【正文】 ???????????????????????????????myyymmnmmmmSSSaaaSSSSSSSSS??????? 2121212222111211 （ 17） 其中矩陣 mjiSS ij ,2,1,),( ??? 稱為協(xié)方差矩陣。( 210 aaax? [5]。求得 10,aa 后就可寫出具體的擬合函數(shù)表達式 [5]。 式（ 1）表示 y 隨著 x 的增加而線性增加或減少。 利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小 [13]。 論文的 主要結(jié)構(gòu)安排 論文的第二章詳細介紹最小二乘法的一些算法以及它們的推導(dǎo)過程；第三章利用 VC++實現(xiàn)線性和二次曲線擬合算法；第四章利用設(shè)計的程序解決了一些實際應(yīng)用問題；最后為結(jié)束語。開發(fā)人員能夠利用這些豐富的客戶端和服務(wù)器端框架輕松構(gòu)建以客戶為中心的 Web 應(yīng)用程序，這些應(yīng)用程序可以集成任何后端數(shù)據(jù)提供程序、在任何當前瀏覽器內(nèi)運行并完全訪問 ASP NET 應(yīng)用程序服務(wù)和 Microsoft 平臺。 VisualStudio 是目前最流行的 Windows 平臺應(yīng)用程序開發(fā)環(huán)境。還有允許用戶在調(diào)試期間重新編譯被修改的代碼，而不必重新啟動正在調(diào) 試的程序。 VC++整合了便利的出錯工具，特別是整合了微軟視窗式設(shè)計 （ Windows API） 、三維動畫 DirectX API，Microsoft .NET 框架 。測試碳酸鈉鐵含量的主要方法是鄰菲羅啉分光光度法，樣品溶液的吸光度隨鐵含量的不同呈線性變化。這一點由高斯在 1809 年發(fā)表的正態(tài)誤差理論加以補足。但是，在電子計算機出現(xiàn)以前，當參數(shù)個數(shù)較大時，計算任務(wù)很繁重 [8]。最小二乘法在 19 世紀初發(fā)明后，很快得到歐洲一些國家的天文和測地學(xué)工作者的廣泛使用 [7]。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。 勒讓德曾與高斯為誰最早創(chuàng)立最小二乘法原理發(fā)生爭執(zhí) [5]。 奧地利 天文學(xué)家海因里希 1801 年， 意大利 天文學(xué)家朱賽普它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。 關(guān)鍵詞 ： 最小二乘法；曲線擬合； Visual C++ Abstract II Abstract The least square method (also called the leastsquare method) is a kind of mathematical optimization technique, and it is a calculation method minimizing the error sum of squares to find the best function matching of the data, it has been widely applied in the field of surveying , urban road planning, physics, geological exploration , science , probability theory and statistics etc. In this paper, we study the least square method carefully, and use Visual C++ program to realize the least square method of the interface design, through the experiment data input, realize the output to the linear and secondary curve fitting, and use programs designed to achieve a number of practical problems solving and handling. Key words: The least square method。本文對最小二乘法 進行了深入細致的研究 ，利用 Visual C++編制程序 實現(xiàn)最小二乘法的界面化設(shè)計，通過實驗數(shù)據(jù)的輸入，實現(xiàn)線性和二次擬合曲線的輸出 ，并利用設(shè)計的程序?qū)崿F(xiàn)了一些實際問題的求解和處理。 III 目錄 目 錄 摘 要 ........................................................................................................................................... Ⅰ Abstract ....................................................................................................................................... Ⅱ 第一章 概述 ................................................................................................................................. Ⅲ 最小二乘法簡介 ........................................................... 1 VC++的介紹及其應(yīng)用 ...................................................... 2 論文的主要結(jié)構(gòu)安排 ....................................................... 3 第二章 基本理論 ......................................................................................................................... 4 線性擬合曲線 ............................................................. 4 二次擬合函數(shù) ............................................................. 5 多元線性擬合 ............................................................. 6 第三章 最小二乘法曲線擬合的 VC++實現(xiàn) .................................................................................. 9 程序?qū)崿F(xiàn)最小二乘法流程圖 ................................................. 9 界面設(shè)計 ................................................................ 10 主要函數(shù)類 .............................................................. 14 程序設(shè)計中的問題 ........................................................ 15 第四章 最小二乘法的應(yīng)用 ..................................................................................................... 16 測定銅絲的電阻溫度系數(shù) .................................................. 16 最小二乘法在道路中心線測量中應(yīng)用 ........................................ 19 最小二乘法在工業(yè)純堿中鐵含量測定中的應(yīng)用 ................................ 21 應(yīng)用效果分析 ............................................................ 23 結(jié)束語 ........................................................................................................................................... 24 參考文獻 ...................................................................................................................................... 25 最小二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應(yīng)用 1 第一章 概述 最小二乘法簡介 最小二乘法是法國大數(shù)學(xué)家 最先于 1805 年發(fā)表的，其動機是為處理一類從天文學(xué)和測地學(xué)中提出的數(shù)據(jù)分析問題。這時可采用最小二乘法先擬合出一個多項式，再根據(jù)此多項式求解任一自變量所對應(yīng)的因變量較精確的結(jié)果，據(jù)此繪圖可得到較精確、較合理的曲線 [4]。時年 24 歲的 高斯 也計算了谷神星的軌道。 法國科學(xué)家 勒讓德 于 1806 年獨立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”，但因不為世人所知而默默無聞。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。 最小二乘法作為函數(shù)逼近的一種重要方法，廣泛的應(yīng)用于物理學(xué)、測繪學(xué)、數(shù)值計算、大地測量學(xué) 等。高斯也注意了這個問題，給出了正則方程的命名并發(fā)展了解方程的消去法。勒讓德的工作沒有涉及最小二乘法的誤差分析問題。鐵含量是評價碳酸 最小二乘法原理， VC++實現(xiàn)及應(yīng)用 2 鈉質(zhì)量的一項重要指標，其含量大小直接影響碳酸鈉的使用效果。 VC++的介紹及其應(yīng)用 Microsoft Visual C++(簡稱 Visual C++、 MSVC、 VC++或 VC)微軟公司的 C++開發(fā)工具，具有集 成開發(fā)環(huán)境，可提供編輯 C 語言， C++及 C++/CLI 等編程語言。比如，它允許用戶進行遠程調(diào)試，單步執(zhí)行等。Visual Studio 是微軟公司推出的開發(fā)環(huán)境， Visual Studio 可以用來創(chuàng)建 Windows 平臺下的 Windows 應(yīng)用程序和網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用程序，也可以用來創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)服務(wù)、智能設(shè)備應(yīng)用程序和 Office插件。Visual Studio 2022 為開發(fā)人員提供了所有相關(guān)的工具和框架支持，幫助創(chuàng)建引人注目的、令人印象深刻并支持 AJAX 的 Web 應(yīng)用程序。如果真的想成為高手，做個筆記本把自己認為重要的類、函數(shù)記下來，隨時學(xué)習(xí)，也是很好的突擊方法。 最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，主要的思想是通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。(? （ 1） 其中 10,aa 為待定參數(shù)， e 為誤差。 令 ? ?? ??? ???? nini iixx xxnxxnS 1 1222 1)(1 ? ?? ? ???? ????? ni ni iiiixy yxyxnxxyynS 1 11))((1 則式 （ 5） 可寫成 ?????????????????????????xayaSSxxnxxyynaxxxyniiniii101211)(1)))((1( （ 6） xyS 稱為數(shù)據(jù) nixi ,2,1},{ ?? 的方差，開平方后的 xS 稱為標準差： xyS 為 nixi ,2,1},{ ??間的協(xié)方差，當其為 0 時線性擬合函數(shù)不存在。為了計算方便，在解方程組時減少