【正文】 慮到混沌系統(tǒng)對(duì)參量極端敏感 ,參量的微小變化就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的巨大變化 . 因此如何對(duì)存在參量攝動(dòng)或外界擾動(dòng)的混沌系統(tǒng)進(jìn)行有效的同步 ,對(duì)混沌同步走向應(yīng)用至關(guān)重要。隨著近幾年對(duì)變結(jié)構(gòu)控制的熱門(mén)研究 ,也可以用變結(jié)構(gòu)控制的方法來(lái)進(jìn)行控制量的設(shè)計(jì) [25]。變量反饋微擾同步法的基本思想是在與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) 具有相同形式的復(fù)制系統(tǒng)中增加一反饋?lái)?xiàng)作為響應(yīng)系統(tǒng) ,通過(guò)選擇合適的反饋?lái)?xiàng)使驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)被響應(yīng)系統(tǒng)接收。 混沌同步的種類(lèi)有：完全同步（恒同同步）、部分同步、廣義同步、反同步、滯后同步等等?；煦缤?的一個(gè)重要用途是保密通訊。從驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)發(fā)出的信號(hào)被另一個(gè)混沌系統(tǒng)接收，接收信號(hào)的混沌系統(tǒng)叫做響應(yīng)系統(tǒng)，也叫做從系統(tǒng)。 混沌同步的概念 同步的存在 在人們的日常生活中，同步現(xiàn)象比比皆是，相當(dāng)普遍。無(wú)論哪種狀態(tài) , 當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌過(guò)程后 , 系統(tǒng)或表現(xiàn)為整體的不可預(yù)測(cè)性或表現(xiàn)為局部的不可預(yù)測(cè)性 , 最終的結(jié)果都是不確定的、隨機(jī)的。 初值不同，同一系統(tǒng)的軌道毫不相干。 (3) 混沌具有標(biāo)度不變性，它是一種無(wú)周期的有序，在由分叉導(dǎo)致混沌的過(guò)程中，遵循費(fèi)根包姆常數(shù)系。 除上述對(duì)混沌的定義之外，還有諸如 Smale 馬蹄、橫截同宿點(diǎn)、拓?fù)浠旌弦约胺?hào)動(dòng)力系統(tǒng)等定義。 (2) f 是周期點(diǎn)在 X 中的稠密； 這說(shuō)明混沌的映射具有不可分解性，也就是混沌行為具有稠密的周期軌道，其運(yùn)動(dòng)最終要落在混沌吸引子之中，使其呈現(xiàn)出多種看似混亂無(wú)序卻又頗具規(guī)則的自相似圖像。 根據(jù) LiYorke 定義， 1983 年 Day 認(rèn)為一個(gè)混沌系統(tǒng)應(yīng)具有如下三種性質(zhì)：第一，存在所有階的周期軌道；第二，存在一個(gè)不可數(shù)集合，該集合只含有混沌軌道，且任意兩個(gè)軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，而是兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)，同時(shí)任一軌道布趨向于任一周期軌道，即該集合不存在漸近周期軌道；第三，混沌軌道具有高度的不穩(wěn)定性。( ffff t ?? 表示 t重函數(shù)關(guān)系。 混沌的定義 混沌一詞首先是由美國(guó)數(shù)學(xué)家李天巖（ Li T. Y.）和約克（ J. A. Yorke） 1975年“周期三意味著混沌”一文中提出的，文中給出了有關(guān)混沌的一種數(shù)學(xué)定義 ]2[ 現(xiàn)稱(chēng)為 Li— Yorke 定義： 設(shè)連續(xù)映射 RIIf ??: ,I 是 R 中的一個(gè)子區(qū)間。 混沌是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在一定條件下所表現(xiàn)的一種運(yùn)動(dòng)形式，是系統(tǒng)處于非平衡過(guò)程中所呈現(xiàn)的隨機(jī)行為，因此非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件，但并非任何非線性系統(tǒng)都會(huì)產(chǎn)生混沌，一般認(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)具有下列數(shù)值特征時(shí)則發(fā)生了混沌： （ 1）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡為奇怪吸引子現(xiàn)象； （ 2）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的功率譜具有連續(xù)譜上疊加有尖峰的特點(diǎn)； （ 3）系統(tǒng)中至少有一個(gè)李雅普諾夫（ Lyapunov）指數(shù) 0?? ?；煦邕\(yùn)動(dòng)在相空間的軌跡具有復(fù)雜的拉伸、折疊和收縮的結(jié)構(gòu)，但每一根軌跡不自我重復(fù)又不自我交替，且局限于有限集合，把此稱(chēng)之為奇怪吸引因子。飄動(dòng)的旗幟、奔騰的小溪、飄浮的云彩、閃電的路徑、血管的微觀網(wǎng)絡(luò)、飛機(jī)的起飛降落、船舶在激流險(xiǎn)灘中穿行、石油在管道中的流動(dòng)、大氣和海洋的異常變化、宇宙中的星團(tuán)乃至經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)和人口的增長(zhǎng)等等。 2020年 ,劉崇 ??9新 等又提出一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)亦屬于 Lorenz系統(tǒng)。從而拉開(kāi)了混沌同步方法研究的序幕。這 是一張五彩繽紛、絢麗無(wú)比的混沌圖像 ， 后來(lái)德國(guó)的 Richter P. 和 Peitgen H. 共同研究分形流域的邊界 ， 做出了精美絕倫的混沌圖像 ， 使之成為精致的藝術(shù)品。 1977年，第一次國(guó)際混沌會(huì)議在意大利召開(kāi)，標(biāo)志著混沌學(xué)的誕生 [4]。 1963 年 ,美 國(guó)氣象學(xué)家 LorenzE[1,2,3]用一臺(tái)原始的計(jì)算機(jī)研究氣候的變化時(shí) 發(fā)現(xiàn)確定性方程中出現(xiàn)混 沌現(xiàn)象，并在《大氣科學(xué)》上發(fā)表了“決定性非周流”一文 , 清楚地描述了“對(duì)初始條件的敏感性”這一混沌的基本性態(tài) ,即 著名的“蝴蝶效應(yīng)” ，并以無(wú)限平板間流體對(duì)流運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化模型為基礎(chǔ)提出了 Lorenz方程 [2]。所以我們把一個(gè)存在 難以預(yù)料因果關(guān)系的非線性系統(tǒng)就稱(chēng)為混沌系統(tǒng)。 符 號(hào) 和 注 記 R —— 實(shí)數(shù)域； ?R —— 非負(fù)實(shí)數(shù)域； ?A —— 矩陣 A 的轉(zhuǎn)置； I —— 單位矩陣； )(max A? —— 矩陣 A 的最大特征值； u —— 向量 u 的范數(shù)， uuu ?? ； A —— 向量 A 的范數(shù)， )(m a x AAA ?? ? ； dtduu?? —— 函數(shù) )(tu 對(duì) t 的導(dǎo)數(shù)。 第三章 主要結(jié)果 混沌同步的應(yīng)用 8 混沌的定義 4 混沌的產(chǎn)生 國(guó)內(nèi)混沌學(xué)的發(fā)展 1 混沌系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀 Adaptive control 目錄 符號(hào)和注記 第一章 引言 通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)控制器，利用 Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性理論并通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明得到自適應(yīng)同步的充分條件。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書(shū)館被查閱。2020 年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） Lorenz混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步控制 院 － 系 : 數(shù)學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 專(zhuān) 業(yè) : 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) : 2020 級(jí) 學(xué)生姓名 : 木 三 刀 學(xué) 號(hào) : 202005050141 導(dǎo)師及職稱(chēng) : 李 達(dá) （ 教 授） 2020 年 5 月 2020 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate Synchronization of Lorenz system by adaptive control Department: College of Mathematics Major: Mathematics and Applied Mathematics Grade: 2020 Student’s Name: Mu Sadao Student No.:202005050141 Tutor:Li Da（ Professor） Finished by June, 2020 畢業(yè)論文 （ 設(shè)計(jì) ） 原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的畢業(yè)論文 （ 設(shè)計(jì) ） 是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。 作者簽名： 日期： 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說(shuō)明 本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門(mén)送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 日期： 李 雪 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì) (答辯小組 )成員名單 姓名 職稱(chēng) 單位 備注 主席（組長(zhǎng)） 摘要 本文考慮 Lorenz混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步問(wèn)題。 Lyapunov function。 國(guó)外混沌學(xué)的發(fā)展 4 同步的存在 10 混沌同步的方法 隨機(jī)因素對(duì)混沌同步的 影響 魯棒性介紹 數(shù)理混沌理論認(rèn)為，非線性是混沌系統(tǒng)之所以不穩(wěn)定或出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的根本原因。該猜想將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與拓?fù)鋵W(xué)兩大領(lǐng)域結(jié)合 , 指出混沌存在的可能性。隨之 , 1976 年美國(guó)生物學(xué)家 May R. 在《自然》雜志上發(fā)表了“具有極復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型”一文 , 它向人們表明了混沌理論的驚人信息 , 簡(jiǎn)單的確定的數(shù)學(xué)模型竟然也可以產(chǎn)生看似隨機(jī)的行為。 1980 年 ， 美國(guó)數(shù)學(xué)家 Mandelbrot B. 用計(jì)算機(jī)繪出第一張 Mandeibrot 集圖像。 1990 年 ,佩考拉（ L. M. Pecora）和卡羅 爾（ J. L. Carroll）為了闡明在實(shí)驗(yàn)中觀察到的混沌同步現(xiàn)象 ,利用混沌動(dòng)力學(xué)的特殊屬性，構(gòu)成優(yōu)良的混沌擴(kuò)頻序列， 對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及同步原理進(jìn)行了分析 ,導(dǎo)出了混沌同步的驅(qū)動(dòng)— 響應(yīng)同步原理（即 pc同步 [5]原理）。 1999年，陳觀榮 [7]在混沌系統(tǒng)反控制中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)與 Lorenz系統(tǒng)并不拓?fù)涞葍r(jià)的新混沌吸引子 Chen系統(tǒng)； 2020年呂金虎和 Chen[8]又通過(guò)混沌反控制思想發(fā)現(xiàn)了 Lu 系統(tǒng)。 混沌 的特性 混沌的產(chǎn)生 所謂混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無(wú)規(guī)則、類(lèi)似隨機(jī)的現(xiàn)象。而混沌運(yùn)動(dòng)是指在確定性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)，是在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的無(wú)規(guī)則性或隨機(jī)性（是系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)性，也稱(chēng)之為偽隨機(jī)性），所謂高度不穩(wěn)定是指相鄰的軌道隨時(shí)間的發(fā)展會(huì)產(chǎn)生指 數(shù)分離。著名物理學(xué)家 曾說(shuō)：“相對(duì)論消 除了關(guān)于絕對(duì)空間與時(shí)間的幻想；量子力學(xué)則消除了關(guān)于可控測(cè)量過(guò)程牛頓式的夢(mèng)；而混沌則徹底消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式可測(cè)性的幻想”。 混沌是一種非常普遍的非線性現(xiàn)象，在大量的動(dòng)力系統(tǒng)中都發(fā)現(xiàn)存在混沌行為，例如 純數(shù)學(xué)、時(shí)空理論、湍流、淺水波的強(qiáng)迫振動(dòng)、非線性振蕩電路、量子力學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、等離子體物理、超導(dǎo)理論、位錯(cuò)理論、非線性振動(dòng)、相變理論、微波理論、固體物理、統(tǒng)計(jì)物理、天文學(xué)、廣義相對(duì)論、地磁場(chǎng)理論、化學(xué)、氣象學(xué)、工程模型、協(xié)同學(xué)、 生態(tài)學(xué)、群體動(dòng)力學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué) 生物工程、信息過(guò)程、信息保密通信 ，以及進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和工程管理 等。((()因此 LiYorke 定義的缺陷在于集合 S 的勒貝格測(cè)度有可能為零，即這時(shí)混沌是不可觀測(cè)的，而人們感興趣的則是可觀測(cè)的情行，即此時(shí) S 有一個(gè)正的測(cè)度。 這說(shuō)明混沌 系統(tǒng)不能被細(xì)分或不能被分解為兩個(gè)在 f 下相互影響的子系統(tǒng)，其軌道具有規(guī)律性的成分。 這說(shuō)明混沌的預(yù)測(cè)具有不可預(yù)測(cè)性，如果初值具有一極微小的變化，在短時(shí)間內(nèi)的結(jié)果還可以預(yù)測(cè)，但通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的演化后，它的狀態(tài)根本無(wú)法確定，即差之毫厘、失之千里，這就是著名的“蝴蝶效應(yīng)”。 (2) 混沌具有分形的性質(zhì)，各種奇怪吸引子都具有分形結(jié)構(gòu)，由分維數(shù)來(lái)描述其特征。意思是系統(tǒng)的演化對(duì)初始條件十分敏感。 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)所呈現(xiàn)的雜亂無(wú)章的混亂狀態(tài) , 稱(chēng)為平衡態(tài)混沌 ,。第二 , 不同系統(tǒng)之間跨尺度的相似值 , 即所謂的普適性 , 普適性具體表現(xiàn)為復(fù)雜形狀尺度變換現(xiàn)象 , 即物體在不同尺度觀察時(shí) , 它們所持有的不規(guī)則性 (即分維 ) 是完全不變的 。 混沌同步的定義 混沌同步即是 有兩個(gè)混沌系統(tǒng)，其中一個(gè)叫做驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，也叫做主系統(tǒng)。 混沌同步的方法 混沌同步是現(xiàn)在各學(xué)科領(lǐng)域中的一個(gè)熱門(mén)課題，各種混沌同步方法的提出與實(shí)現(xiàn)，使混沌同步在物理、保密通信、生物學(xué)、信息科學(xué)、化學(xué)反應(yīng)等領(lǐng)域有了廣泛的應(yīng)用情景。從驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)發(fā)出的信號(hào)被另一個(gè)混沌系統(tǒng)接收，接收信號(hào)的混沌系統(tǒng)叫做響應(yīng)系統(tǒng)，也叫做從系統(tǒng)。其中一個(gè)叫做驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，也叫做主系統(tǒng)；另一個(gè)叫做響應(yīng)系統(tǒng)，也叫做從系統(tǒng)。 (1) 變量反饋微擾同步方法。還有一種方法是稱(chēng)為反向單步設(shè)計(jì)的方法 [24],是通過(guò)構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)和控制量的設(shè)計(jì)交替進(jìn)行的一種遞歸方法。 (2) 自適應(yīng)同步方法。其中混沌同步的一個(gè)重要用途是保密通訊。因?yàn)榫哂袑拵?