【正文】 出現(xiàn)了小幅轉(zhuǎn)動，相空間的軌線在特定的區(qū)域無規(guī)則地繞來繞去，開始出現(xiàn)混沌運動的趨勢。由此可見，如果驅(qū)動力的振動周期用 T 表示，隨著驅(qū)動幅度的增加，復(fù)擺運動出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，由 1 2 4TTT??，相空間的環(huán)面由 1 環(huán)分岔到 2 環(huán)， 2環(huán)再分岔到 4 環(huán)。取無量綱阻尼系數(shù) ?? ，無量綱驅(qū)動力頻率 1?? ，模擬結(jié)果顯示，在 f 較小時，相空間的軌線接近圓形，且正負半周比較對稱，如圖 36(a)所示，此時復(fù)擺仍然是穩(wěn)定的單倍周期運動，即振動周期與驅(qū)動力的周期相同。我們利用 Matlab 軟件中的 ode45 命令來對非線性方程 (41)求解，然后作圖。 有 驅(qū)動力有阻尼的復(fù)擺運動，受迫運動 復(fù)擺在角位移較小的情況下可作為理想的線性諧振子來處理，但如果考察其在驅(qū)動力作用下任意角位移下的運動，并考慮阻力，則其運動方程中將出現(xiàn)非線性項。但實際上過這一點很難實現(xiàn)，因為平衡點是不穩(wěn)定的。如果初始值0dd????和 0? 較小，復(fù)擺不能到達 (? ,0)位置時，這時它只在 平衡位置 (0,0)附近左右擺動，最后靜止于 (0,0)。由于中心點是不動點，所以又稱不動點吸引子或者定常吸引子。模擬時取無量綱阻尼系數(shù) ? =，無量綱驅(qū)動力振幅 f =0，結(jié)果顯示在圖 34 中。 圖 32 復(fù)擺作簡諧振動時的振動曲線和相軌跡 (2)任意角度復(fù)擺運動 將式乘以 d? 作積分，可得： 21 cos2 d Ed? ?????????? (37) 整理可得： 2( c os )d Ed? ?? ? ? ? (38) 利用 Matlab 畫出復(fù)擺在不同初始值下對應(yīng)運動狀態(tài)變化情況的相圖。 由 (36)式可作出復(fù)擺的角速度 dd??與角位移 ? 的 關(guān)系圖像，即復(fù)擺作簡諧振動的相圖為一個圓。通過對 ? 和 f 參數(shù)的調(diào)節(jié)，我們分別模擬研究復(fù)擺的無驅(qū)動無阻尼振動、阻尼振動、有外力驅(qū)動時的周期運動和混沌運動。 復(fù)擺運動模型與振動方程 對如圖 1 所示的圓形復(fù)擺，設(shè)其質(zhì)量為 m ；對轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動慣量為 I ；質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸 O的距離為 h 。實際上，當(dāng)復(fù)擺在驅(qū)動力矩及阻尼力矩的作用下，將出現(xiàn)復(fù)雜的非線性運動，而且在一定的條件下可通過倍周期分岔逐漸進入到混沌運動狀態(tài) [7]。 本章給出了用 Matlab 進行混沌演示的一些基本程序，包括產(chǎn)生標準的混沌信號及其吸引子，演示非線性系統(tǒng)進入混沌的途徑，以及混沌的初值敏感性。 167。 plot(t,y1(:,1),39。)。lorenz39。 圖 24 兩條取不同初值的 洛淪茲信號 軌跡 我們可以用程序 所產(chǎn)生的洛淪茲信號來演示初值敏感性。因此，混沌系統(tǒng)具有極強的初值敏感性。 初值敏感性 描述混沌動力系統(tǒng)的微分方程、差分方程或迭代方程都是確定性方程，沒有概率性的因素。而當(dāng) ? 值為 時，系統(tǒng)經(jīng)過開始的不穩(wěn)定階段后，趨于穩(wěn)定的振蕩，在兩個定位之間來回跳越，進人了周期為 2 的軌道。 %設(shè)定入值 x(1)=。在 ? 3 以后，系統(tǒng)開始進入周期狀態(tài)，開始周期為2，隨著 ? 值的變大，不斷發(fā)生倍周期分岔。 %迭代初值 hold on?？梢杂妹枋鱿x日模型的 Logistic 方程來演示一個動力學(xué)系統(tǒng)是如何通過倍周期分岔從規(guī)則運動進人混沌運動的。,[0 30],[12,2,9])。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)?；煦缦到y(tǒng)存在混沌吸引子，洛淪茲吸引子就是著名的蝶形圖。洛倫茲提出了一個簡化的天氣預(yù)報模型，這就是著名的洛倫茲方程組： ()()x a y xy b z x yz xy cz????? ? ?????? (21) 這個簡化模型是一個完全確定的方程組。在各種軟件中， Matlab 是非常適合混沌的演示和仿真實驗的。也正由此導(dǎo)致后來“混沌”理論的誕生。但他的方程對這些微小的不同卻是極其敏感的，他把這種現(xiàn)象叫作“蝴蝶效應(yīng)”。因為他們認為，極小的影響和變化、差別是可以忽略不計的，事物運動之中都具有一定的收斂性，極小的差別不會引起大的影響。 167。 如果繼續(xù)迭代下去，其結(jié)果仍然是在 8X 和 9X 上循環(huán)，這就是說，其迭代的結(jié)果可能是兩個，我們就叫“分岔”，像這樣有兩個結(jié)果的就叫“二周期”。這就說明，微小的初始條件的變化，可能引起不同的結(jié)果，這就是初始條件的敏感性。 簡單的數(shù)學(xué)游戲 (1)令 1 2nnXX? ? ，如果是利用二進制，按 Modell（去掉整數(shù)，只留小數(shù)的操作）進行迭代 [21]，我們來看看其結(jié)果如何。這種隨機性又不同于傳統(tǒng)的隨機性理論研究的隨機性問題，因為它又有一定的確定性。經(jīng)典物理的確定論和近代量子物理的隨機論，雖然都非常成功地解決了許多自然現(xiàn)象，但是這兩種理論之間似乎存在著對立的矛盾，只適宜于不同的領(lǐng)域。 例 3 質(zhì)點在萬有引力作用下的運動 ， 應(yīng)用了 Matlab 的 基本運算功能，基本繪圖功能，在一個窗口下繪制多條圖形，并且利用 Matlab 的 ode45 命令求解常微分方程，最后 總結(jié)了 Matlab 的 ode45 命令 解常微 分方程的一般過程。 本章小結(jié) 本章首先對 Matlab 進行了簡單介紹，介紹了 Matlab 的發(fā)展及應(yīng)用前景， 然后詳細介紹了基本運算功能，基本繪圖功能，數(shù)值分析功能，并且簡單介紹了 M 文件的編寫及 Matlab 的程序調(diào)試。 %ydot 表示 dy/dt 下面介紹 ode45 命令的用法， ode45 的一般調(diào)用格式為： [T,Y]=ode45(39。yxlcfun39。25 6 0]。 p*y(3)/sqrt(y(1).^2+y(3).^2).^3]。 %選擇灰度色圖 mesh(X,Y,I)。 %開辟圖形窗口 plot(x,I)。 %計算 sin(θ) arfa=pi*a*sinsita./lamda。 %光的波長 x=::。d=a+b。 mesh 是三維網(wǎng)格 作圖命令， mesh(x,y,z)畫出了每一個格點 (x, y)上對應(yīng)的z 值（電勢）。 5::5,4::4 分別是選取橫坐標與縱坐標的一系列數(shù)值，meshgrid 是生成數(shù)據(jù)網(wǎng)格的命令， [x,y]是 xy 平面上的坐標網(wǎng)格點。 在命令窗口中輸入： () 9 [x,y]=meshgrid(5::5,4::4)。 子程序文件的格式特征如下： (1)由 Function 起頭，后跟的函數(shù)名必須與文件名相同； (2)由輸入輸出變量，可進行變量傳遞； (3)除非用 global 聲明，程序中的變量均為局部變量，運行后不保存在工作空間中。 167。,0,1) ans = 用 Matlab 的 ODE 命令求解常微分方程， Matlab 解常微分方程組的能力很強而且很方便，對于我們在普通物理學(xué)中遇到的大多數(shù)動力學(xué)方程都可以用命 ode45 求解 [3]。 求方程 : 4 3 23 7 9 23 0x x x? ? ? ?的全部根。axis equal tight 圖 14 在 axis 命令后加不同的字符串控制 表 14 中是一些改變目前圖軸長寬比的命令，這些命令必須在 plot 之后調(diào)用才能發(fā)揮作用。axis square subplot(2,2,3)。 subplot(2,2,1)。plot(x,x.^2)。plot(x,cos(x))。plot3(x,y,z) 5 圖 12 用 plot3 命令畫出的三維空間曲線 在一個窗口產(chǎn)生多個圖形，可在 plot 命令之前加上 subplot 程序命令： subplot(m,n,p)，表示將窗口劃分為 mn 個區(qū)域，而下一個命令 plot 命令則會繪圖與第 p 個區(qū)域，其中 p 的算法從左向右，一行一行算起，例如： x=0::4*pi。r39。y39。y39。my first plot39。 繪圖功 能 Matlab 的 plot 是最基本的繪圖命令，可以對一組 x 坐標及相應(yīng)的 y 坐標，進行描點繪圖。)隔開的數(shù)個表達式。例如： (5*2+)/5 ans = 說明： 若不想讓 Matlab 每次都顯示運算結(jié)果，只需在表達式最后加上分號(。Matlab 的界面是一個 web 瀏覽器形式的工作環(huán)境，如圖 11 所示。 Matlab 的主界面是一個高度集成的工作環(huán)境 [1]，有 4 個不同職責(zé)分工的窗口 [3] 。在設(shè)計研究單位和工業(yè)開發(fā)部門， Matlab 被廣泛的應(yīng)用于研究和解決各種具體問題。 2 第一章 Matlab 基礎(chǔ)及應(yīng)用 167。 Matlab 是集數(shù)值運算、符號運算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件，具 有很高的編程效率，在線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值計算及優(yōu)化、系統(tǒng)動力學(xué)、建模與仿真等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用?；煦邕\動是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運動狀態(tài)，是一種貌似隨機的不規(guī)則運動，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽為繼相對論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 有驅(qū)動力有阻尼的復(fù)擺運動， 受迫運動 .......... 27 IV 167。 復(fù)擺運動模型與振動方程 ....................................................... 22 167。 用 Matlab 產(chǎn)生標準的混沌 信號 ................. 16 167。 混沌理論 .................................................................................... 14 167。 數(shù)值分析 ..................................... 7 167。 Matlab 簡介 ................................................................................... 2 167。 混沌理論研究的是非線性問題，難以用解析式表達，只能采用數(shù) 值解法，而 Matlab 在這方面便可展示其強大的潛能。 I 畢業(yè)論文 基于 Matlab 的復(fù)擺混沌行為研究 摘 要 自然界中 存在無數(shù)的 無序、非平衡和隨機的 復(fù)雜系統(tǒng) 。 Matlab 是一個適用于科學(xué)計算、工程設(shè)計、數(shù)值分析等領(lǐng)域的各種計算、演算和仿真分析的高性能的優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件。 and use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from perioddou bling bifurcation to chaos. KEY WORDS: Chaos, Matlab,pound pendulum,bifurcation,strange attractor III 目 錄 前 言 ......................................................................................................... 1 第一章 Matlab 基礎(chǔ)及應(yīng)用 ................................................................... 2 167。 繪圖功能 ..................................... 4 167。 本章小結(jié) .................................................................................... 13 第二章 混沌行為與特性 .......................................................................14 167。 用 Matlab 演示混沌的基本性質(zhì) .............................................. 16 167。 本章小結(jié) .