【正文】 變性，我們便可引入只與偏好關系有關，而與效用函數(shù)的具體選擇無關的偏好梯度概念。然而，下述定理表明，同一點處的這無數(shù)多個效用梯度之間僅僅是長度差別，它們的方向都一樣。 (二 ) 效用梯度的方向不變性 定理 設 u 和 v 是等價的效用函數(shù)，它們都在消費集合 X 內部一階連續(xù)可微，并且在 X 內部各點處的各個一階偏導數(shù)不會同時全為零。 ?u(x) [x] x ? 效用梯度 ?u(x) 是通過點 x 的無差異曲線在點 x 處的法向量 ， 其大小與效用函數(shù) u 有關 。 ? 定理 設 u: X ? R 是效用函數(shù)， ? 是 u 誘導的偏好關系。 }:),{( yxRRyx ?? ?? ????2R類似地，可給出一系列概念： u 弱擬凹 是指 ? 弱凸； u 嚴格擬凹 是指 ? 嚴格凸； u 內部嚴格擬凹 是指 ? 內部嚴格凸； u 弱單調 是指 ? 弱單調； u 單調 是指 ? 單調； u 嚴格單調 是指 ? 嚴格單調； u 強單調 是指 ? 強單調。 ? 具有無奇點的 k 階連續(xù)可微效用函數(shù) 當且僅當 ? 是 k 階光滑偏好關系 。這就定義了一個函數(shù) u : X?R。 可以證明，這個函數(shù) u : X?R 就是偏好 ? 的連續(xù)效用函數(shù)。 w x x 1 2 r r 例 5. 嚴格單調的連續(xù)偏好的效用函數(shù)構造 設 ? 是消費集合 上嚴格單調的連續(xù)偏好關系。這些表示相同偏好的效用函數(shù)，叫做 等價效用函數(shù) ，可以等同看待。 函數(shù) u : X?R 叫做是 ? 的 效用函數(shù) ， 是指 u 滿足如下條件 ： ? 當 u 是 ? 的效用函數(shù)時 ， 也稱 u 是 ? 的 效用表示 ， 或稱 ? 是 u 的誘導偏好 (induced preference， 即 u 誘導的偏好關系 ， 記作 )。德布羅在效用函數(shù)方面的這些研究工作，為效用理論奠定了堅實的基礎，讓我們可以在偏好關系和效用函數(shù)之間自由選擇使用。 一、效用函數(shù)的存在性 效用函數(shù)的存在性是經濟學的一個重大基礎問題，它包含兩層含義：一是基數(shù)效用函數(shù)是否存在？二是序數(shù)效用函數(shù)是否存在？ 序數(shù)效用論者否定基數(shù)效用論，就等于否定了基數(shù)效用函數(shù)的存在性。 然而， 人們對基數(shù)效用論提出了諸多批評，認為作為主觀感受的效用是 序數(shù)效用， 無法計量多少，只可比較大小。 167。注意， I ?U ? ?。 y?證明中用到的有關概念與定理 ?R M (二 ) 特點之二 ： 局部無滿足 ?理性消費者 ( X, ? ) 局部無滿足 ， 從而他的任何無差異曲線都不會包含開球在其中 (即無差異曲線的內部是空的 )。 (一 ) 特點之一 ： 在非空有界閉集中有滿足 (1)集族 {Ft}t?T 具有有限交性質，是指對 T 的任意有限子集 A，都有?t?A Ft ? ? 。 ?R證明： 令 P(z) = {x?M : x ? z}，則 {P(z)}z?M是 M 的具有 有限交性質 的閉子集族。比如，假設HP就要求消費者偏好是嚴格凸的。根據(jù)以上對消費集合和偏好關系的研究，我們可以對這種 “ 良好性 ” 作出解釋。 ))())(()(( XyxyRyXx ???????? ?))())(()(( XyxyRyXx ???????? ?四、理性消費者 ? 定義 理性消費者 ( X, ? ) 是滿足如下條件的效用最大化追求者： (1) 具有非空、下有界、閉、凸的消費集合 X 。 ?如果 ，則對于連續(xù)的嚴格凸偏好來說，這四種單調性相互等價。 ? 嚴格凸偏好不但是凸的 ， 而且是弱凸的 ， 并且嚴格凸偏好下的無差異曲線不會包含直線段 ， 更不會 “ 厚 ” ， 而是既薄又彎 。嚴格凸偏好具有如下兩個特點： 我們將會看到，要使消費者需求能夠唯一確定，離不開偏好的嚴格凸性 (至少要求內部嚴格凸， 即在消費集合內部的嚴格凸的 )。另外，也確實存在著連續(xù)的弱凸但非凸的偏好關系。這就是下述定理所表述的事實。 2, ??? RXyx2, ??Ryx例 4. 對 ，當 x1+x2 ?1時， u(x)=1； 當 x1+x2 1時，u(x)= x1+x2。從這個意義上講，偏好的凸性強于弱凸性。 : 0 ? t ? 1}， z = (, )。這個偏好 既凸又弱凸 。 ? 1. 弱凸偏好 ? 定理 設消費集合 X 是凸集， ? 是 X 上的偏好關系。記w = t x+(1 t ) y，欲證 w ? y。根據(jù)偏好的完全性， x ? y 或 y ? x。 ? 定義 設消費集合 X 是凸集， X 上的偏好關系 ? 叫做是： (1) 弱凸的：是指 (?x, y?X )(?t?(0,1))(( x ? y )?(x+(1? t)y ? y))； (2) 凸的，是指 (?x, y?X )(?t?(0,1))(( x ? y )?(x+(1? t)y ? y))； (3) 嚴格凸的，是指對任何 x, y?X , 只要 x ? y 且 x ? y, 那么對任何實數(shù) t?(0, 1)，都有 t x + (1? t ) y ? y ； (4) 內部嚴格凸的，是指 ? 是凸的，且 對任何 x, y?X ?，只要 x ? y 且 x ? y，那么對任何實數(shù) t?(0, 1)，都有 t x + (1? t ) y ? y。則 A 不是 X 的 相對開 集， B 也不是 X 的 相對閉 集。在食物、衣服和住宅的消費上，他的偏好可用 字典序 來表示。反映在偏好上，就是 偏好的連續(xù)性 ，這正是下述定理揭示的事實。 則下述命題相互等價 ： (1) ? 是連續(xù)的偏好關系 ； (2) 對任何 x?X ， { y?X : y ? x}和 { y?X : y ? x}都是 X 的相對閉子集； (3) 對任何 z, x, xn?X (n = 1, 2, ? )， x = lim n?? xn， 若 xn ? z (n = 1, 2, ? )，則 x ? z ； 若 xn ? z ( n = 1, 2, ? )， 則 x ? z 。 對任何 x?X，集合 {y?X: y ? x}和 {y?X: y ? x}都是 X 中的開集。 ? 無差異曲線很厚。 x w z y (?x, y?X )(( x ? y) ? ([x1x2]? [ y1 y2])) 其中 x = ( x1, x2), y = ( y1, y2), [r] 表示不小于實數(shù) r 的最小整數(shù)。 子集中有滿足 子集中無滿足 W W w2. 局部無滿足性 ? 局部無滿足性 ? 無滿足性 ，即局部無滿足性比無滿足性更強。 (3) 子集中無滿足 ：設 W ? X 。 ))()(( yxXyXx ?????欲 望 無 止 境 xyzX 1. 子集中有滿足與無滿足 (1) 子集中的滿足消費 ：設 W ? X 且 w ?W 。沒有理由限制人的欲望的不斷產生。 ? 嚴格凸性： 對任何 x, y?X ，只要 x ? y 且 x ? y，那么對任何實數(shù) t ?(0, 1)， 都有 t x + (1? t ) y ? y 。這些一般性質通常以下面的假設形式提出。 無差異曲線具有如下特點： X 中的每個點都要落在某條無差異曲線上。 (1) 張三提出用蘋果換梨子，并要求李四找一分錢。作為價格接受者的理性消費者，當然是處于完全競爭市場中，從而必然掌握著完全的信息，其偏好關系也就具有了完全性。因此，信息是判斷和評價的根本依據(jù)。 其實，在現(xiàn)實生活中，總存在著 “ 難以比較 ” 的情況。因此，承認 自反性公理 就暗含著 承認 時空一致性條件 。 根據(jù)商品區(qū)分的時間原則， x = y 意味著 x 和 y 存在的時間是一致的。 關系 ? 叫做 不優(yōu)于 關系， ?叫做 不次于 關系， ?叫做 次于 關系， ?叫做 優(yōu)于關系， ? 叫做 無差異 關系。 因此， 偏好關系 ? 是消費集合 X 上的預序關系，即自反、完全、傳遞的二元關系 。 對 x, y?X ，消費者若認為 x 比 y 的效用大，就記作 x ? y ，稱為 x 比 y 好；若認為 x 比 y 的效用小，就記作 x ? y ，稱為 x 比 y 差；若認為 x 與 y 的效用一樣，就記作 x ? y，稱為 x 與 y 無差異。當靜態(tài)地看待效用時，效用可以自我比較。商品之所以有效用，是因為商品具有滿足人們需要的能力。消費者對這種方案滿意而對那種不滿意，意味著消費者能夠對各種可行消費方案的好壞作出評價，這種評價反映了消費者的偏好， 即嗜好或愛好 。 x y o X co X 電視機 面粉 (四 ) 消費集合的形狀 作了以上說明，我們就可以根據(jù)消費集合的特點，劃出消費集合的形狀： 消費集合 X 是非空的下有界凸閉集 。 ? 完全市場中沒有此種情況 ： 任何兩種商品都可直接交換，從而 X = co X 。 1. 凸性及其合理性 ? 凸性 ： 任何兩點都可直線路徑連接 。 實際消費活動中，當消費者面臨兩種選擇時往往進行綜合 , 使其二者兼顧。 ?Ry?極限行為 邊 界 行 為 X ? ?X y 與 y 差不多的活動 XxxxnXx nnn??????t he nl i mamp。其實， 0 ? X ，即 “ 不消費 ” 是允許的。 經過近一個世紀的探索和研究，人們發(fā)現(xiàn)，消費集合的 極限封閉性 、 下方有界性 和 道路連通性 正反映了可行消費的普遍特點，因而可作為消費集合的基本特點。 ?R ??? Rxxxx ?? ),( 21?R? 假設 HC 消費集合 X 是商品空間 的非空下有界閉凸子集 。排除所有不允許的消費活動之后，消費者可以選擇安排的消費活動的全體便只是商品空間的一個子集，叫做消費者的 消費集合 ，用 X 表示之。 ?R167。因此，行為理性存在于消費者的偏好或效用函數(shù)之中。 經濟行為符合理性，這是所有經濟學流派存在的基礎和先驗前提。與中級微觀經濟學在描述消費者行為時的做法不同，高級微觀經濟學更注重揭示消費者行為的理性特點。滿足這一假定的消費者，叫做 理性消費者 。我們將在對消費集合分析的基礎上，來揭示這種選擇的邏輯。消費活動受到多種客觀因素的影響，比如，制度、法律、政策、生理條件等，都給消費活動帶來一定的制約，這些制約因素導致商品空間中的一部分向量代表著那些不允許的消費活動。目前，我們考慮的單個特定的消費者，因此消費 集合 X 便固定下來。這種分析問題的方式已經成為經濟學的思維定式。 一、消費集合的特點 ?RX ? ? 是說消費者 “ 有的可選 ” 。 ?Ra) 允許 “ 極限行為 ” b) 允許 “ 擦邊球 ” c) 包含邊界： X ? ?X d) 若一種消費活動 不被允許，則與 y 差不多的消費活動都是不允許的。 X)0(??xy?)1(?)10()( ??? ttz ?path ? 意義 ： 可以通過連續(xù)調整 ， 實現(xiàn)從一種消費活動向另一種的過渡 。于是，消費集合表現(xiàn)出凸性。因此，凸性假定是合適的。 20)}()()(:{co ?????????? RXxniNnxtX iniii? 凸化處理不會產生實質性的影響。 2 偏好 關系 消費者在消費集合劃定的范圍內進行選擇，也就是要挑選自己滿意的消費方案。所謂 效用 ，是指 消費者消費一定數(shù)量的若干種商品后感受到的滿足程度 。 效用還因時因地而異，真正是所謂 “ 酒逢知己千杯少 ” 、 “ 雪中送碳 ” 表達的含義。這意味著消費者能夠對各種消費方案排出個好壞次序，這正是序數(shù)效用論的觀點。這主要是因為各人的喜好以及對滿足程度的主觀評價原則都可能不同，因此效用不能在消費者之間進行比較。理性消費者的偏好關系應服從下面三條公理： 二、偏好關系 根據(jù)效用的自我比較 (?和 ?)，可以確定消費集合 X 上的一種預序關系 ?(或 ? )： 對任何 x, y?X ， ( x ? y ) ? ((x ? y)?(x ? y))。 ? 自反性公理意味著商品的 時空一致性 。因此，說 x ? x ，就意味著所考慮的時間和空進條件都是一致的。 (二 ) 完全性公理的意義 完全性公理是說任何兩種消費方案都可以比較。比如，若不了解股票信息，那么是買多好還是買少好，就很難作出判斷。 信息完全性是完全競爭市場的一個重要特征。事例：張三是窮人，李四是富翁；張三只有一個蘋果，而李四不但有一個桃子，還有一個梨子；