【正文】 有良好的隨機統(tǒng)計特性 [12]；③ 要有很高的線性復(fù)雜度，亦即當(dāng)某一部分暴露時，無法推出它的整體結(jié)構(gòu)；④ 密鑰系列易于高速生成。稱但通常通過確定的算法產(chǎn)生的密鑰流序列是偽隨機序列，并非完全隨機，此時的密碼系統(tǒng)就不再完全保密了，因此為了保證密碼系統(tǒng)的安全性，密鑰流序列必須滿足一定的要求 [12]。通信系統(tǒng)的模型如圖 41 所示。序列密碼體制的安全性取決于密鑰流，而密鑰流序列由密鑰流生成器產(chǎn)生，常見的密鑰流生成器有前饋序列生成器、非線性反饋位移寄存器、非線性組合序列生成器和鐘控序列生成器等 [1]。擴散() 0k準(zhǔn)則記為 ， 次擴散準(zhǔn)則記為 ,滿足相應(yīng)準(zhǔn)則的函數(shù)稱為 函數(shù)和PC()PCPC函數(shù) [12]。 擴散準(zhǔn)則定義 若對任意 且 ，總有 是平衡函數(shù)，即2naF?0?())fxa?，則稱 關(guān)于 滿足擴散準(zhǔn)則。如果固定任意 個變元后得到的全部 元函數(shù)()fx knk?都滿足嚴格雪崩準(zhǔn)則，則稱 滿足 階嚴格雪崩準(zhǔn)則 [12]。()fx顯然，如果 是對稱函數(shù)，那么任意交換其分量的位置， 不變，也()f ()fx就是 ，不妨設(shè) ， 。布爾函數(shù)的很多性質(zhì)，例如擴散準(zhǔn)則、雪崩準(zhǔn)則和相關(guān)免疫天津科技大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文13準(zhǔn)則等都可以用平衡性來定義，平衡性也是密碼函數(shù)的設(shè)計準(zhǔn)則之一。其中對任意一組 ，有()fxm1,.miix成立。記其中的常數(shù)為 ，則線性結(jié)構(gòu)表示為b, 。lim(x)1q???()f對任意 元布爾函數(shù) ，當(dāng)其非線性度 時，n 1/2nf?， ，顯然布爾函數(shù)滿足高非線性度，此時，我們稱/2?li(x)1q???為 Bent 函數(shù)。xfn][xLn則稱 （331 ）][mixLln?),(lfd][ixLln??)(lfw?為 的非線性度，記為 ，即 的非線性度為其與所有線性函數(shù)的最短)(xf fN天津科技大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文12距離，很明顯線性函數(shù)非線性度為 [10]。)(xf )(xf 布爾函數(shù)的非線性性顧名思義，非線性性和線性性是相對的。)(xf容易看出，若 與變元無關(guān)，則必然退化，退化性是與變元無關(guān)性的推)(f廣 [12]。r20?r2?1?r若 ，則稱 為 的線性結(jié)構(gòu)維數(shù)，此時有如下兩種情況：??q)(xf① ；1||?E② ，即 為空集。若 ，稱 為 的nFx2?)((fa 0)(??xf a()fx不變線性結(jié)構(gòu)。)(xf定理 與 的關(guān)系如下：)(f )(f （315 ）)(wSf???????0),(21xSf Walsh 變換的性質(zhì)Walsh 變換有如下性質(zhì)：性質(zhì) 1（平穩(wěn)性） 若 在 的譜值為 ，則 在 的譜值為)(xf )(Sf )(axf?w （316 ）,(waQf性質(zhì) 2（線性姓） 若 在 的譜值為 ， 若 在 的譜值為 ，)(xf )(f )(xg)(Sg則 在 的譜值為)(xbgaf?w （317 ）)()(wbSagf?性質(zhì) 3（Plancheral 公式） （318 ）)(2)0(120 fxnfwfn ?????此性質(zhì)又稱為初值定理。顯然，對給定的 ， ，有xw)(xQ?。 布爾函數(shù)的 Walsh 變換及其性質(zhì) 兩種 Walsh 變換在 節(jié)中已經(jīng)介紹過布爾函數(shù)的 Walsh 譜表示和 Walsh 變換對研究布爾函數(shù)的重要性。以上研究方法因為其特點不同，適用于不同的研究場景和領(lǐng)域。從代數(shù)的角度，分析布爾函數(shù)主要采用多項式表示和小項表示。)(xf fC由于布爾函數(shù)的特征矩陣具有唯一性，因而可以將布爾函數(shù)的某些問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題加以研究。)(wSf nF2?)(f天津科技大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文7因為 Walsh 變換可逆，因而布爾函數(shù)的 Walsh 譜唯一。 的代數(shù)次數(shù)記為 ，它是具有xf )(fde非零系數(shù)的最高階項的變量的個數(shù)。12?n)(xf 小項表示 對任意給定的 ， ，約定iic?2F，?1ii0于是 ????時， 當(dāng) 時， 當(dāng) iici cxx0設(shè)，),.(1nc?),.(1n?則有天津科技大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文6 （222 ）?????nncx.).(,011當(dāng)當(dāng)為簡便，今后亦記 于是 （223 ）?)(xf??120)(nicxf稱為 的小項表示 [10]。2x21x?1?11x? 布爾函數(shù)的表示為方便布爾函數(shù)的研究和應(yīng)用，不同情況下將采用不同的表達方式。自然地，我們將 上的函數(shù)稱作布爾函數(shù)。 布爾函數(shù)的基本知識 布爾函數(shù)的定義定義 [10] 設(shè) ， 是布爾代數(shù)中的任意數(shù)，則有1x2天津科技大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文51x?2?12,0x???當(dāng) 同 時 為 時其 他1?212,0當(dāng) 同 時 為 時其 他若用“ ”、 “ ”表示 上的加、乘運算；1,0 看做 上的元素，則有??F2F1x?2?1?2x?因此布爾代數(shù)中的運算可用 上的函數(shù)來表示。若我們能產(chǎn)生某種隨機序列（密鑰流） ，其由密鑰來確定，那么用這樣的序列則可進行加密，也就是將密鑰、明文表示成二進制，對應(yīng)地進行加密,加解密時一次性處理明文中的若干個比特。 分組密碼分組密碼則是將明文消息序列 12,.,.km分成等長的消息組（ ） ，,.n12(,.),.nn?在密鑰控制下按固定的算法 一組組進行加密。如果公鑰系統(tǒng)被用于對稱密鑰加密，那么，由于攻擊者的密鑰已經(jīng)被用于加密，公鑰系統(tǒng)將成為攻擊者，而不是獲得的對稱密鑰的預(yù)期收件人。這個可能是由通過從公鑰計算密鑰或通過取得其存儲和/或使用該密鑰的設(shè)備來實現(xiàn)的（該計算攻擊可以通過使用合適的密鑰，或者指望攻天津科技大學(xué) 2022 屆本科生畢業(yè)論文4擊者完成必要的計算后覺得不可行而主動放棄。其缺點就是保密程度相對較差，而現(xiàn)實中我們就要在他們之間找到一個平衡點，既保證一定的速度，又保證信息盡可能不泄露，所以，現(xiàn)實中通常是兩種體制交叉并相互運用，即使用公鑰密碼體制來生成和交換密鑰，而使用私鑰密碼體制來傳輸大量數(shù)據(jù)。因為它有兩個不同的密鑰（公開的密鑰和秘密的密鑰） ，彼此之間很難推出對方，而且加密變換和解密變換之間可以相互交換，所以我們也稱公鑰密碼體制為雙鑰密碼體制。目前主要有以下兩種方法：一是把具有良好隨機性統(tǒng)計特征的偽隨機序列作為密鑰序列，二是分組加密算法。這個簡單的事實已經(jīng)對現(xiàn)代密碼學(xué)產(chǎn)生了巨大影響，并導(dǎo)致其被自然劃分成兩種類型的密碼系統(tǒng)——公鑰系統(tǒng)和私鑰系統(tǒng)，這也是我們下一節(jié)將要介紹的內(nèi)容。)(Ek為了使收件人可以從密文得到消息，必須有一個算法，該算法中，解密密鑰 將密文再現(xiàn)為明文，如圖 21： )(D圖 1 圖 21 算法原理即使未授權(quán)者知道解密算法，未授權(quán)者也不知道解密密鑰，正是缺乏解密密鑰防止他們知道明文的信息，所以密碼編碼學(xué)是設(shè)計密碼系統(tǒng)和密碼分析的科學(xué)，而密碼分析學(xué)是從不知道密鑰的密文推斷明文的過程的一個名稱，密碼學(xué)是密碼編碼學(xué)和密碼分析學(xué)的總稱。待隱藏的信息被稱為明文（或只是消息） ，此隱藏過程被稱為編碼或加密的操作。⑤ 主要介紹布爾函數(shù)在分組密碼中的應(yīng)用，如 DES 算法和 S 盒。在此背景下，Meier, Pasalic 和 Carlet 對代數(shù)免疫提出了一種新概念 [7]：具有代數(shù)免疫性的布爾函數(shù)對抵制代數(shù)攻擊具有較高的免疫性。嚴格雪崩準(zhǔn)則首先是由 Webster 和 Tavares 在 1986 年提出的，這一準(zhǔn)則對S 盒的研究有重要意義。這就是 bent 函數(shù)，具有高非線性，這對于抵抗線性攻擊和最佳放n射攻擊具有很好的作用。 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀綜述人們從幾千年前就開始運用密碼技術(shù)了，而當(dāng) Shannon 在1949年發(fā)表“保密通訊信息理論”一文之后，密碼學(xué)才算成為一門科學(xué)。而對現(xiàn)代分組密碼體制中的起決定作用的S 盒的研究亦可歸為多輸出布爾函數(shù)的研究，而且現(xiàn)在已經(jīng)將S盒的應(yīng)用推廣到了序列密碼體制中，由此可見對密碼體制某種程度歸結(jié)為布爾函數(shù)的研究 [3]。此外，他們還需要確保他們知道發(fā)送者的身份。 Walsh spectrum目 錄1 前言 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1 背景和意義 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀綜述 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????1 本文研究的主要內(nèi)容 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????22 基本理論知識 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3 密碼學(xué)基本概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3 布爾函數(shù)的基本知識 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????5 布爾函數(shù)的研究方法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????83 布爾函數(shù)的密碼學(xué)性質(zhì) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????10 布爾函數(shù)的 Walsh 變換及其性質(zhì) ?????????????????????????????????????????????????10 布爾函數(shù)的線性性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????11 布爾函數(shù)的非線性性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????12 相關(guān)免疫性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????13 布爾函數(shù)的平衡性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????13 布爾函數(shù)的對稱性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????14 嚴格雪崩準(zhǔn)則 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14 擴散準(zhǔn)則 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????144 序列密碼與布爾函數(shù) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????15 序列密碼概述 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15 密鑰流生成器 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????16 位移寄存器 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????16 序列密碼中布爾函數(shù)的設(shè)計準(zhǔn)則 ?????????????????????????????????????????????????195 分組密碼與布爾函數(shù) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????21 分組密碼概述 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????21 DES 算法 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????23 分組密碼中布爾函數(shù)的設(shè)計準(zhǔn)則 ??????????????????????