立體幾何中的向量方法-求空間角-全文預(yù)覽
【正文】 ?易 知 面 的 法 向 量設(shè)平面 2 ( , , ) ,S C D n x y z?的 法 向 量 22 ,n C D n S D??由 得 ：0202yxyz??????? ????22yxyz????? ?? ???1212126c o s ,3| || |nnnnnn? ? ? ? ?63即 所 求 二 面 角 得 余 弦 值 是)1,2,1(1,21 2 ????? nzyx 時(shí)，當(dāng)由圖可知，二面角的平面角為銳角 如圖 ,PA ⊥ 平面 A BC , AC ⊥ B C ,P A =A C =1 , BC = 2 , 求二面角 A PB C 的 余弦值 . zxy變式 3: 解 : 建立坐標(biāo)系如圖 , 則 A( 0 ,0 ,0 ) ,B ( 2 , 1 ,0 ) ,C (0 , 1, 0) , P( 0 ,0 ,1 ), . 如圖 , PA ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , PA = AC =1 , BC = 2 , 求二面角 A PB C 的 余弦值 . zxyAP = ( 0 , 0 , 1) , ( 2 , 1 , 0 ) ,AB ? ( 2 , 0 , 0 ) ,CB ? ( 0 , 1 , 1 )CP ?? , ∴ ( , , ) ( 0, 0, 1 ) 0( , , ) ( 2 , 1 , 0 ) 0x y zx y z?????????∴ 20yxz? ???????, 令 x =1 , 則 m =( 1 , 2 , 0 )? , 設(shè)平面 PAB 的法向量為 m = ( x , y , z ), 則 00m A Pm A B? ???????? 設(shè)平面 P BC 的法向量為 ( , , )n x y z? ? ?? , ( , , ) ( 2 , 0 , 0 ) 0( , , ) ( 0 , 1 , 1 ) 0x y zx y z? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???∴ 0xyz? ???????令 1,y ? ?? ( 0 , 1 , 1 )n ? ? ? ∴ cos 3,| | | | 3mnmn mn ?? ? ? ?, ∵ 二面角為銳角 ∴ 二面角 A PB C 的 余弦值為 33 則 00n C Bn C P? ???????? 練習(xí) 4: 正三棱柱
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