[工學(xué)]第5章定性和穩(wěn)定性理論簡介-全文預(yù)覽
【正文】 也是()的解.事實上,我們有恒等式 由這個事實可以推出:將()的積分曲線沿軸作任意平移后,仍然是(),自治系統(tǒng)()的一條軌線對應(yīng)著無窮多個解.性質(zhì) 2 軌線的唯一性如果滿足初值解的存在與唯一性定理條件,則過相平面上的區(qū)域的任一點,()存在一條且唯一一條軌線.事實上,(它們有可能屬于同一條積分曲線),使得它們在相空間中的投影分別是和(見圖54,這是不妨設(shè)).現(xiàn)在把所在的積分曲線沿軸向右平移,則由性質(zhì) 1知道,平移后得到的仍是系統(tǒng)()的積分曲線,利用解的唯一性, 與應(yīng)完全重合, 與在相空間顯然也有相同的投影,這蘊含和在相平面中的點附近有相同的投影,而這與上面的假設(shè)矛盾. 圖 54性質(zhì) 1和性質(zhì)2說明,相平面上每條軌線都是沿軸可平移重合的一族積分曲線的投影,而且只是這族積分曲線的投影.此外,由性質(zhì)1同樣還可知道,系統(tǒng)()的解的一個平移仍是()的解,并且它們滿足同樣的初值條件,從而由解的唯一性知 因此,在()的解族中我們只須考慮相應(yīng)于初始時刻的解,并簡記為 , *性質(zhì) 3 群的性質(zhì)系統(tǒng)()的解滿足關(guān)系式 ()其幾何意義是:在相平面上,如果從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間到達(dá)點,再經(jīng)過時間到達(dá)點,那么從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間也到達(dá)點.事實上,由平移不變性(性質(zhì) 1), 是系統(tǒng)()的解,().對于固定的,定義平面到自身的變換如下: .: 令 .由(),而且滿足結(jié)合律,其單位元為,()(). 常點、奇點與閉軌現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)(), (),:(1) 若對一切有 , , 則稱為()(或平衡點).顯然是()的一個奇點的充分必要條件是 (2) 若存在,使得對一切有 則稱為()的一個周期解,稱為閉軌.由以上討論和()軌線的唯一性,我們有如下結(jié)論:自治系統(tǒng)()的一條軌線只可能是下列三種類型之一:(1) 奇點, (2) 閉軌, (3) 自不相交的非閉軌線.平面定性理論的研究目標(biāo)就是:在不求解的情況下,僅從()右端函數(shù)的性質(zhì)出發(fā),在相平面上描繪出其軌線的分布圖,?現(xiàn)在我們從運動的觀點給出()的另一種幾何解釋:如果把()看成描述平面上一個運動質(zhì)點的運動方程,那么()在相平面上每一點確定了一個速度向量 ()因而,()()的軌線就是相平面上一條與向量場(): 積分曲線可以不考慮方向,而軌線是一條有向曲線,通常用箭頭在軌線上標(biāo)明對應(yīng)于時間增大時的運動方向.進(jìn)一步,在方程()中消去,得到方程 ()由()易見,經(jīng)過相平面上每一個常點只有唯一軌線,而且可以證明: ,只有在奇點處,向量場的方向不確定.因此,在平面定性理論中,通常從奇點入手,再弄清()是否存在閉軌,因為一條閉軌線可以把平面分成其內(nèi)部和外部,再由軌線的唯一性,對應(yīng)內(nèi)部的軌線不能走到外部,.習(xí)題 通過求解,畫出下列各方程的相圖,并確定奇點的穩(wěn)定性:(1) (2) (3) (4) 平面定性理論簡介函數(shù)在平面上為變號函數(shù)。第二方法是在不求方程解的情況下,借助一個所謂的李雅普諾夫函數(shù) 和通過微分方程所計算出來的導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì),就能直接推斷出解的穩(wěn)定性,.為了便于理解,我們只考慮自治系統(tǒng) , ()假設(shè)在上連續(xù),滿足局部利普希茨條件,且.為介紹李雅普諾夫基本定理,先引入李雅普諾夫函數(shù)概念. 若函數(shù)滿足,和都連續(xù),且若存在,使在上,則稱是常正(負(fù))的。 ()由A的所有特征根都具負(fù)實部知 然而，由于所以該系統(tǒng)的零解不是漸近穩(wěn)定的.例2 考察系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性.解 在上，取初值為的解為：其中對任一，取，則當(dāng)時，有故該系的零解是穩(wěn)定的.又因為可見該系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的.()對所有的成立，則稱(). 若()的零解是穩(wěn)定的，且存在δ10, 使當(dāng)時有則稱()的零解是漸近穩(wěn)定的.例1 考察系統(tǒng) 的零解的穩(wěn)定性. 解 對于一切，方程組滿足初始條件,的解為對任一，取，則當(dāng)時，有故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的. 第5章 定性和穩(wěn)定性理論簡介 在19世紀(jì)中葉,通過劉維爾的工作,那么是否可以不求微分方程的解,而是從微分方程本身來推斷其解的性質(zhì)呢?(Poincar233。如果所考慮的解的存在區(qū)間是有限閉區(qū)間，那么這是解對初值的連續(xù)依賴性，那么解對初值不一定有連續(xù)
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