【正文】 幾個含有非零的元素的行 . 這樣， 問題（乙）也就容易解決 . 線性方程組可解的判別法 A 表示方程組（ 1）的增廣矩陣： 證 ???????????????mmnmmnnbaaabaaabaaaA????????21222221111211定理 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（ 1）有解的充分且必要條件是： 它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩 . ???????????????????????????mrrrnrrnrnrdddccdccdccB000010001000111,221,2111,1????????????????????????????????A那么 的前 n 列作成的矩陣 A 就是（ 1）的系數(shù)矩陣 . 利用定理 化為 A并且用 B表示 的前 n列作成的矩陣 . 那么由定理 得： BBArBA 秩秩秩秩 ??? ,（ 4） 故定理得證 . 01 ???? mr dd ?rB ? AA 秩秩 ?現(xiàn)在設(shè)線性方程組（ 1）有解 . 那么或者 r = m，或者r m ，而 ，這兩種情形都有秩 .于是由（ 4）得， . AA 秩秩 ?01 ???? mr dd ?反過來，設(shè) ，那么由（ 4）得，的秩也是 r ，由此得，或者 r = m ，或者 r m 而 ，因而方程組（ 1）有解 . 定理 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那么當(dāng) r 等于方程組所含的未知量的個數(shù) n時，方程組有唯一解；當(dāng) r n 時，方程組有無窮多解 . 線性方程組的公式解 齊次線性方程組及其非零解的概念 齊次線性方程組有非零解的條件 1)會用公式解法解線性方程組 2)掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件 齊次線性方程組有非零解的充要條件 線性方程組的公式解 線性方程組的公式解 例 1 考察線性方程組 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????????????????????????(1) .74,332,22321321321?????????xxxxxxxxx(2) 考慮線性方程組 321 , GGG我們把這三個方程依次用 來表示， 那么在這三個方程間有以下關(guān)系： .2 213 GGG ??這就是說，第三個方程是前兩個方程的結(jié)果。 A 定理 設(shè)方程組（ 1）有解，它的系數(shù)矩陣 A和增 廣矩陣 的共同秩是 0?r ，那么可以在（ 1）的 m 個方程中選出 r 個方程，使得剩下的 m –r 個方程中的 每一個都是這 r 個方程的結(jié)果，因而解方程組（ 1） 可以歸結(jié)為解由這 r個方程所組成的線性方程組。 這樣，矩陣 的左上角的 r階子 BB BA B01111??? Daaaarrrr?????式剛好是 子式 D 的轉(zhuǎn)置行列式，因而不等于零： A由于 也是矩陣 B的子式，所以矩陣 B和 的秩都至少是 r，另一方面，矩陣 的任一個 r +1階子式 都是 的某一個 r +1階子式的轉(zhuǎn)置行列式。 D?BB1?rDABBAA1?rD 假定方程組（ 1）滿足定理 ，于是由定理 ，解方程組（ 1），只需解方程組（ 3）。用克拉默規(guī)則解出 得 , 2211 DDxDDxDDx rr ??? ?(5) 這里 rrnrnrrrrrrnnrrrnnrrjaxaxabaaxaxabaaxaxabaD??????????????????????????????11,12211,22211111,1111把（ 5）中的行列式展開，（ 5）可以寫成 .,11,211,222111,111nrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx??????????????????????????????????(6) klk cd 和nrr xxx , 21 ???rxxx , 21 ?這里 都是可以由方程組（ 1）的系數(shù)和常數(shù)項表示的數(shù)。 例 2 已知線性方程組 的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都是 2，并且行列式 143433323213124243232221211414313212111bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa????????????(7) .023211311 ??aaaaD求解這個方程組的公式，并求出一個解。 齊次線性方程組及其非零解的概念 定義 若是一個線性方程組的常數(shù)項都等于零，那么 這個方程組叫做一個 齊次線性方程組 . 我們來看一個齊次線性方程組 .0,0,0221122221211212111???????????????????????nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???(8) 這個方程組永遠(yuǎn)有解：顯然 0,0,0 21 ??? nxxx ?就是方程組（ 8）的一個解，這個解叫做 零解 。 當(dāng) 時，方程組有無窮多解，因而它除零解 外，必然還有非零解。先看 m=1的情形，這時 .0,)( 010 ??? aaxaxf)(xf 的根是 01 / aa??? 。 容易看出，通過適當(dāng)對調(diào)行列式 D的行，可以得到 ),()1(),( fgRgfR mn??（ 3） 因此，如果 而 是 的全部根，那么由（ 1）可得（ 2）。以 乘第一行加到第三行，然后按第一列展開，得 00 ?a00ab?如果 ，同樣的計算也可以得到上面的等式。實際上， 5是這兩個多項式的公根。反過來，如果結(jié)式 有根 ，那么以 代替多項式 中的文字 y，我們得到 x 的多項式 ),(),( yxgyxf 與 ?? ?? yx ,? ),(),( yxgyxf 與),(),( ?? xgxf0)( ??? ? ),()( gfRy x??),( gfRx ?? ),(),( yxgyxf 與)()()(),( 110 ???? sss axaxaxf ???? ? ?101( , ) ( ) ( ) ( )tt tg x b x b x b? ? ? ??? ? ? ?的結(jié)式 ，因而由定理 ，或者 或者 有公根。以 代替 中的文字 y，所得的關(guān)于 x 的多項式的最高次項系數(shù)都不等于零，所以對于每一 ，都可以得出方程組（ 4）的解。乘積 )(, 21 xfCn 是?? ???? ?叫做多項式 的判別式（這里 Π表示求積的符號）。 baxxf ??? 2)(先求出 解 : 。 )(xf由定理 ，多項式 有重根必要且只要 與它的導(dǎo)數(shù) 有公根，因為 ，所以由定理 ， 有重根必要且只要 與 的結(jié)式 ，由此可見， 的判別式與結(jié)式 之間有密切的關(guān)系，下面我們將導(dǎo)出這個關(guān)系，根據(jù)定理 ，公式（ 1），我們有 )(xf)(xf )(xf? 00 ?a)(xf )(xf )(xf?0),( ??ffR )(xf( , )R f f ?).()()(),( 2110 nn fffaffR ??? ????? ? ?)())(()( 210 nxxxaxf ??? ???? ????? ??????ninii xxxxaxf11110 ).())(()()( ???? ??在 C[x]里， 求導(dǎo)數(shù)，我們有 所以 ).())(()()( 1110 niiiiiii aaaaaaf ???? ?????? ?? ??這樣， ).()()(),( 2110 nn fffaffR ??? ????? ? ?)())(( 13121120 nn aaaa ??? ???? ? ?)())(( 23212 naaa ??? ???? ?)())(( 121 ????? nnnn aaa ??? ? ……………………………… 在這個乘積里，對于任意 i 和 j（ ij） 都出現(xiàn)兩個因式： 和 ，它們的乘積等于 ，由于滿足條件 的指標(biāo) i 和 j 一共有 對，所以 ji ?? ? ij ?? ? 2)( ji ?? ??1??? jin 2 )1( ?nnDaaffRnnnnjinjin0121202)1(2)1()1()()1(),(???????? ????? ??D是多項式 的判別式 )(xf 從表示 的行列式的第一列顯然可以提出因子 ，因此多項式 的判別式 D可以表成由系數(shù) 所組成的一個行列式，因而是 的多項式。 nnn axaxaxf ???? ? ?110)(； 最后，我們介紹一下多項式的判別式的概念，并且指出判別式與結(jié)式之間的關(guān)系。 例 2 求方程組 ?????