【正文】 1（四川文） 如果雙曲線 ＝ 1 上一點(diǎn) P 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 2,那么點(diǎn) P 到 y 軸的距離是 (A) (B) (C) (D) 解析：選 A．由點(diǎn) 到雙曲線右焦點(diǎn) 的距離是 2 知 在雙曲線右支上．又由雙曲線的第二定義知點(diǎn) 到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是 ，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是 ，故點(diǎn) 到 軸的距離是 ． 1（四川文） 已知拋物線 yx2+3 上存在關(guān)于直線 x+y=0 對稱的相異兩點(diǎn) A、 B，則 |AB|等于 解析：選 C．設(shè)直線 的方程為 ，由 ，進(jìn)而可求出 的中點(diǎn) ，又由 在直線 上可求出 ，∴，由弦長公式可求出 ．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運(yùn)算量增大． 1（四川文） (本小題滿分 12 分 )設(shè) 、 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)． （Ⅰ）若 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且 ，求點(diǎn) 的作標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn) 的直線 與橢圓交于同的兩點(diǎn) 、 ，且 為銳角（其中 為作標(biāo)原點(diǎn)），求直線 的斜率 的取值范圍． 解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計(jì)算能力． （Ⅰ）易知 ， ， ． ∴ ， ．設(shè) ．則 ，又 ， 聯(lián)立 ，解得 ， ． （Ⅱ）顯然 不滿足題設(shè)條件．可設(shè) 的方程為 ，設(shè) ， ． 聯(lián)立 ∴ ， 由 ， ，得 ．① 又 為銳角 ， ∴ 又 ∴ ∴ ．② 綜①②可知 ，∴ 的取值范圍是 ． 2022 年高考數(shù)學(xué)試題匯編 —— 圓錐曲線（三） 1（四川理）（本小題滿分 12分）設(shè) 、 分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn) . （Ⅰ）若 是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求 【易錯點(diǎn)】： 不能聯(lián)系三角形的有關(guān)知識，找不到解題方法而亂選。 從而 為定值。 故 。 【解答】 （Ⅰ）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則 ，從而 因此焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為（ 2， 0） . 又準(zhǔn)線方程的一般式為 。 題（ 21）圖 （Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)及準(zhǔn)線 l的方程； （Ⅱ）若 a 為銳角，作線段 AB 的垂直平分線 m 交 x 軸于點(diǎn) P，證明 |FP||FP|cos2a 為定值，并求此定值。 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 E，則 所以。 記直線 m 與 AB 的交點(diǎn)為 ，則 ， ， 故直線 m 的方程為 . 令 y=0,得 P 的橫坐標(biāo) 故 。 解：（ I）設(shè)橢圓方程為 ． 因焦點(diǎn)為 ，故半焦距 ． 又右準(zhǔn)線 的方程為 ，從而由已知 ， 因此 ， ． 故所求橢圓方程為 ． （ II）記橢圓的右頂 點(diǎn)為 ，并設(shè) （ 1， 2， 3），不失一般性， 假設(shè) ，且 ， ． 又設(shè)點(diǎn) 在 上的射影為 ，因橢圓的離心率 ，從而有 ． 解得 ． 因此 ， 而 ， 故 為定值． （浙江文）已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 F F2， P 是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且 P F1⊥ P F2，｜ P F1｜ ｜ P F2 ｜＝ 4ab，則雙曲線的離心率是（ B） (A) (B) (C)2 (D)3 【解答】 ：設(shè)準(zhǔn)線與 x 軸交于 A 點(diǎn) . 在 中 , , 又 , 化簡得 , 故選答案 B 【 高考考點(diǎn) 】雙曲線的離心率的求法解三角形的相關(guān)知識。 【備考提示】： 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．故此類問題一方面要求考生能熟練掌握相關(guān)知識，并且能夠有較高的分析問題和解決問題的能力，同時還要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和不懈的毅力。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以 ，設(shè) ，則 因?yàn)?，故當(dāng) ，即點(diǎn) 為橢圓短軸端點(diǎn)時， 有最小值 當(dāng) ，即點(diǎn) 為橢圓長軸端點(diǎn)時， 有最大值 解法二：易知 ，所以 ，設(shè) ，則 （以下同解法一） （Ⅱ）顯然直線 不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線 ， 聯(lián)立 ，消去 ，整理得： ∴ 由 得： 或 又 ∴ 又 ∵ ，即 ∴ 故由①、②得 或 1（上海理）已知雙曲線 ，則以雙曲線中心為焦點(diǎn)，以雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程為 【解析】 雙曲線 的中心為 O（ 0,0），該雙曲線的左焦點(diǎn)為 F（－ 3,0）則拋物線的頂點(diǎn)為（－ 3,0），焦點(diǎn)為（ 0,0），所以 p=6，所以拋物線方程是 ) 1（上海理）已知半橢圓 與半橢圓 組成的曲線稱為“果圓”，其中 ， 是對應(yīng)的焦點(diǎn)。 (Ⅱ )設(shè)直線 l與橢圓 C交于 A、 B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線 l的距離為 ，求△ AOB面積的最大值 . 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為 ，依題意 ， 所求橢圓方程為 ． （Ⅱ）設(shè) ， ． （ 1）當(dāng) 軸時， ． （ 2）當(dāng) 與 軸不垂直時， 設(shè)直線 的方程為 ． 由已知 ，得 ． 把 代入橢圓方程，整理得 ， ， ． ． 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立．當(dāng) 時， ， 綜上所述 ． 當(dāng) 最 大時， 面積取最大值 ． 2（山東理）設(shè) 是坐標(biāo)原點(diǎn)， 是拋物線 的焦點(diǎn)， 是拋物線上的一點(diǎn)， 與 軸正向的夾角為 ，則 為 ． 【分析】 ：過 A 作 軸于 D，令 ，則 ， ， 。 2（全國 2理）（本小題滿分 12分）在直角坐標(biāo)系 中，以 為圓心的圓與直線相切． （ 1）求圓 的方程； （ 2）圓 與 軸相交于 兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn) 使 成等比數(shù)列，求的取值范圍． 【解答】 （ 1）依題設(shè)，圓 的半徑 等于原點(diǎn) 到直線 的距離， 即 ． 得圓 的方程為 ． （ 2）不妨設(shè) ．由 即得 ． 設(shè) ，由 成等比數(shù)列，得 ， 即 ． 由于點(diǎn) 在圓 內(nèi)，故 由此得 ． 所 以 的取值范圍為 ． 2（全國 2文）已知橢圓的長軸長是短軸長的 2倍，則橢圓的離心率等于（ ） A． B． C． D． 【解答】 已知橢圓的長軸長是短軸長的 2倍，∴ ，橢圓的離心率 ，選 D。 （全國 1理）（本小題滿分 12分）已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ．過的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，過 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，且 ，垂足為 ． （Ⅰ）設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，證明： ； （Ⅱ）求四邊形 的面積的最小值． 【解答】 （Ⅰ）證明：橢圓的半焦距 ， 由 知點(diǎn) 在以線段 為直徑的圓上，故 ， 所以， ． （Ⅱ）（?。┊?dāng) 的斜率 存在且 時， 的方程為 ，代入橢圓方程，并化簡得 ． 設(shè) ， ，則 ， ； 因?yàn)?與 相交于點(diǎn) ，且 的斜率為 ， 所以， ． 四邊 形 的面積 ． 當(dāng) 時，上式取等號． （ⅱ）當(dāng) 的斜率 或斜率不存在時，四邊形 的面積 ． 綜上，四邊形 的面積的最小值為 ． 3（海南、寧夏理）已知拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) ，在拋物線上，且 ， 則有（ C ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【分析】 ：由拋物線定義， 即： ． 3（海南、寧夏理）已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為 2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為 6，則該雙曲線的離心率為 ． 3 【分析】 ：如圖，過雙曲線的頂點(diǎn) A、焦點(diǎn) F 分別向其漸近線作垂線 ，垂足分別為 B、 C，則： 3（海南、寧夏理）（本小題滿分 12分）在平面直角坐標(biāo)系 中，經(jīng)過點(diǎn) 且斜率為 的直線 與橢圓 有兩個不同的交點(diǎn) 和 ． （ I）求 的取值范圍； （ II）設(shè)橢圓與 軸正半軸、 軸正半軸的交點(diǎn)分別為 ，是否存在常數(shù) ，使得向量與 共線？如果存在，求 值；如果不存在，請說明理由． 【解答】 （Ⅰ）由已知條件，直線 的方程為 ， 代入橢圓方程得 ． 整理得 ① 直線 與橢圓有兩個不同的交點(diǎn) 和 等價于 ， 解得 或 ．即 的取值范圍為 ． （Ⅱ）設(shè) ，則 ， 由方程①， ． ② 又 ． ③ 而 ． 所以 與 共線等價于 ， 將②③代入上式，解得 ． 由（Ⅰ）知 或 ，故沒有符合題意的常數(shù) ． 3（遼寧理）設(shè) 為雙曲線 上的一點(diǎn)， 是該雙曲線的兩個焦點(diǎn)，若，則 的面積為（ ） A． B． C． D． 【解答】 因?yàn)?，設(shè) ，根據(jù)雙曲線定義得，所以 ， 為直角三角形，其面積為 ，選 B 3（遼寧理）設(shè)橢圓 上一點(diǎn) 到左準(zhǔn)線的距離為 10， 是該橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn) 滿足 ， 則 = ． 【解答】 橢圓 左準(zhǔn)線為 ，左焦點(diǎn)為（ 3， 0）， P（ ，由已知M 為 PF中點(diǎn)， M（ ，所以 3（遼寧理）（本小題滿分 14分）已知正三角形 的三個頂點(diǎn)都在拋物線 上，其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓 是 的內(nèi)接圓（點(diǎn) 為圓心） （ I）求圓 的方程； （ II）設(shè)圓 的方程為 ，過圓 上任意一點(diǎn) 分別作圓的兩條切線 ，切點(diǎn)為 ，求 的最大值和最小值． 【解答】 本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力．滿分 14分． （ I） 解法一：設(shè) 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ， ，由題設(shè)知 ． 解得 ， 所以 ， 或 ， ． 設(shè)圓心 的坐標(biāo)為 ，則 ，所以圓 的方程為 ． 4 分 解法二：設(shè) 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別