167132三重積分-全文預(yù)覽
【正文】 ????.s i n)c os,s i ns i n,c oss i n( 2 ???????? ddr drrrrf?drxyzodr??dsinr?rd?d???d?sinr然后把它化成對 的三次積分 ??,r具體計算時需要將 用球坐標系下的不等式組表示 ?積分次序通常是 ?? 后次先 r例 3 計算 ?????? d x d y d zyxI )( 22 ，其中 ? 是 錐面222 zyx ?? ， 與 平面 az ? )0( ?a 所圍的立體 .解一 用球坐標 222 zyx ?? ,4????,20,40,c o s0: ????????????? araz ?? ,c o s ?ar ???? ? ???d x d y d zyxI )( 22 drrdda? ????? ???? 40cos03420 s i n??????? ??da )0c o s(51s i n2 55403.105a??解二 用柱坐標 222 zyx ??? ,rz? ,: 222 ayxD ?? ,20,0,: ????????? arazr?? ???? d x d y d zyxI )( 22 ??? ? ?? ara dzrr d rd 2020? ??? a drrar0 3 )(2 ]54[254 aaa ???? .10 5a??例 4 求曲面 2222 2 azyx ??? 與 22 yxz ?? 所圍 成的立體體積 .解 ? 由錐面和球面圍成， 采用球面坐標， 由 2222 2 azyx ??? ,2 ar ??22 yxz ?? ,4????,20,40,20: ??????????? ar由三重積分的性質(zhì)知 ????? d x d y d zV ,??? ???? ?? a drrddV 20 2020 s i n4??????? 4033)2(s i n2 da.)12(34 3a???若 積分區(qū)域為球體、球殼或其一部分 被積函數(shù)呈 222 zyx ?? 而用球坐標后積分區(qū)域的球坐標方程比較簡單 通常采用球坐標。曲面的面積 ① ．設(shè)曲面的方程為： ),( yxfz ?,Dxoy 面上的投影區(qū)域為在,Dd ??設(shè)小區(qū)域如圖， ,),( ?dyx ?點 ?d),( yxM dAxyzs?o ?.)),(,(的切平面上過為 yxfyxMS?,面上的投影在為 xoydAd ?? ,c os ?? ??? dAd,11c o s22yx ff ????? ????? dffdAyx221曲面 S的面積元素 ,1 22?? ????Dyx dffA ?② ．設(shè)曲面的方程為： ),( zygx ?曲面面積公式為： 。平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 設(shè) xoy 平面上有 n 個質(zhì)點，它們分別位于),(11yx ， ),(22yx ， ,? ),(nnyx 處，質(zhì)量分別為nmmm ,21? ．則該質(zhì)點系對于 x 軸和 y 軸的 轉(zhuǎn)動慣量 依次為 ???niiixymI12， ???niiiyxmI12. 設(shè)有一平面薄片，占有 xoy 面上的閉區(qū)域D ，在點 ),( yx 處的面密度為 ),( yx? ，假定),( yx? 在 D 上連續(xù)，平面薄片對于 x 軸和 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量 x,),(2???Dx dyxyI ??薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量 y.),(2???Dy dyxxI ??7。質(zhì)量 面密度為 f(x,y) 的平面薄片的質(zhì)量 ???DdyxfM ?),(體密度為 f(x,y,z) 的空間體的質(zhì)量 ??
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