black-scholes期權(quán)定價(jià)模型-全文預(yù)覽
【正文】 量 —— 風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。 ? 歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022/8/21 22 股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格服從的隨機(jī)過(guò)程 22221( ) ( 22d S S d t S d zf f f fd f S S d t S d zS t S S??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?股票價(jià)格: （1 ）期權(quán)價(jià)格： ）2022/8/21 23 BlackScholes微分方程 ? 推導(dǎo)過(guò)程 ? 根據(jù)（ 1）和（ 2），在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里 S和 f的變化值分別為 ? 為了消除 ，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。 ? 一般來(lái)說(shuō)，時(shí)間越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱(chēng)這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 ? 在任意時(shí)間長(zhǎng)度 T之后， G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為 ，方差為 。 00TSSSSS?? 或0ln lnTSS?2022/8/21 12 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析 ? 在很短的時(shí)間 Δ t后， 證券價(jià)格比率的變化值 為： ? 可見(jiàn)，在短時(shí)間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征 ? 其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 。 ? 如果用對(duì)數(shù)收益率表示，兩個(gè)相互的匯率收益率絕對(duì)值正好相等而符號(hào)相反；可以滿(mǎn)足同時(shí)服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計(jì)算。 ? 多期收益率問(wèn)題： ? 即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積， n個(gè)正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 ? 幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來(lái)源于維納過(guò)程 dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說(shuō)。 一般 μ和 σ 的單位都是年。這就是伊藤過(guò)程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著 x的期望漂移率是每單位時(shí)間為 a。 ? 相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)? ? 連續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： ? 當(dāng) Δ t ?0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 1( ) (0 ) N iiz T z t??? ? ??Ttz t z??? ? ? ? ? ?而非年d z d t??2022/8/21 7 普通布朗運(yùn)動(dòng) ? 變量 x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)： ? 其中， a和 b均為常數(shù)， z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。2022/8/21 6 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)） ? 考察變量 z在一段較長(zhǎng)時(shí)間 T中的變化情形： ? z（ T）－ z(0)表示變量 z在 T中的變化量 ? 又可被看作是在 N個(gè)長(zhǎng)度為 Δ t的小時(shí)間間隔中 z的變化總量，其中N=T/ Δ t 。 ? 特征的理解 ? 特征 1： ? 特征 2: 馬爾可夫過(guò)程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 2022/8/21 4 隨機(jī)過(guò)程 ? 隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。 2022/8/21 3 為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程 ? ? 期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于 證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的 Ito引理可以從股票價(jià)格的 Ito過(guò)程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程。2022/8/21 1 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型 2022/8/21 2 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路 ? 期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來(lái)源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。 ? 金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用 Ito過(guò)程來(lái)描述。 ? 求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。 ? 研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。 ? 特征 2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 Δ t ， Δ z的值相互獨(dú)立。z N t t? ? ?方差為 。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。 ? 這個(gè)過(guò)程指出變量 x關(guān)于時(shí)間和 dz的動(dòng)態(tài)過(guò)程。 ? 可以發(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后， x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,方差為 b2T. d x a d t b d z??b T2022/8/21 8 Ito過(guò)程和 Ito引理 ? 伊藤過(guò)程（ Ito Process）： ? 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時(shí)間 t的函數(shù)，我們就得到 其中， z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2都隨時(shí)間變化。 ? 基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過(guò)程： ? 其中， S表示證券價(jià)格， μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱(chēng)預(yù)期收益率）， σ 2 表示證券收益率單位時(shí)間的方差， σ 表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱(chēng)證券價(jià)格的波動(dòng)率（ Volatility）， z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 ? 馬爾可夫過(guò)程：只有變量的當(dāng)前值才與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變
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