[理學(xué)]七、多元函數(shù)積分學(xué)-全文預(yù)覽
【正文】 滑曲面圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 （外側(cè)） 其中為在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。 類似地，曲面的方程表示為，則 曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)，如果曲面的方程表示為，則 曲面指定一側(cè)的法向量與軸成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)。如果對(duì)任意分割和任意取點(diǎn)，下列極限皆存在且相等 則稱這極限值為在曲面上的第一類曲面積分，也稱對(duì)面積的曲面積分，記以 2．基本計(jì)算公式 設(shè)曲面的方程，在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 ， ① ， ② 比較①、②兩式的右端，得③④ 由③得 ，將代入④得 ， 所以，從而 （三）、應(yīng)用 例．在變力的作用下一質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線到橢球面上第一卦限的點(diǎn)問(wèn)取何值時(shí)，作功最大，并求。 （I）證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有 ； （II）求函數(shù)的表達(dá)式。 解：曲線是圓柱面和平面的交線，是一個(gè)橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）最簡(jiǎn)單可取，根據(jù)題意規(guī)定的定向，則從變到，于是 （二）、用格林公式等性質(zhì)來(lái)計(jì)算曲線積分 例1．求，其中，為正的常數(shù)，為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧 解一：用格林公式，但不是封閉曲線，故補(bǔ)上一段，它為從沿到的有向直線。 3．成立。 定理1．（單連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域由一條逐段光滑閉曲線所圍成的單連通區(qū)域。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個(gè)負(fù)號(hào)，而第一類曲線積分的值與定向無(wú)關(guān)，故曲線不考慮定向。 （這里又表示第段曲線的弧長(zhǎng)，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分，也稱為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，也記以 2．參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程， 則 （假設(shè)和，皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。 3．球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 然后再根據(jù)把三重積分化為關(guān)于的累次積分。 2．基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊 （4）若，則 （5）若，則 其中V為區(qū)域的體積 （6） （7）積分中值定理 設(shè)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的體積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 167。 例7．計(jì)算其中由和所圍區(qū)域。 2．空間曲面的面積 其中為曲面在平面上投影，曲面的方程B 典型例題（一）．直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1．計(jì)算，其中是由曲線，所圍區(qū)域。 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型或模型把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關(guān)于的要求，又不符合模型中關(guān)于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型或模型中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。 定理2．設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的右半平面部分。 當(dāng)封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為 3．基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊。七、 多元函數(shù)積分學(xué)167。 2．幾何意義 當(dāng)為閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且，則二重積分表示以曲面為頂，側(cè)面以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。 4．對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 定理1．設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，
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