【正文】 n? ?? xxe x dc o s再令 ,c o s xu ? xev ?? , 則 ,s in xu ??? xev ?xe x sin? ??? xxexe xx dsinc o s故 原式 = Cxxe x ?? )c o s(si n21說(shuō)明 : 也可設(shè) 為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類(lèi)型 必須一致 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解題技巧 : 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對(duì)冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?例 5. 求 解 : 令 ,a rc c o s xu ? 1??v , 則 ,21 1 xu ???? xv?原式 = xx a rc c o s ? ?? xxx d21xx a rc c o s? )1d()1( 2221 21? ??? ? xxxx a rc c o s? Cx ??? 21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反 : 反三角函數(shù) 對(duì) : 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪 : 冪函數(shù) 指 : 指數(shù)函數(shù) 三 : 三角函數(shù) 例 6. 求 解 : 令 ,c o sln xu ? xv 2c o s1?? , 則 ,ta n xu ??? xv tan?原式 = xx c o slnta n ? ?? xx dt a n 2xx c o slnta n ?? ? ?? xx d)1(se c 2xx c o slnta n ?? Cxx ??? ta n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7. 求 解 : 令 ,tx ? 則 ,2tx ? ttx d2d ?原式 tet t d2??tet(2?Cxe x ??? )1(2,tu ? tev ??)te? C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令 例 8. 求 解 : 令 ,22 axu ?? ,1??v 則 ,22axxu??? xv?22 axx ? ??? xaxx d22222 axx ?? ????? xaxaax d22222 )(22 axx ?? ? ?? xax d22 ??? 22d2axxa∴ 原式 = 2221 axx ? Caxxa ???? )(ln2 222??? xax d22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 9. 求 解 : 令 ,)( 1 22 naxu ?? ,1??v 則 ,)( 2 122 ????? nax xnu xv?nI?xaxxnn d)(2 1222? ???naxx)( 22 ?? xaxn n d)(2 122? ???naxx)( 22 ?? nIn2? 122 ?? nIan得遞推公式 nnn Iannax xanI 22221 2 12)(2 1 ?????222 )( aax ??naxx)( 22 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明 : 遞推公式 已知 CaxaI ?? a rct a n11 利用遞推公式可求得 .nI例如 , ?3I 2222 )(41axxa ? 2243 Ia?2222 )(41axxa ?? ?243a? 22221axxa ? 1221 Ia? ?2222 )(41axxa ?? 22483axx?? Caxa ?? a rc ta n835nnn IannaxxanI 22221212)(21 ?????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 10. 證明遞推公式 證 : xxxI nn d)1(se ct a n 22 ?? ? ?)d (t a nt a n 2 xxn? ??1ta n 1???nxn2?? nI2?? nI注 : 或 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明 : 分部積分題目的類(lèi)型 : 1) 直接分部化簡(jiǎn)積分 。c o s1)( xC ? .c o s1)( xD ?提示 : 已知 xxf s in)( ??求 即 B )()( xf??xs in)( ???? ? 或由題意 ,c o s)( 1Cxxf ??? 其原函數(shù)為 ? xxf d)( 21s in CxCx ????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 求下列積分 : 提示 : )1(1)1(1)1(2222 xxxx ???xxxx 2222 c o ssinc o ssin1)2( ?xx 22 c s cs e c ??xx 22 c o ss in ?22 111xx ???)( 2x? 2x?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6. 求不定積分 解： )1( 2 ?? xx ee機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7. 已 ?? ????? 22221d1d1 xxBxxAxxx求 A , B . 解 : 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo) , 得 ?? 221 xx22211xxAxA???21 xB??2212)(xxABA????????????120ABA??????2121BA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、第二類(lèi)換元法 第二節(jié) 一、第一類(lèi)換元法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 換元積分法 第五章 第二類(lèi)換元法 第一類(lèi)換元法 基本思路 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) ,)()( ufuF ?? 可導(dǎo) , CxF ?)]([?)(d)( xuuuf ????)()( xuCuF ?????)]([d xF ? xxxf d)()]([ ?? ?則有 一、第一類(lèi)換元法 定理 1. ,)( 有原函數(shù)設(shè) uf ,)( 可導(dǎo)xu ?? 則有換元 公式 ? uuf d)( )( xu ??? )(d))(( xxf ??(也稱(chēng) 配元法 即 ??? xxxf d)()]([ ??, 湊微分法 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 1. 求 解 : 令 ,bxau ?? 則 ,dd xau ? 故 原式 = ? mu uad1 a1? Cum m ??? ? 111注 : 當(dāng) 時(shí) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ? ?? 22 )(1 d1axxa例 2. 求 解 : ,axu ?令 則 xau d1d ?? ? 21 uuda1 Cua ?? a r c t a n1想到公式 ? ? 21 d uuCu ?? a rc t a n)(ax?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 3. 求 ??? 21duu想到 Cu ?a rc s in解 : ? ? 2)(1 daxax? )(d))(( xxf ?? (直接配元 ) ??? xxxf d)()]([ ??? ?? 2)(1)(daxax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 求 解 : ? xxx dc o ssi n ??? xxc o sc o sd? x xxsi n dco s ?? xxsi nsi nd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類(lèi)似 Cax axa ???? ln21例 5. 求 解 : 221ax ?? ))(( axax ??)()( axax ???a21? )11(21axaxa ????∴ 原式 = ???a21 ? ? ??? ax xax x dd ???????a21 ???axax )(d????a21? ax ?ln ax ?? ln ? C?? ??? ax ax )(d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常用的幾種配元形式 : ( P155 ) ??? xbxaf d)()1( )(d bxa ?a1?? ? xxxf nn d)()2( 1nxdn1?? xxxf n d1)()3( nxdn1 nx1萬(wàn)能湊冪法 ?? xxxf dc o s)(sin)4( xsind?? xxxf ds i n)(c o s)5( xcosd?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?? xxxf dse c)(t a n)6( 2xtand?? xeef xx d)()7( xed?? xxxf d1)(l n)8( xlnd例 6. 求 ? ? xln21 xlnd解 : 原式 = ? ?? xln2121 )ln21(d x?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??? xxxf d1 1)( a r c t a n)9( 2xa rc ta nd例 7. 求 .d3xxex?解 : 原式 = xe x d2 3? )3d(32 3 xe x??Ce x ?? 332例 8. 求 .dse c 6 xx?解 : 原式 = xdxx 222 se c)1(t a n ??? xtandxxx t a nd)1t a n2(t a n 24? ???x5ta n51? x3ta n32? xtan? C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 9. 求 .1 d? ? xex解法 1 xeeexxxd1)1(?????d?? ? ???xxee1)1(dx? Ce x ??? )1ln (解法 2 xeexxd1? ???? ? ??????xxee1)1(dCe x ???? ? )1ln()]1(ln [)1ln ( ????? ?? xxx eee 兩法結(jié)果一樣 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?????????xx si n11si n1121 ?例 10. 求 解法 1 ?? xxx dc o sc o s2 ? ?? xx2si n1 si ndxsind?? xsi n1ln21 ?? ? Cx ??? s i n1lnCxx ???? s i n1 s i n1ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ? ?? xx t a nse c解法 2 xx t a ns e c ?)ta n(s e c xx ?xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c2? ???)ta n(s e cd xx ?同樣可證 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln或 Cx ?? 2t a nln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222 d)(2123xax? ??例 11. 求 .d)( 23223? ? xax x解 : 原式 = ? ? 23)( 22 ax22 dxx21 222 )( aax ??? ??? 21)(21 22 ax )(d 22 ax ?? ??? 23)(2 222axa )(d 22 ax ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )2c o s2c o s21( 241 xx ???例 12 . 求 解 : 224 )( c o sc o s xx ?? 2)2 2c o s1( x??)2c o s21( 2 4c o s141 xx ????)4c o s2c o s2( 212341 xx ????? ? xx dc o s 4 xxx