【正文】 ? n + 1z = rn! 1 ds2 π ( 1 z ) z≤,)1( ! nrrn?? ,1 ?? n nr取 不等式即證 . 一、調(diào)和函數(shù)的定義 定義 . ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域那末稱并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具在區(qū)域如果二元實(shí)變函數(shù)DyxyxDyx?????????? 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實(shí)際問題中有很重要的應(yīng)用 . 第七節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 1. 兩者的關(guān)系 定理 任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù) ,它的實(shí)部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù) . 證 ,)( 內(nèi)的一個解析函數(shù)為設(shè) Divuzfw ???. , xvyuyvxu ???????????那末. , 222222yxvyuxyvxu?????????????從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理 , , 數(shù)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)與 vu,0 2222?????? y ux u從而 ,0 2222?????? y vx v同理 . 都是調(diào)和函數(shù)與因此 vu [證畢 ] , 22yxvxyv???????,yxu xyu 22???????. , , ,的共軛調(diào)和函數(shù)稱為兩個調(diào)和函數(shù)中的內(nèi)滿足方程在換句話說uvxvyuyvxuD???????????2. 共軛調(diào)和函數(shù)的定義 . ),( ),( , ),( 的共軛調(diào)和函數(shù)稱為函數(shù)內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和在們把使我內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域設(shè)yxuyxvDivuDyxu? 區(qū)域 D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù) . 3. 偏積分法 如果已知一個調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)成一個解析函數(shù) u+vi. 這種方法稱為 偏積分法 . 解 例 1 . ),( , 3),( 23數(shù)和由它們構(gòu)成的解析函其共軛調(diào)和函數(shù)并求為調(diào)和函數(shù)證明yxvyxyyxu ??,6 xyxu ????因?yàn)?,6 22yx u ????,33 22 xyyu ???? ,6 22yyu ???,0 2222?????? y ux u于是 . ),( 為調(diào)和函數(shù)故 yxu,6 xyxuyv ???????因?yàn)??? yxyv d6 ),(3 2 xgxy ???),(3 2 xgyxv ??????yuxv?????? 又因?yàn)?,3322 xy ????? xxxg d3)( 2故 ,3 cx ?? ,3),( 23 cxyxyxv ???)(3 2 xgy ??? ,33 22 xy ???得一個解析函數(shù) ).3(3 2323 cxyxiyxyw ?????這個函數(shù)可以化為 ).()( 3 czizfw ???答案 課堂練習(xí) . , 236),( 3223并求其共軛調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)為證明 yxyyxxyxu ????.263),( 3322 cxyxyyxyxv ?????) ( 為任意常數(shù)c) ( 為任意常數(shù)c4. 不定積分法 . ,),( ),( 不定積分法求解析函數(shù)的方法稱為用不定積分或已知調(diào)和函數(shù) yxvyxu不定積分法的實(shí)施過程 : , )( )( 仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析函數(shù) zfivuzf ???xx ivuzf ??? )( 且 yx iuu ?? xy ivv ?? , 來表示用與把 zivviuu xyyx ??),()( zUiuuzf yx ???? ),()( zVivvzf xy ????將上兩式積分 , 得 ,d)()( czzUzf ?? ? ,d)()( czzVzf ?? ? ,)( zfu 求適用于已知實(shí)部 ,)( zfv 求適用于已知虛部例 2 ).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的并求為解析函數(shù)使再求為調(diào)和函數(shù)使值求??????解 根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得 ,1??k,2 xxu ???因?yàn)?,2 22???xu,2 kyyu ??? ,2 22kyu ???yx iuuzUzf ???? )()( 因?yàn)?ky ix 22 ??ky ix 22 ?? yix 22 ?? ,2z?zzzf d2)( ??根據(jù)不定積分法 ,2 cz ?? ,1)( ??if由 ,0 ?c得所求解析函數(shù)為 .2)( 222 zxy iyxzf ????用不定積分法求解例 1中的解析函數(shù) yx iuuzUzf ???? )()()2(3 22 yxy ixi ??? ,3 2iz??? zizzf d3)( 2,13 ciz ?? ) , , )( (1 為任意純虛數(shù)所以常數(shù)實(shí)的任意常數(shù)不可能包含的實(shí)部為已知函數(shù)因?yàn)閏zf例 3 .3),( 23 yxyyxu ??實(shí)部解 ) ( 為任意實(shí)常數(shù)c ).()( 3 czizf ??故)(zf已知 求解解析函數(shù) xy ivvzVzf ???? )()(注意：利用偏積分方法也能得到相同的結(jié)果 。125 i??? , )1( )2( 22 處不解析內(nèi)的在函數(shù) izCz ez???1C2Cxyo??i Ci? , 1CiC 為中心作一個正向圓周內(nèi)以在 , 2Ci 為中心作一個正向圓周以 ? , , )1( 2122圍成的區(qū)域內(nèi)解析在由則函數(shù) CCCze z?1C2Cxyo??i Ci?根據(jù)復(fù)合閉路定理 ? ?Czzz e d)1( 22 ?? ????21d)1(d)1( 2222CzCzzz ezz e? ?1 d)1( 22Czzz e ? ???1d)()(22Czzizizeizzizei???????????? 2)()!12(2,2 )1( ???iei1C2Cxyo??i Ci?? ?2 d)1( 22Czzz e同理可得 ,2 )1( ????? iei? ?Czzz e d)1( 22于是 ??? 2 )1( iei ???? ?2 )1( iei))(1(2 ii ieei ?????)1s i n1( c o s)1(2 2 ???? i.41sin2 ?????? ??? i例 2 解 .31)2(。ds i n21( 1 ) zzzzzzzzi求下列積分??? 4ds i n2 1( 1 )zzz zi , s i n)( 在復(fù)平面內(nèi)解析因?yàn)?zzf ? , 4 0 內(nèi)位于 ?? zz???????? ???4.d3211)2(zzzz???? ????44d32d11zzzzzz 2212 ?????? ii.6 i????? 4ds i n2 1zzz zi 。→ C→A A 39。d)(d)()2( 為常數(shù)kzzfkzzkf CC ?? ?。3221 i??xyoi??11i2xy?(3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成 x軸上直線段的參數(shù)方程為 ),10()( ??? tttz1到 1+i直線段的參數(shù)方程為 ),10(1)( ???? tittz,dd,Re tztz ??于是,dd,1Re tizz ??于是?C zzdRe ?? ?10 d tt ? ?10 d1 ti.21 i??例 3 解 .2 : ,d ?? zCzzC 圓周為其中計算積分路徑的參數(shù)方程為 ),π20(2 ??? ??iez ?? d2d iiez ??C zz d ? ?? π20 d22 ??iie )2( ?z因?yàn)? ?? π20 d)s i n( c o s4 ??? ii.0?例 4 解 . ,