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【正文】 給定 x ∈ X 及 x 處的一個可數(shù)鄰域基 .1) . 試構造出 x 處的一個遞減可數(shù)鄰域基.2 ). 任取, 試證: .14 . 試給出度量空間 (X, d) 在 x ∈ X 處的一個可數(shù)鄰域基.15 . 試給出 R 的一個可數(shù)基.。Lindel246。 當 A 是有限族時, 稱 A 是 B 的__________ 。ff 子空間, 則 A ∩ d(A) ≠?. ( )1 . Rn 的子空間 _____________是A2 空間.2 . A2 空間_____________ 是 A1 空間.3 . A2 空間________________ 是可分的.4 . 可分的度量空間__________ 是 A2 空間.5 . A2 空間的子空間____________ 可分6 . 可分度量空間的子空間____________ 可分.(以上選填: 一定, 未必) X 是拓撲空間, D ? X, 若 D? = X, 則稱 D 是 X 的______________ 子集。4 . Y 不是局部連通空間.本題說明局部連通性不是在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).5.(書 Page 147 第 5 題). 設 X 是拓撲空間, 若? x ∈ X, ? U ∈ Ux, ? 道路連通V ∈ Ux, . x ∈ V ? U,則稱 X 是一局部道路連通空間. 再設 Y ? X, 若 Y 在相對拓撲下是局部道路連通的, 則稱 Y 是 X 的局部道路連通子集.1 . 局部道路連通空間是局部連通空間.2 . 局部道路連通性是在開的連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì).3 . 局部道路連通性是有限可積性質(zhì).4 . 設 O 是局部道路連通空間 X 的開集, 則O 是X 的連通子集 ? O 是X 的道路連通子集.第5 章 有關可數(shù)性的公理 (X, ρ) 是度量空間, D 是 X 的一個可數(shù)稠密子集, 則 {B(d, r)。 R 的閉子空間 Q 不連通. X 是一拓撲空間, A, B 在 X 中隔離,A1 ? A, B1 ? B, 試證: A1, B1 在 X 中隔離. X 是一拓撲空間, x, y ∈ X 是連通的, E是 X 的一個既開又閉的子集, 試證: x, y ∈ E 或者 x, y E. X, Y 是拓撲空間, f : X → Y 連續(xù),f(X) ? Z ? Y , 試證:f? : X → Z x → f(x)也連續(xù).注記. 本題在書上第 140 頁證明定理 . R 的兩個子空間X = {0, 1, 2, 3, = S ∪ {0} [?1, 1]. 按照如下結論:X 為拓撲空間, Y 為X 的連通子集, Y ? Z ? Y , 175。 {代數(shù)數(shù)} 作為 R 的子空間是_____________ 的。 ?B)C. ?(A B) = ?A ?BD. (A B)o = Ao Bo (X, T ) 為拓撲空間, f : X → Y , 則 Y 上的商拓撲是使得 f 連續(xù)的 ( ) 的拓撲.A. 最小 B. 最大 C. 既不是最大也不是最小 D. 以上都不對 ( ), 平庸空間的商空間一定是 ( ).A. 離散空間B. 平庸空間C. 既不是離散空間, 也不是平庸空間D. 以上都不對 [0, 1] 是實數(shù)空間 R 的子空間, 則 (0, 1/2]是 [0, 1] 中的開集. ( ) [0, 1) 是實數(shù)空間 R 的子空間, 則 [0, 1/2)是 [0, 1) 中的開集. ( ) [0, 1) 是實數(shù)下限拓撲空間 Rl 的子空間,則 [1/2, 1) 是 [0, 1) 中的開集. ( ). ( ). ( ). ( ) X, Y 是兩個拓撲空間, f : X → Y 是商映射, 則 f 是滿射. ( )15. 設 X, Y 是兩個拓撲空間, f : X → Y 是單射, 且是商映射則 f 是同胚. ( ) Y 是拓撲空間 X 的一個開 (閉) 子集, 則Y 作為 X 的子空間時稱為 X 的開 (閉) :1. 如果 Y 是拓撲空間 X 的一個開子空間, 則A ? Y 是 Y 中的開集 ? A 是 X 中的開集.2. 如果 Y 是拓撲空間 X 的一個閉子空間,
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