【正文】 表： 品種甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品種乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù) nxxx , 21 ??? 的的樣本方差 ])()()[(1 222212 xxxxxxns n ?????????? ，其中 x為樣本平均數(shù)． 解： （ I） X 可能的取值為 0， 1， 2， 3， 4，且 481344482244483144484811( 0) ,708( 1) ,3518( 2) ,358( 3 ) ,3511( 4) .70PXCCCPXCCCPXCCCPXCPXC? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 即 X 的分布列為 ………………4分 X 的數(shù)學(xué)期望為 1 8 18 8 1( ) 0 1 2 3 4 35 35 35 70EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………6 分 （ II）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 2 2 2 2 2 2 2 21 ( 403 397 390 404 388 400 412 406 ) 400 ,81 ( 3 ( 3 ) ( 10) 4 ( 12) 0 12 6 ) 57. 25.8xS? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲甲 ………………8 分 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 ( 419 403 412 418 408 423 400 413 ) 412 ,81 ( 7 ( 9) 0 6 ( 4) 11 ( 12) 1 ) 56.8xS? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙乙 ………………10 分 由以上結(jié)果可 以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙 . 25.（全國大綱理 18）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為 0． 5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為 0． 3,設(shè)各車主購買保險相互獨立 （ I）求該地 1 位車主至少購買甲、乙兩種保險中的 l 種的概率； （Ⅱ） X 表示該地的 l00 位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。 因為 ( ) 0 . 6 , ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5 ,P D P E P F? ? ? 由對立事件的概率公式知 ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5 ,P D P E P F? ? ? 紅隊至少兩人獲勝的事件有： , , , .D E F D E F D E F D E F 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立， 因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 ( ) ( ) ( ) ( )0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 50 . 5 5 .P P D E F P D E F P D E F P D E F? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ II）由題意知 ? 可能的取值為 0， 1， 2， 3。某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標(biāo)準(zhǔn)為 2 元（不足 1 小時的部分按 1 小時計算）。 （Ⅰ）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率； （Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量 ? ，求 ? 的分布列與數(shù)學(xué)期望E? ； 解：（ 1）所付費用相同即為 0,2,4 元。各租一車一次。 （Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ （Ⅱ）用 X 表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選 擇方案，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 解：記 A 表示事件：該地的 1 位車主購買甲種保險； B 表示事件：該地的 1 位車主購買乙種保險但不購買甲種保險； C 表示事件：該地的 1 位車主至少購買甲、乙兩種保險中的 1 種； D 表示事件：該地的 1 位車主甲、乙兩種保險都不購買； （ I） ( ) 0 .5 , ( ) 0 .3 , ,P A P B C A B? ? ? ? ???? 3 分 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 .8 .P C P A B P A P B? ? ? ? ? ???? 6 分 （ II） , ( ) 1 ( ) 1 0. 8 0. 2 ,D C P D P C? ? ? ? ? ? ~ (100, )XB ，即 X 服從二項分布， ???? 10 分 所以期望 100 ? ? ? ???? 12 分 26.（全國新課標(biāo)理 19）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于 102 的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為 A 配方和 B 配方）做試驗，各生產(chǎn)了 100 件這種產(chǎn)品，并測量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得 到時下面試驗結(jié)果： A 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90， 94） [94， 98） [98， 102） [102， 106） [106， 110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90， 94） [94， 98） [98， 102） [102， 106） [106， 110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 （ I）分別估計用 A 配方， B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （ II）已知用 B 配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤 y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值 t 的關(guān)系式為 2, 942, 94 1024, 102tytt????? ? ????? 從用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利 潤記為 X（單位：元）．求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）． 解 （Ⅰ）由試驗結(jié)果知，用 A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為 22 8=? ，所以用 A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為 ． 由試驗結(jié)果知，用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 32 10 ? ? ，所以用 B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為 （Ⅱ）用 B 配 方 生 產(chǎn)的 100 件 產(chǎn) 品中 ， 其 質(zhì) 量指 標(biāo) 值 落 入?yún)^(qū) 間? ? ? ? ? ?9 0 , 9 4 , 9 4 ,1 0 2 , 1 0 2 ,1 1 0的頻率分別為 ， 054， ，因此 P(X=2)=， P(X=2)=， P(X=4)=， 即 X 的分布列為 X － 2 2 4 P X 的數(shù)學(xué)期望值 EX=2+2+4= 27.（山東理 18）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員 A、 B、 C 進行圍棋比賽，甲對 A，乙對 B，丙對 C 各一盤，已知甲勝 A，乙勝 B，丙勝 C 的概率分別為 ,，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。 解：（ 1） 98 7, 5 7 3514 ? ? ?，即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為 35 件。41)20( ???? YPYP 所以隨機變量 Y 的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P 81 41 41 41 81 EY=17P（ Y=17） +18P（ Y=18） +19P（ Y=19） +20P（ Y=20） +21P（ Y=21）=1781 +1841 +1941 +2041 +2181 =19 22.（福建理 19）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成 8個等級，等級系數(shù) X依次為 1,2，??，8，其中 X≥ 5 為標(biāo)準(zhǔn) A， X≥為標(biāo)準(zhǔn) B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) A 生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為 6 元 /件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) B 生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為 4 元 /件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) （ I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù) X1 的概率分布列如下所示： 1x 5 6 7 8 P 0． 4 a b 0． 1 且 X1 的數(shù)字期望 EX1=6，求 a， b 的值； （ II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù) X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取 30 件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù) X2 的數(shù)學(xué)期望． （ III）在（ I）、（ II）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理 由． 注：（ 1）產(chǎn)品的“性價比” = 產(chǎn)品的零售價 期望產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué) ； （ 2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性． 解：本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分 13 分。4354 10988 ?????x 方差為 .1611])43510()4359()4358()4358[(41 22222 ?????????s （Ⅱ）當(dāng) X=9 時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是： 9， 9， 11， 11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是： 9， 8， 9， 10。 解：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識 . 解：（ I）無論以怎樣的順序派 出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是 )1)(1)(1( 321 ppp ??? ，所以任務(wù)能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關(guān)， 并等于 .)1)(1)(1(1 321133221321321 ppppppppppppppp ??????????? （ II）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為 321 , qqq 時，隨機變量 X的分布列為 X 1 2 3 P 1q 21)1( qq? )1)(1( 21 qq ?? 所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望） EX 是 .23)1)(1(3)1(2 212121211 qqqqqqqqqEX ?????????? （ III）（方法一）由（ II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時， .23 2121 ppppEX ???? 根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值 . 下面證明：對于 321 , ppp 的任意排列 321 , qqq ，都有 ???? 212123 qqqq ,23 2121 pppp ??? …………………… （ *） 事實上， )23()23( 21212121 ppppqqqq ????????? .0)]())[(1())((1())(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211??????????????????????????qqppqqpqqppqpqpqpqpqpqqppqpqp 即（ *）成立 . （方法二）（ i）可將（ II）中所求的 EX 改寫為 ,)(3 12121 qqqqq ???? 若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?,)(3 12121 qqqqq ???? .由此可見，當(dāng) 12 qq? 時，交換前兩人的派出順序可減小均值 . （ ii）也可將（ II）中所求的 EX 改寫為 212123 qqqq ??? ，或交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?313123 qqqq ??? .由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當(dāng) 23 qq ?時，交換后兩人的派出順序也可減小均值 . 序綜合（ i）（ ii）可知，當(dāng) ),(),( 321321 pppqqq ? 時， EX 達到最小 . 即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的 . 21.（北京理 17）以下莖葉圖記錄了甲、乙 兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。 解（ I）