2 ＋1k2 ＋ k2 ≥ 2 2 ＋ 21k2 178。 | PB |的最小值及此時直線 l 的方程． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 解： 由條件知，直線 l 斜率 k 必存在． 設(shè)直線 l 方程為 y － 1 ＝ k ( x － 2) ，顯然 k 0 ， 當 x ＝ 0 時， y ＝ 1 － 2 k ； y ＝ 0 時， x ＝ 2 －1k， 所以 A ， B 兩點的坐標分別為 A??????2 －1k， 0 ， B (0 ， 1 －2 k ) ． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 1) | OA |＋ | OB |＝ (1 － 2 k ) ＋??????2 －1k ＝ 3 ＋??????－1k＋ ( － 2 k ) ≥ 3 ＋ 2??????－1k α 180 176。 ，直線垂直于 x 軸． ② 傾斜角和斜率的變 化關(guān)系，請結(jié)合 y ＝ ta n x ，x ∈??????0 ，π2∪??????π2， π 的圖象考慮． ③ 公式 k ＝y(tǒng)2－ y1x2－ x1( x1≠ x2) 中的坐標與兩點的順序無關(guān)，當 x1＝ x2， y1≠ y2時，直線的傾斜角為 90 176。 ( 4 ) √ ( 5 ) √ ( 6 ) 179。 天津卷改編 ] 經(jīng)過定點 A (0 ， b ) 的直線都可以用方程 y ＝ kx ＋ b 表示． ( ) ( 3) 不經(jīng)過原點的直線都可以用xa＋yb＝ 1 表示． ( ) ( 4) [ 2020 . ( 4) 若 A ， B ， C 共線，則 kAB＝ kAC，所以3 － 12 － a＝3 － 22 － 0，得 a ＝－ 2. [ 答案 ] ( 1 ) 179。 . ( ) ( 4) 若三點 A (2 ， 3) ， B ( a ， 1) ， C (0 ， 2) 共線，則 a的值為－ 2 . ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 解析 ] ( 1) 直線的傾斜角的范圍是 [0 176。 ) 2 ． 斜率 ( 1) 定義：一條直線的傾 斜角 α 的 ________ 叫做這條直線的斜率； 當直線的傾斜角 α ≠ 90 176。修改后再點擊右鍵、“切換域代碼”，即可退出編輯狀態(tài)。 如果有的公式雙擊后無法進入可編輯狀態(tài)，請單擊選中此公式，點擊右鍵、“切換域代碼”，即可進入編輯狀態(tài)。 ， 180176。 . 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 正切值 tanα 不存在 不存在 3 ． 傾斜角與斜率的關(guān)系 傾斜角 α 與斜率 k 之間的關(guān)系是 k ＝ ta n α ，這說明任一直線都有 ________ ，但并不是任一直線都有________ ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 傾斜角 斜率 二、直線方程的三種形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 不能表 示垂直于 x 軸的直線 兩點式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 不能表示垂直于坐標軸的直線 一般式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 所有直線 斜截式 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 不能表示垂直于 x 軸的直線 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 y ＝ kx ＋ b —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 1 ． 傾斜角與斜率的理解 ( 1) 直線的傾斜角為任意實數(shù)． ( ) ( 2) 任何直線都有斜率． ( ) ( 3) 過點 M ( a ， b ) ， N ( b ， a )( a ≠ b ) 的直線的傾斜角是 45 176。 的直線沒有斜率． ( 3) ta n α ＝ k ＝b － aa － b＝－ 1 ，所以 α ＝ 135 176。 ( 4 ) √ 2 ． 直線的方程認識 ( 1) 經(jīng)過定點 P0( x0， y0) 的直線都可以用方程 y － y0＝k ( x － x0) 表示． ( ) ( 2) [ 2020 ( 3 ) 179。 時，直線的斜率為零． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 歸納總結(jié) ① 直線的斜率不存在，則直線的傾斜角為90 176。12＝34. ? 探究點二 直線方程的求法 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 2 ( 1) 直線 l 在 y 軸上的截距為－ 1 ，傾斜角是直線 l1： 3 x＋ 4 y － 1 ＝ 0 的傾斜角的一半，則直線 l 的方程為 ( ) A ． 3 x － y ＋ 1 ＝ 0 B ． 3 x ＋ y － 1 ＝ 0 C ． 3 x － y － 1 ＝ 0 D ． 3 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ( 2) 直線 l 過點 A ( － 2 ， 4) ，分別交 x 軸、 y 軸于 B ， C 兩點，且滿足 BA→＝12AC→，則直線 l 的方程為 ( ) A ． 4 x － y ＋ 12 ＝ 0 B ． 4 x ＋ y ＋ 12 ＝ 0 C ． x － 4 y ＋ 12 ＝ 0 D ． x ＋ 4 y ＋ 12 ＝ 0 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 思考流程 ( 1) 分析：設(shè)直線 l 方程為斜截式；推理：根據(jù)題意求出直線的斜率和在 y 軸上的截距；結(jié)論：代入直線的斜截式方程可得． ( 2) 分析：設(shè)直線 l 方程為截距式；推理：由向量關(guān)系求出橫截距和縱截距；結(jié)論：代入直線的截距式可得． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) A [ 解析 ] 設(shè)直線 l 的斜率為 k ，傾斜角為 α ， 設(shè)直線 l1的傾斜角為 β ，則 ta n β ＝－34，且 β ＝ 2 α . 由 ta n β ＝ ta n 2 α ＝2ta n α1 － ta n2α＝－34，得 ta n α ＝－13或 3. 若 ta n α ＝－13，則 90 176。 ，不合題意，所以 k ＝ ta n α ＝ 3. 又因為直線 l 的縱截距為－ 1 ，所以直線 l 的方程為 y ＝3 x － 1 ，即 3 x － y － 1 ＝ 0. 選 C. 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 2) 方法一：設(shè)直線 l 的方程為xa＋yb＝ 1 ，則 B ( a ， 0) ，C (0 ， b ) ， BA→＝ ( － 2 － a ， 4) ， AC→＝ (2 ， b － 4) ． 由 BA→＝12AC→，得?????2 （－ 2 － a ）＝ 2 ，8 ＝ b － 4 ，解得?????a ＝－ 3 ，b ＝ 12. 所以直線 l 的方程為x－ 3＋y12＝ 1 ，即 4 x － y ＋ 12 ＝ 0. 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 方法二：設(shè)直線 l 的方程為 y － 4 ＝ k ( x ＋ 2) ，分別令 y ＝0 ， x ＝ 0 ，得 B ， C 兩點坐標為 B??????－4k－ 2 ， 0 ， C (0 ， 2 k ＋4) ，所以 BA→＝??????4k， 4 ， AC→＝ (2 ， 2 k ) ． 由 BA→＝12AC→，得????? 4k＝22，4 ＝2 k2，解得 k ＝ 4 ， 所以直線 l 的方程為 y － 4 ＝ 4( x ＋ 2) ，即 4 x － y ＋ 12 ＝ 0. 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 點評 求直線方程時，要依據(jù)條件靈活選擇方程的形式．一般地，與傾斜角有關(guān)的，方程設(shè)為點斜式或斜截式，如 ( 1) ；與截距有關(guān)的，方程設(shè)為截距式，如 ( 2) ．在使用斜截式方程時，可以 將斜率 k 作為變量，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解．對于直線方程各種形式，要注意它們的使用范圍，即對方程中的參數(shù)要分類討論 ． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 歸納總結(jié) ② 解方程 ( 組 ) 求 出參數(shù)用待定系數(shù)法求直線方程時，要考慮特殊情況，以防漏解．有以下幾種情況： ( i ) 設(shè)直線方程是 y ＝ kx ＋ b 或 y － y0