【正文】 1． 質(zhì)點(diǎn) 2． 參照物 3． 參照系 —— 固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)） 4．絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)： v 絕 =v 相 +v 牽 二．運(yùn)動(dòng)的描述 1．位置： r=r(t) 2．位移：Δ r=r(t+Δ t)－ r(t) 3．速度： v=limΔ t→ 0Δ r/Δ ： v=dr/dt, 表示 r 對(duì) t 求導(dǎo)數(shù) ４．加速度 a=an+aτ。不難看出： S1x + b = S cosθ ① 設(shè)全程時(shí)間為 t ，則有： S = 21 at2 ② S1x = 21 a1xt2 ③ 而隔離滑套，受力圖如圖 23所示，顯然： mgsinθ = ma1x ④ 解①②③④式即可。 解說(shuō)：這是一個(gè)比較特殊的“連接體問(wèn) 題”，尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的關(guān)系似乎比動(dòng)力學(xué)分析更加重要。最后據(jù) a1 = 2y12x1 aa ? 求 a1 。 （學(xué)生活動(dòng)）這兩個(gè)加速度矢量有什么關(guān)系？ 沿斜面方向、垂直斜面方向建 x 、 y坐標(biāo)，可得： a1y = a2y ① 且： a1y = a2sinθ ② 隔離滑塊和斜面，受力圖如圖 20 所示。對(duì)兩者列隔離方程時(shí)，務(wù)必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破。 解題思想：抓某個(gè)方向上加速度關(guān)系。 答案： MmM? g 。需要設(shè)出貓爪抓棒 的力 f ，然后列貓的平衡方程和棒的動(dòng)力學(xué)方程，解方程組即可。設(shè)繩子張力為 T ， m2的受力情況如圖，隔離方程為： 222 )gm(T ? = m2a 隔離 m1 ，仍有： T = m1a 解以上兩式，可得： a = 22212 mmm?g 最后用整體法解 F即可。 答案： F = 1 2321 mgm)mmm( ?? 。 答：（ 1）不會(huì)；（ 2）沒(méi)有；（ 3）若斜面光 滑，對(duì)兩內(nèi)壁均無(wú)壓力，若斜面粗糙，對(duì)斜面上方的內(nèi)壁有壓力。 應(yīng)用：如圖 13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個(gè)長(zhǎng)方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為 m1和 m2 ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ 1和μ 2 ，系統(tǒng)釋放后能 夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為： A、μ 1 m1gcosθ ； B、 μ 2 m1gcosθ ； C、μ 1 m2gcosθ ； D、 μ 1 m2gcosθ ； 解：略。 第（ 1）情況的計(jì)算和原題基本相同，只是多了一個(gè)摩擦力的處理，結(jié)論的化簡(jiǎn)也麻煩一些。 補(bǔ)充：當(dāng)多個(gè)對(duì)象不具有共同的加速度時(shí)，一般來(lái)講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個(gè)局限（可以介紹推導(dǎo)過(guò)程） —— Σ 外F? = m1 1a? + m2 2a? + m3 3a? + ? + mn na? 其中Σ 外F? 只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。 三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用 要點(diǎn)：在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，如果遇到幾個(gè)研究對(duì)象時(shí)，就會(huì)面臨如何處理對(duì)象之間的力和對(duì)象與外 界之間的力問(wèn)題，這時(shí)有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時(shí)地運(yùn)用牛頓第三定律。 知識(shí)點(diǎn)，牛頓第二定律的瞬時(shí)性。現(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時(shí)加速度。重力加速度 g = 10 m/s2，試求扶梯對(duì)人的靜摩擦力f 。答： T = m 22 ag ? 。矢量分解后，如圖 8 所示。沿加速度 a 方向建 x軸，與 a 垂直的方向上建 y 軸，如圖 7 所示（ N 為斜面支持力）。試求此時(shí)繩子的張力 T 。 + α） β = 90176。試求小車(chē)的加速度。答： gtgθ。 滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。 答案： 0 ； g 。 試問(wèn)： ① 如果在 P處剪斷細(xì)繩，在剪斷瞬時(shí)， B的加速度是多少？ ② 如果在 Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時(shí)， B的加速度又是多少？ 解說(shuō)：第①問(wèn)是常規(guī)處理?，F(xiàn)將一工件（大小不計(jì)）在皮帶左端 A 點(diǎn)輕輕放下，則在此后的過(guò)程中（ ） A、一段時(shí)間內(nèi)，工件將在滑動(dòng)摩擦力作用下，對(duì)地做加速運(yùn)動(dòng) B、當(dāng)工件的速度等于 v 時(shí)，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力 C、當(dāng)工件相對(duì)皮帶靜止時(shí)，它位于皮帶上 A 點(diǎn)右側(cè)的某一點(diǎn) D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對(duì)靜止的狀態(tài) 解說(shuō)： B 選項(xiàng)需要用到牛頓第一定律， A、 C、 D 選項(xiàng)用到牛頓第二定律。 應(yīng)用要點(diǎn)：合力為零時(shí)，物體靠慣性維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；只有物體有加速度時(shí)才需要 合力。 第二章 牛頓運(yùn)動(dòng)定律 第一講 牛頓三定律 一、牛頓第一定律 定律。 法二：引入摩擦角和整體法觀念。 法一：隔離法。另一質(zhì)量為 m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。 答案： 。簡(jiǎn)要介紹?? 法二，整體法。已知斜面的質(zhì)量 M = 10kg ，傾角為 30176。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：如果 F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小 F值是多少？ 解：見(jiàn)圖 18，右圖中虛線的長(zhǎng)度即 Fmin ，所以， Fmin = Gsinφ m 。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為 30176。 （學(xué)生分析受力→列方程→得結(jié)果。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能 勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素 μ 。 整體法：當(dāng)各個(gè)體均處于平衡狀態(tài)時(shí)，我們可以不顧個(gè)體的差異而講多個(gè)對(duì)象看成一個(gè)整體進(jìn)行分析處理，稱(chēng)整體法。通常處理為φ m = φ ms 。 答案： FRLR RLR ??? ??? 。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為 F 的水平拉力。這種方法更直接、簡(jiǎn)便。 而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設(shè)為 F 。如圖 15 所示。 答案： 33 R 。 解說(shuō)：練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。 答： T變小， N不變。 答案： arccos )GkR(2kL?。本題旨在貫徹第三種思路。 如圖 11所示，一 個(gè)重量為 G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為 k ，自由長(zhǎng)度為 L（ L＜ 2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn) A ，另一端與小球相連。但物體在靜止后靜摩擦力 f′≡ G ，與 N沒(méi)有關(guān)系。如何避開(kāi)牛頓第二定律，是本題授課時(shí)的難點(diǎn)。 答案：當(dāng)β = 90176。 顯然，隨著β增大， N1 單調(diào)減小，而 N2的大小先減小后增大，當(dāng) N2垂直 N1時(shí)， N2取極小值，且 N2min = Gsinα。 第三講 習(xí)題課 如圖 7 所示，在固定的、傾角為 α 斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板（ β不定），夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為 m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時(shí)，夾板對(duì)球的彈力最小。 二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡 特征：物體無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。 答案： 距棒的左端 L/4處。 點(diǎn)積的大小： c = abcosα，其中α為 a? 和 b? 的 夾角。意義：c? 的大小對(duì)應(yīng)由 a? 和 b? 作成的平行四邊形的面積。 （學(xué)生活動(dòng)）觀察與思考：這兩個(gè)加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)？ 答：否；不是。 解說(shuō)：如圖 3所示， A到 B點(diǎn)對(duì)應(yīng) 41 T 的過(guò)程， A 到 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng) 21 T 的過(guò)程 。 差矢量大?。?a = ??? co sbc2cb 22 ，其中θ為 c? 和 b? 的夾角。 名詞： c? 為“被減數(shù)矢量”， b? 為“減數(shù)矢量”， a? 為“差矢量”。 法則：平行四邊形法則。 名詞： c? 為“和矢量”。 和矢量方向： c? 在 a? 、 b? 之間，和 a? 夾角β = arcsin ???? c osab2ba sinb22 減法 表達(dá)： a? = c? － b? 。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。 例題：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為 R ，周期為 T ，求它在 41 T 內(nèi)和在 21 T 內(nèi)的平均加速度大小。 本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然： Av = Bv = Cv = TR2? ，且：1v? = 2 Av = TR22 ? ， 2v? = 2 Av = TR4? 所以： ABa = AB1tv? = 4TTR22 ? = 2T R28 ? ， ACa = AC2tv? = 2TTR4? = 2TR8? 。 叉積的大?。?c = absinα，其中α為 a? 和 b? 的夾角。 b? = c 名詞： c 稱(chēng)“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量。 解說(shuō)：直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題，幾何關(guān)系比較簡(jiǎn)單。 答：不會(huì)。 作用點(diǎn)：先假定一個(gè)等效作用點(diǎn)，然后讓所有的平行力對(duì)這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。 由于 G的大小和方向均不變，而 N1的方向不可變，當(dāng)β增大導(dǎo)致 N2的方向改變時(shí)，N2的變化和 N1的方向變化如圖 8 的右圖所示。之間取值， N2的極值討論是很容易的。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速，平衡方程不再適用。 物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力 f = μ N ，必持續(xù)增大。 答案： B 。 解說(shuō)：平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來(lái)就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。） 容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以： RABGF? ⑴ 由胡克定律： F = k（ AB R） ⑵ 幾何關(guān)系： AB = 2Rcosθ ⑶ 解以上三式即可。試判斷：在此過(guò)程中，繩子的拉力 T 和球面支持力 N怎樣變化？ 解：和上題完全相同。試求球體的重心 C到球心 O的距 離。幾何計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 兩根等長(zhǎng)的細(xì)線，一端拴在同一懸點(diǎn) O 上，另一端各系一個(gè)小球，兩球的質(zhì)量分別為 m1和 m2 ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開(kāi)一定角度，分別為 45 和 30176。 首先注意，圖 16 中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設(shè)為α。 （學(xué)生活動(dòng)）思考：解本 題是否還有其它的方法？ 答：有 —— 將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將 O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對(duì) O的力矩必然是平衡的。 如圖 17 所示，一個(gè)半徑為 R 的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為 L 的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面 。 同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦 f′ = RLR)LR(G ??? ?? = F′。 此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動(dòng)，必有：φ m = arctgμ（μ為動(dòng)摩擦因素），稱(chēng)動(dòng)摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，必有：φ ms = arctgμ s（μ s為靜摩擦因素），稱(chēng)靜摩擦角。 在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。 法一，正交分解。 再將兩圖重疊成圖 18 的右圖。 答案： 。 如圖 19所示，質(zhì)量 m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小 F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，而斜面體始終靜止。 法一，隔離法。受力分析比較簡(jiǎn)單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。 應(yīng)用：如圖 20 所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。 解說(shuō)：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動(dòng)用一切可能的工具解題。 答案：大小為 F = mg ?? 2sin81 ，方向和斜面夾角 α = arctg( ?ctg31 )指向斜面內(nèi)部。 在圖 22 右邊的矢量三角形中，有： )sin(F ??? = ? ?)(90sin mg ????? = )cos(mg ??? ⑵ 注 意 ： φ = arctg μ = arctg(tg θ ) = θ ⑶ 解⑴⑵⑶式可得 F 和α的值。 適用條件 a、宏觀、低速 b、慣性系 對(duì)于非慣性系的定律修正 —— 引入慣性力、參與受力分析 三、牛頓第三定律 定律 理解要點(diǎn) a、同性質(zhì)（但不同物體） b、等時(shí)效（同增同減） c、無(wú)條件（與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、空間選擇無(wú)關(guān)） 第二講 牛頓定律的應(yīng)用 一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用 單獨(dú)應(yīng)用牛頓第一定律的物理問(wèn)題比較少，一般是需要用其解決物理問(wèn)題中的某一個(gè)