平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)(北京五中王琦)-全文預(yù)覽
【正文】 線向量ee2的線性運(yùn)算進(jìn)行表示，那么與之同向的向量也可以用ee2的線性運(yùn)算來表示，那么對猜想的驗(yàn)證就只剩下說明任意方向的向量都可以用ee2的線性運(yùn)算來表示了．預(yù)案：1． 學(xué)生可能想不到從數(shù)的角度進(jìn)行證明，這就需要教師進(jìn)行引導(dǎo)了；2． 從數(shù)的角度進(jìn)行說明的過程中，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)向量ma可以表示與向量a共線的任意向量，也就是說如果向量a可以用不共線向量ee2的線性運(yùn)算進(jìn)行表示，那么與之共線的向量就都以用ee2的線性運(yùn)算來表示，而不僅僅是與之同向的向量．如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，是非常值得肯定的，這可以使得下一環(huán)節(jié)的驗(yàn)證進(jìn)一步得到簡化．但數(shù)乘向量可以表示與原向量方向相反的向量這件事，學(xué)生在認(rèn)知上仍存在一定困難，為了分散難點(diǎn)，此處如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)，教師也不必提及．環(huán)節(jié)3 使向量a繞其起點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，隨著旋轉(zhuǎn)，向量a的分解方法會(huì)有什么不同嗎？都有哪些情況呢？請想好的學(xué)生在黑板上畫出代表不同情況的向量，對它們分別進(jìn)行研究，提煉一般方法，驗(yàn)證任意性．同時(shí)，利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，直觀確認(rèn)任意性．e1ae2Oa1a2a3a4設(shè)計(jì)意圖：1． 通過對幾種情況的區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識；通過對分類依據(jù)的交流，從分解出的向量與基底方向的關(guān)系，到線性運(yùn)算中系數(shù)的符號，為后續(xù)課程中建立坐標(biāo)系，劃分象限埋下伏筆；2． 通過對上圖中向量a1的分解方式與向量a分解方式的對比，將直接延長和反向延長有向線段的情況統(tǒng)一起來，提煉出相應(yīng)的平行四邊形的一般構(gòu)造方法：過向量a的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別作與ee2平行的直線，這四條直線圍成所需平行四邊形；3． 對向量a與ee2其中一個(gè)共線情況的討論，為后面分析平面向量基本定理與共線向量基本定理之間的聯(lián)系做鋪墊；4． 利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示使學(xué)生更加直觀地確定猜想中的“任意”．預(yù)案：1． 如果學(xué)生沒有理解老師的意圖，無從下手，教師可以使最初的向量a旋轉(zhuǎn)一個(gè)小角度，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時(shí)分解的方法與原方法一致，那么向量a繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，什么時(shí)候分解方式就不同了呢？從而使學(xué)生理解老師的意圖；2． 如果學(xué)生按照夾在兩給定向量所成的小于180176。的角內(nèi)和角外進(jìn)行分類，那么可以先請學(xué)生對畫出的向量進(jìn)行線性表示，并分析分解出的向量方向及線性表達(dá)式中系數(shù)的符號，從而從這個(gè)角度給出其余情況；3． 學(xué)生容易遺漏特殊情況，即與ee2其中一個(gè)共線的情況，可以由其他同學(xué)補(bǔ)充；4． 如果學(xué)生對向量aaa4不會(huì)分解，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶非零向量共線的定義，即同向或反向．活動(dòng)3 經(jīng)過上述活動(dòng)的探究，猜想得到了驗(yàn)證，試用符號語言總結(jié)得到的結(jié)論．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a存在實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對符號語言的表述有一定困難，但這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力的機(jī)會(huì)，需要教師幫助學(xué)生完善表述．(四) 完善定理，理解辨析問題3 我們定性地說明了滿足要求的實(shí)數(shù)λ1，λ2存在，那么到底存在多少組呢?設(shè)計(jì)意圖：1． 從定性研究到定量研究，使學(xué)生體會(huì)科學(xué)研究的一般思路；2． 對唯一性的論證，一方面從形的角度用作圖方法證明，貼近學(xué)生思維，培養(yǎng)論證表達(dá)能力，另一方面從數(shù)的角度用同一法、反證法證明，培養(yǎng)邏輯思維能力，同時(shí)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念；3． 理解當(dāng)基底選定后，平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對(λ1，λ2)一一對應(yīng)，為后面向量的坐標(biāo)表示做鋪墊． 預(yù)案：
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