【正文】 t(u| t0tt 2i0????? 亦即 u(t)的每一個(gè)分量 ui(t)在 Tt上平方可積； ③對(duì)線性定常系統(tǒng)，在 [t0， t1]上考慮與在 [0， t1t0]上考慮是等價(jià)的，即 可控性與 t0無(wú)關(guān)。 b2=0—— x2不可控 b1=0—— 只要 b2≠0， x1可控 即：當(dāng) b2≠0時(shí)，無(wú)論 b1為何值， x1,x2均可控 c1=0—— x1不可觀測(cè) c2=0—— 只要 c1≠0， x2可觀測(cè) 即：當(dāng) c1≠0時(shí)，無(wú)論 c2為何值， x1， x2均可觀測(cè) 例 92 已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式， 4 912 可控性問(wèn)題基本概念 考慮線性時(shí)變系統(tǒng)： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tt t t t t t T? ? ?x A x B u1）狀態(tài)可控 非零初始狀態(tài) 00 x)t(x ? 0)t(x 1 ? 稱狀態(tài) x0 在時(shí)刻 t0 可控。 線性系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)（ 略 ） 2 91 線性系統(tǒng)的可控性與可觀性 911 問(wèn)題的提出 可控性 —— 系統(tǒng)內(nèi)部所有變量的運(yùn)動(dòng)能由 u來(lái)控制，即 u~x的關(guān)系。 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解（ 略 ） 167。 線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性 167。 線性系統(tǒng)的解耦（ 略 ） 167。 b1=0， x1不可控 b2=0， x2不可控 c1=0， x1不可觀 c2=0， x2不可觀 3 ? ???????????????????????xccyubbx01x212111???????????????2211221212111xcxcyubxxubxxx??1/s sX1 X1 λ1 1/s sX2 X2 λ1 U(s) Y(s) c1 c2 b1 b2 顯然， b1,b2,c1,c2≠0， x1,x2既可控又可觀測(cè)。 3）系統(tǒng)不完全可控 狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在 t0時(shí)刻是不可控的。 若狀態(tài) xf對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱 xf為完全可達(dá)或一致可達(dá)。簡(jiǎn)稱可觀測(cè)。通常只用于理論分析、證明。 ??????????????????????????????????????????????????21321321uu111112xxx310020231xxx???解：可控性判別陣為 : ? ?BAABBS 2?可見(jiàn)， rankS=23，系統(tǒng)不可控。 由狀態(tài)方程易知，此時(shí) x2是不可控變量 。 當(dāng) 2121 CC,RR ?? 且時(shí) ， 當(dāng) 2121 CC,RR ?? 且 時(shí)， u R1 R2 i1 R3 x1 iL C1 C2 i2 i3 i4 x2=y 15 u R1 R2 C1 uC1 uC2 C2 解：設(shè) 21 C2C1 ux,ux ?? 得狀態(tài)方程： uCR1CR1xxCR100CR1xx221121221121??????????????????????????????????????????????????????????2222221111)CR(1CR1)CR(1CR1]Abb[S當(dāng) 時(shí) ， rankS=1n， 系統(tǒng)不可控 2121 CC,RR ?? 且由電路圖可知： 時(shí)， 2121 CC,RR ?? 且 21 xx ?即不能通過(guò) u使 x1， x2到達(dá)任意狀態(tài)。 3） PBH判據(jù) (由波波夫、貝爾維奇提出，豪塔斯應(yīng)用 ) u02100110x0500100001000010x?????????????????????????????解： 1） 利用秩判據(jù)： 可控性矩陣 ? ?BABAABBS 32?rank (S) = 4 = n，所以該系統(tǒng)可控。04321 ?????????對(duì)于 有： 021 ????? ????????????????????020500101000010100100010r a n kBAIr a n k 1? ???????????????????????02500101000101010001BAIs02100110?4?18 對(duì)于 有： 51 ??? ? 4025500101500010150100015r a n kBAIr a n k 1 ??????????????????????對(duì)于 有： 51 ???? ? 4025500101500010150100015r a n kBAIr a n k 1 ??????????????????????????滿足 PBH判據(jù)充要條件，所以該系統(tǒng)可控。 ΛA?5） 約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 21 ② 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 （設(shè) 為 m重特征根）， 1?1mmmm1111BB1. ... ..11JA?????????????????????????????????????????????結(jié)論：只要 Bm 不是全零行 ,則系統(tǒng)完全可控。 注：輸入的維數(shù) pλi所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊的塊數(shù)時(shí)，系統(tǒng)可能可控； 輸入的維數(shù) pλi所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊的塊數(shù)時(shí)，系統(tǒng)一定不可控。 1b?? 2b??（ 3） 解： ? ?1b? 1 ??? ?1b? 2 ??26 ??x Ax b u0 1 2 10 1 0 ... 00 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 1...na a a a??????????? ? ? ???A00...0b?????????????????b單輸入： b≠0 ，則系統(tǒng)可控。 ? ? ? ?011DC A BCBS o ???1Sr a n k o ? 輸出可控。 （ 2） ?????????????? ???????? ??1101C0112B1111A解 ： ???????CACr an kVr an k???????????????20111101r a nk n2 ?? 故系統(tǒng)可觀測(cè)。 ? ?x101y,x200120012x ?????????????例 914 C陣的第一列非零，系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測(cè) . 33 只要每個(gè)約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的第一列 線性無(wú)關(guān)，則狀態(tài)完全可觀。 ???????????????????????????????5221211111A???????????010330007042022000010002C??????????002??????????010??????????300??????????321??????????100??????????070 所以，該系統(tǒng)狀態(tài) 完全可觀 。 36 ? ?10.. .0ca1.. .00.. ... ... ... ... .a0.. .10a0.. .01a0.. .00A1n210???????????????????????則 n)V(r a n k1. . .01. . .01000V ?????????????????? 一定可觀 6）能觀標(biāo)準(zhǔn)型 37 917 可控可觀性與傳遞矩陣的關(guān)系 1) SISO系統(tǒng) c(sIA)1 不存在零極點(diǎn)對(duì)消 可觀 ??由 c(sIA)1b導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消 可控可觀 ?(sIA)1b不存在零極點(diǎn)對(duì)消 可控 思考題：研究下列系統(tǒng)可控性、可觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系。 注意：多輸入系統(tǒng)的可控性與 (sIA)1B中有無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消無(wú)關(guān)； 多輸出系統(tǒng)的可觀性與 C(sIA)1中有無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消無(wú)關(guān)。 證明：非奇異變換的不變性 ??????CxyBuAxxS ?：APPPPAPPIλ 111 ??? ????可控標(biāo)準(zhǔn)型、 變換 ?? ?? ? 1PbA可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型、 變換 ?? ?? TPcA(P特征向量構(gòu)成 ) ?????? ??xCPyBuPxAPPxS 11?：AIPP 1 ????? ?AIP 1 ????? ?AIPP 1 ???? ?918 非奇異線性變換的不變性 P變換 1）特征值不變性 xPx ?41 2） 傳遞矩陣不變 (ss ? ? ?? ? ? ?1 1 1G( ) C P I P A P ) P B3）可控性不變 ((ra n k ra n k ? ? ? ? ? ???? ??1 1 1 1 n 1 1S P B P A P ) P B P A P ) P B4）可觀測(cè)性不變 ran k ran k?VV同理可證： BA P )PIPC P ( P 111 ??? ?? sBA)IC( 1??? sBPA ) P ]I([PCP 111 ??? ??? sBPPA)I(C P P 111 ??? ??? s )G(s?? ?BAPBAPABPBP 1n12111 ?????? ?r a n k? ?BAABBP 1n ??? ?1r a n k? ?BAABB 1n ?? ?r a n k Sra nk?42 ????????????????????????1n2101ca. ..aaa1. ..000. ... ... ... ... ..0. ..1000. ..010P A PA??????????????????10. . .00PbbcPa. ..aaa1. ..000. ... ... ... ... ..0. ..1000. ..010PA1n210??????????????????????令 整理： ?????????????n21P...PPP