初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽練習(xí)題-全文預(yù)覽
【正文】 a3, 奇 a6=3a5a4, 奇 ? ????? 由此可知： 當(dāng) n 被 3 除余 1 時(shí)， an是偶數(shù)； 當(dāng) n 被 3 除余 0 時(shí)，或余 2 時(shí)， an是奇數(shù)，顯然 a70是 3k+1 型偶數(shù)，所以 k 必須是奇數(shù)，令 k=2n+1，則 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 解 設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為 a，五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10≤a≤35,10≤b≤35) ，則 a+b=45，又十位數(shù)能被 11 整除，則 ab 應(yīng)為 0， 11，22（為什么？） .由于 a+b 與 ab 有相同的奇偶性，因此 ab=11 即 a=28， b=17. 要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù) 9876，由于偶數(shù) 位五個(gè)數(shù)字之和是 17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個(gè)數(shù)字之和只能是 1714=3，這三個(gè)數(shù)字只能是 2， 1， 0. 故所求的十位數(shù)是 9876524130. 例 6（ 1990 年日本高考數(shù)學(xué)試題）設(shè) a、 b 是自然數(shù)，且有關(guān)系式 123456789=（ 11111+a）（ 11111b）， ① 證明 ab 是 4 的倍數(shù) . 證明 由 ① 式可知 11111（ ab） =ab+4617 ② ∵a ＞ 0,b＞ 0,∴a b＞ 0 首先，易知 ab 是偶數(shù)，否則 11111(ab)是奇數(shù)，從而知 ab 是奇數(shù)，進(jìn)而知 a、 b都是奇數(shù)，可知 (11111+a)及 (11111b)都為偶數(shù)，這與式 ① 矛盾 其次，從 ab 是偶數(shù)，根據(jù) ② 可知 ab 是偶數(shù)，進(jìn)而易知 a、 b 皆為偶數(shù)，從而 ab+4617是 4 的倍數(shù)，由 ② 知 ab 是 4 的倍數(shù) . 例 7（第 10 屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）在 33 的正方格（ a）和（ b）中，每格填 “+” 或 “ ” 的符號(hào)，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問(wèn)重復(fù)若干次這樣的 “ 變號(hào) ” 程序后，能否從一張表變化為另一張表 . 解 按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察 下面填法： 在黑板所示的 22 的正方形表格中，按題設(shè)程序 “ 變號(hào) ” ， “+” 號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè) . 表 (a)中小正方形有四個(gè) “+” 號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后， “+” 的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表 (b)中小正方形 “+” 號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè) . 顯然，小正方形互變無(wú)法實(shí)現(xiàn)， 33 的大正方形的互變， 更無(wú)法實(shí)現(xiàn) . 例 8（第 36 屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）將奇正數(shù) 1， 3， 5， 7? 排成五列，按右表的格式排下去， 1985 所在的那列，從左數(shù)起是第幾列？（此處無(wú)表） 解 由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而 1985=4496+1 ，因此 1985 是第 497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起， 1985 在第二列 . 例 9 如圖 31，設(shè)線段 AB 的兩個(gè)端點(diǎn)中，一個(gè)是紅點(diǎn)，一個(gè)是綠點(diǎn)，在線段中插入n 個(gè)分點(diǎn)，把 AB 分成 n+1 個(gè)不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)為紅點(diǎn)而另 一個(gè)為綠點(diǎn)的話，則稱它為標(biāo)準(zhǔn)線段 . 證明 不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇數(shù) . 分析 n 個(gè)分點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用 A、 B 分別表示紅、綠點(diǎn)； 不難看出：分點(diǎn)每改變一次字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從 A 點(diǎn)開(kāi)始，每連續(xù)改變兩次又回到 A，現(xiàn)在最后一個(gè)字母是 B，故共改變了奇數(shù)次，所以標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)必為奇數(shù) . 例 10（第 2 屆 “ 從小愛(ài)數(shù)學(xué) ” 賽題）圖 32 是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸 . （ 1）如果 P 點(diǎn)在岸上，那么 A 點(diǎn)在岸上還是在水中？ （ 2）某人過(guò)這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋 .如果有一點(diǎn) B，他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù)，那么 B 點(diǎn)是在岸上還是在水中？說(shuō)明理由 . 解 （ 1）連結(jié) AP，顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而 A 點(diǎn)必在水中 . （ 2）從水中經(jīng)過(guò)一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為 2，由于 A 點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見(jiàn) B 點(diǎn)必在岸上 . 例 11 書店有單價(jià)為 10 分， 15 分， 25 分， 40 分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了 30 張，其中某兩種各 5 張，另兩種各 10 張，問(wèn)小華買賀年片花去多少錢？ 分析 設(shè)買的賀年片分別為 a、 b、 c、 d（張），用去 k 張 1 元的人民幣，依題意有 10a+15b+25c+40d=100k,(k 為正整數(shù) ) 即 2a+3b+5c+8d=20k 顯然 b、 c 有相同的奇偶性 . 若同為偶數(shù)， bc=10 和 a=b=5， 不是整數(shù)； 若同為奇數(shù)， b=c=5 和 a=d=10,k=7. 例 12 一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每 相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇任何路線任意參觀若
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1