【正文】 ： 第2次操作后所得數(shù)串為： 依題設(shè)操作方法可得新增的數(shù)為：20. hope三. 解答題： 14. 0 15. 2746 11. 9. A在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊、小貓的個(gè)數(shù)，可以使小熊和小貓的總售價(jià)盡可能高。 22. 如圖3， 。對(duì)于英文，人們將26個(gè)字母按順序分別對(duì)應(yīng)整數(shù)0到25，現(xiàn)有4個(gè)字母構(gòu)成的密碼單詞，記4個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字分別為 ，已知：整數(shù) ， ， ， 除以26的余數(shù)分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是_________。 16. m為正整數(shù)，已知二元一次方程組 有整數(shù)解，即x，y均為整數(shù)，則 __________。 13. 已知：如圖1， 中，D、E、F、G均為BC邊上的點(diǎn)，且 ， ， 。 將這組單項(xiàng)式按上述法則排序，那么， 應(yīng)排在（ 我們用下面的方法確定它們的先后次序；對(duì)任兩個(gè)單項(xiàng)式，先看x的冪次，規(guī)定x冪次高的單項(xiàng)式排在x冪次低的單項(xiàng)式的前面；再看y的冪次，規(guī)定y的冪次高的排在y的冪次低的前面；再看的z冪次，規(guī)定的z冪次高的排在z的冪次低的前面。 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… （英漢詞典：greatest prime number最大的質(zhì)數(shù)；result結(jié)果；expression表達(dá)式） ）米 6. 用一根長(zhǎng)為a米的線圍成一個(gè)等邊三角形，測(cè)知這個(gè)等邊三角形的面積為b平方米。 B. 819 5. 兩個(gè)正整數(shù)的和是60，它們的最小公倍數(shù)是273，則它們的乘積是（ 3. 我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之在1500年以前就已經(jīng)相當(dāng)精確地算出圓周率 ，并取 為密率、 為約率，則（ A. B. ）(m＋1)x＋(m＋1)2=4x4＋p2x2＋(m＋1)2－4px3－4(m＋1)x2＋2p(m＋1)x=[2x2－px－(m＋1)]2.＋b=p,c＋d=q,由條件化為pq(b＋c)(d＋a)=(p＋q)(cdp＋adq),展開(kāi)整理得cdp2－(ac＋bd)＋pq＋abq2=0,即(cp－bq)(dp－aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a＋b)=b(c＋a)或d(a＋b)=a(c＋d).均可得出ac=bd.初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一. 選擇題 (2) (E) %（1）（x－3）5=ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f，則a＋b＋c＋d＋e＋f=________, (B)% ）.（A）p% （C）6 ∴ 解得 x2=x(x＋1)－x或 為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)要將一個(gè)分式表示為一個(gè)整式和一個(gè)分式的代數(shù)和.例8 證明對(duì)于任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)皆不可約.證明 x=k(a－b), y=(b－c)k z=(c－a)k,∴x＋y＋z=(a－b)k＋(b－c)k＋(c－a)k=0.例7 已知a、b、c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a2＋b2＋c2=1,求a＋b＋c的值.解 ∵a為x2－3x＋1=0的根, ∴ a2－3a＋1=0,且.∴說(shuō)明:這里只對(duì)所求式分子進(jìn)行因式分解,避免了解方程和復(fù)雜的計(jì)算. 換元使復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了.例4 設(shè)a＋b＋c=3m,求證:(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)=0.證明 令p=m－a,q=m－b,r=m－c則p＋q＋r=0.P3＋q3＋r3－3pqr=(p＋q＋r)(p2＋q2＋r2－pq－qr－rp)=0 ∴p3＋q3＋r3－3pqr=0即選D。例9 用min（a，b）表示a、b兩數(shù)中較小者，max（a，b）表示a、b兩數(shù)中較大者，例如min（3，5）=3，min（3，3）=3，max（3，5）=5，max（5，5）=5。（A）ABC （B）ABC （C）BAC （D）BCA解： ∵，∴AB。③②－①得（b－a）x=358=2179，④ ③－②得（c－b）x=895=5179，⑤⑤－①得（c－a）x=1253=7179。故，或。例6 今有帶余除法算式A247。（2）計(jì)算。例4 （＋＋＋＋＋＋＋＋）247。選C。（A）4 444 455 555 （B）5 555 544 444 （C）4 999 999 995 （D）5 999 999 994解 注意已知五個(gè)數(shù)的特點(diǎn)：右起1至5位每位數(shù)字之和為1＋3＋5＋7＋9=25，6至10位每位數(shù)字之和為0＋2＋4＋6＋8=20，于是五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4 444 455 555。從而共有六種付法：（10,10,0），（11，8，1），（12，6，2），（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。　　故原方程組有兩組正整數(shù)解 .B　組　?。ˋ）提示：設(shè)甲、乙、丙三種的單價(jià)分別為x,y,z元，則有 由此得，故?！　?7，提示；設(shè)兩位數(shù)為，依題意得，即7a=2b，因?yàn)?與2互素，所以2|a，7|b又1≤a≤9,0≤b≤9,所以只有a=2,b=7，故只有。如果這3個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都加上c，分母不變，則所得3個(gè)分?jǐn)?shù)的和為6，那么原來(lái)的3個(gè)既約分?jǐn)?shù)的乘積是（ ）（A）　　　 （B） 　　　（C） 　　?。―）★★★99名學(xué)生去劃船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果這些學(xué)生把租來(lái)的船都坐滿，那么大船和小船應(yīng)分別租________只。★★★一個(gè)兩位自然數(shù)等于它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和的3倍，那么這樣的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是______?！铩铩铩铩锢? 求方程的整數(shù)解。通過(guò)消去未知數(shù)z，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不定方程.★★★★例6 某自然數(shù)與13的和是5的倍數(shù)，并且與13的差是6的倍數(shù)，求這樣的自然數(shù)中最小的3個(gè)?！　〗?先利用輾轉(zhuǎn)相除法求方程的一組整數(shù)解。即k=－10,－11,此時(shí)原方程的正整數(shù)解為　　. 　　說(shuō)明 對(duì)于系數(shù)較大的不定方程，用觀察法去求其特殊解比較困難，這時(shí)可以用分離整數(shù)法或輾轉(zhuǎn)相除法求其特解。★★★例3 求方程的正整數(shù)解。有下面的規(guī)律。若是方程的一個(gè)整數(shù)解，則是方程的一個(gè)整數(shù)解。要點(diǎn)講解：167。這種未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）。內(nèi)容綜述：我們?cè)谡n堂上學(xué)過(guò)一元一次方程，例如解方程，解這個(gè)方程可得。　　 　提示：可直接由①5－②－③－④ 求出；同理求出。　　 提示：視為未知數(shù)，為常數(shù)，解得x=4z，y=－3z?！　　铩镆阎獫M足方程組則=________?！　　铩镆阎?則=_________　　★★★已知關(guān)于的方程組分別求出當(dāng)為何值時(shí)，方程組（1）有唯一一組解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多組解。 （2）。所以對(duì)任何值都是原方程的解?！　」十?dāng)時(shí)，原方程組有唯一解；當(dāng)，且時(shí)，原方程組無(wú)解；當(dāng)且時(shí)，原方程組有無(wú)窮多個(gè)解。為此先把方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元一次方程。　　解法2 令，則原方程組化為　　解得，即為原方程組的解。5732＋2134=7866,32134－5732=670,25732=11464. 　　用字母表示常數(shù)解此題，將會(huì)減少運(yùn)算量?！　　铩锢? 若和滿足方程組　　　　試確定的值。提示：如圖2－7－11，在AB上截取AD=AC，連結(jié)DM，易證△ADM≌△ACM，從而MC=MD，又因?yàn)椤螧DM∠AMD=∠AMC∠B, 從而BMMD，所以BMMC。又由于每個(gè)三角形的內(nèi)角和為，故小三角形的個(gè)數(shù)為：。由AD=CE，∠A=∠BCE=，AC=BC，可得△DAC≌△ECB，從而得∠DCA=∠EBC，故∠BPD=∠EBC＋∠BCD=∠DCA＋∠BCD=∠BCA=?！　　铩镌凇鰽BC中，ABAC,AM為角平分線，則BM和MC的大小關(guān)系是_____★★如圖2－7－10，在△ABC中，經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)M，有垂直相交于M的兩條直線，它們與AB、AC分別交于D、E，求證：BD＋CEDE.參考答案A級(jí)AC=A′C′。A 級(jí) 　　★★如圖2－7－6，在△ABC和△A B C 中，AD和A D 是高，AD=A D ，AB=A B ,BC=B C ,則AC和A C 的大小關(guān)系是___________.　　★★如圖2－7－7在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，則圖中能全等的三角形有______對(duì)?！　∷悸?：作∠BCA的平分線交BD于G，證明△CDG≌△ADE?！?PC－PBAC－AB。　　求證：PC－PBAC－AB。證法2：在AC上取點(diǎn)E，使AE=AB，連結(jié)CD。證法1：延長(zhǎng)AB到E，使BE=BD，連結(jié)ED，則∠E=∠BDE?！　　?∠DPM=∠MBN，∴ △DPM≌△MBN，∴ DM=MN?！　∏笞C：MD=MN?！　∽C明 ① ∵ △ABC和△DCE都是等邊三角形，∴ CB=CA， CD=CE，∠BCA=∠ECD=，　∴ ∠BCD=∠ACE=，∴ △BCD≌△ACE，∴ AE=BD。判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。16=30（人），A、B兩團(tuán)共有42人，A團(tuán)人數(shù)為，B團(tuán)人數(shù)為，不是整數(shù)，不可能；所以必是②成立，即C團(tuán)有30人，B團(tuán)有24人，A團(tuán)有18人．（2）售 票 處普通票團(tuán)體票(人數(shù)須20人_)每人20元每人16元（或八折優(yōu)惠）（團(tuán)體票人數(shù)限制也可是“須超過(guò)18人”等）教學(xué)內(nèi)容：全等三角形經(jīng)驗(yàn)談：　　你見(jiàn)過(guò)兩片完全相同的樹葉嗎？你見(jiàn)過(guò)兩個(gè)完全相同的事物嗎？也許你從未意識(shí)到這世界上還有完全相同。72=16（元/人），即團(tuán)體票是每人16元，因?yàn)?6不能整除360，所以A團(tuán)未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)，若三個(gè)團(tuán)都未達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)，則三個(gè)團(tuán)的人數(shù)比為360︰384︰480=15︰16︰20，即三個(gè)團(tuán)的人數(shù)分別為、這都不是整數(shù)（只要指出其中某一個(gè)不是整數(shù)即可），不可能，所以B、C兩團(tuán)至少有一個(gè)團(tuán)本來(lái)就已達(dá)到優(yōu)惠人數(shù)，這有兩種可能：①只有C團(tuán)達(dá)到；②B、C兩團(tuán)都達(dá)到．對(duì)于①，可各C團(tuán)人數(shù)為