【正文】 A2：以 ＄ 500萬的凈收益；以 獲取＄ 100萬的凈收益；以 ＄ 0 又有另外兩個(gè)備選方案 B1， B2，其收益情況為： B1：以 ＄ 500萬凈收益；以 ＄ 0 B2：以 ＄ 100萬凈收益；以 取＄ 0 三 、期望效用準(zhǔn)則的矛盾 如果面臨這樣的雙重選擇，且你選擇了 A1和 B1，你的偏好就和期望效用理論不一致。 用它來判斷有風(fēng)險(xiǎn)的利益就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”（“而不是錢的數(shù)學(xué)期望”）。 獨(dú)立性公理表明決策者對(duì)各種結(jié)果的選擇是獨(dú)立進(jìn)行的，以及不同的結(jié)果是可加的?？紤]如下計(jì)劃方案： C1：天晴在海灘玩 4個(gè)小時(shí)，下雨就看 4個(gè)小時(shí)電視 C2：天晴在海灘玩 2個(gè)小時(shí)然后再看 2個(gè)小時(shí)電視，下雨就看 4個(gè)小時(shí)電視 假設(shè)參與者的偏好為 21 CC ?二 、 VNM期望效用函數(shù) 二 、 VNM期 望效用函數(shù) 現(xiàn)在提供另外兩個(gè)選擇： C3：天晴在海灘玩 4個(gè)小時(shí)，下雨工作 4個(gè)小時(shí) C4：天晴在海灘玩 2個(gè)小時(shí)然后再看 2個(gè)小時(shí)電視，下雨就工作 4個(gè)小時(shí) 此時(shí)，參與者會(huì)在 C3和 C4中選擇哪一個(gè)？ 獨(dú)立性公理表明，參與者會(huì)選擇 C3。 通常假定偏好關(guān)系是理性的，即偏好關(guān)系滿足以下的公理假定： ? 公理 1 偏好具有 完備性 : ， ，有 與 至少一個(gè)成立。 )()(.. .)()(111 iniinn CupCupCupLu ??????三、 VNM期望效用函數(shù) RCu ?: RCu ?:? 更一般地，我們可以表述為： 其中， 是一個(gè)隨機(jī)變量。,(111 ?? ???NiiKiiKK aaLLaa ??KkppL kNkik ?? ),( ?1?? k kaka三、 VNM期望效用函數(shù) 定義： 一個(gè) 復(fù)合抽獎(jiǎng)是把 K個(gè)簡單抽獎(jiǎng)中每一個(gè)結(jié)果 i的概率 都乘以每一個(gè)簡單抽獎(jiǎng) k的概率，然后將它們加總起來。我們用N=1， … ， n來標(biāo)示這些結(jié)果，每一結(jié)果發(fā)生的概率為 。 金融分析的不確定性就包括兩個(gè)方面：一是結(jié)果的不確定性；二是達(dá)到各類結(jié)果的概率。 11[ ( ) ] l o g 22xxE u x a???二 、 VNM期望效用函數(shù) 因此，理性個(gè)人為參加該抽獎(jiǎng)活動(dòng)所愿意支付的最大價(jià)格 可以由下列方程解出： 變形得： 所以“理性決策應(yīng)以 4元為界”。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。問：應(yīng)先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？ ??????????? ? . ..221. ..241121( * ) 1nnE二 、 VNM期望效用函數(shù) 二 、 VNM期望效用函數(shù) 試驗(yàn)表明為了參加這一游戲，人們愿意付出的金額在23元之間。 二 、 VNM期望效用函數(shù) 不確定性下理性決策的原則 （ 1）數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則 數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是指使用投資收益的預(yù)期值比較各種投資方案優(yōu)劣。假定他掙得 2022元和掙得 1000元的概率各為 1/2。 —— 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)者理論和價(jià)值理論使用這一準(zhǔn)則。 消費(fèi)者的選擇問題可以寫成如下： 0,021?????? xUxU 0,0 222212?????? xUxU),(m a x 21,21xxUxxwxpxpts ?? 2211..一 、確定條件下的效用函數(shù) Lagrangian函數(shù)為： . 由假定， U的二階偏導(dǎo)小于零，因此一階條件是充要條件。 強(qiáng)單調(diào)性 ： ， 例如 ： 1 0 0 1 Time 0 1 Time ?yx? 多總比少好 Cyx ?? ,Cyx ?? ,yxyxyif x ?，則且 ??yx?一、確定條件下的效用函數(shù) 一 、確定條件下的效用函數(shù) ? 公理 6 偏好具有 凸性 （ convexity） 嚴(yán)格凸性 （ strict convexity） 其中， zyttxzyyif xCzyx ??? )1(, ????? 且zyttxyxzyyif xCzyx ??? )1(, ??????10 ?? t無差異曲線凸 向原點(diǎn) ? （ 四 ）確定條件下消費(fèi)者效用最大化 max(u), 其中 W是由收入或財(cái)富構(gòu)成的預(yù)算約束，包含收入和商品價(jià)格等方面的要素。 )(xu)()( yuxu ? )(xu一 、確定條件下的效用函數(shù) 衣 食 A B x 字典序偏好 一 、確定條件下的效用函數(shù) ? 公理 4 偏好具有 連續(xù)性 （ continuity） ： 如果 ，那么與 x“充分接近的”商品組合 z，也滿足 。這樣可以將有等價(jià)關(guān)系的東西放在一起，得到無差異曲線。 (1) 張三提出用蘋果換梨子，并要求李四找一分錢。 yx?一 、確定條件下的效用函數(shù) （ 2） 被稱為消費(fèi)者 “嚴(yán)格偏好于” x， 即 在任何情況下，消費(fèi)者認(rèn)為 x比 y好，即： ，但 不成立 （ 3） x ～ y 被稱為消費(fèi)者 “無差異于” 商品 x、 y， 即 消費(fèi)者認(rèn)為兩樣?xùn)|西同樣好，即： x ～ y 且 yx?yx? yx? xy ~yx? xy?一 、確定條件下的效用函數(shù) 偏好應(yīng)滿足的基本公理（ Axiom)條件： ? 公理 1 偏好具有 完備性 （ pleteness）： 有 、 與 x ～ y 至少一個(gè)成立。 偏好 正是消費(fèi)者對(duì)效用進(jìn)行自我比較后得出的關(guān)于各種消費(fèi)方案好壞的評(píng)價(jià) 。 對(duì)消費(fèi)集合 C為凸集的意思是，如果兩個(gè)消費(fèi)束