【正文】 x)‘也’增大”，如何用符號表示。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進行數(shù)學(xué)的思考？一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。其實，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準(zhǔn)確的計算，進行推理論證。讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．關(guān)鍵點2。第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。1時，f(x)＞（1）求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)（2）求f(x)在[2,2]、定義在R上的函數(shù)f(x)恒為正，且滿足f(x+y)=f(x)f(y)，當(dāng)x＞0時，f(x)＞1.（1）證明：f(x)（2）若函數(shù)f(x)的定義域為[1,1]時，解不等式fx1＞f(2x)()函數(shù)f(x)的定義域為R，對于任意的a、b∈R皆有f(a)+f(b)=f(a+b)+1，且x＞0時，f(x)＞1（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)2（2）若f(4)=5，解不等式f3mm2＜3()3第三篇：函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)的單調(diào)性證明一．解答題（共40小題）1．證明：函數(shù)f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增．3．證明f（x）=在定義域為[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)．第1頁（共23頁）5．證明函數(shù)f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函數(shù)．6．證明：函數(shù)f（x）=x2+3在[0，+∞）上的單調(diào)性．7．證明：函數(shù)y=在（﹣1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．8．求證：f（x）=在（﹣∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞增．9．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)．第2頁（共23頁）10．已知函數(shù)f（x）=x+．（Ⅰ）用定義證明：f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅱ）若＞0對任意x∈[4，5]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．11．證明：函數(shù)f（x）=在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減．12．求證f（x）=x+的（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞]上是增函數(shù)．13．判斷并證明f（x）=在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性．14．判斷并證明函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性．第3頁（共23頁）15．求函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間．16．求證：函數(shù)f（x）=﹣﹣1在區(qū)間（﹣∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)．17．求函數(shù)的定義域．18．求函數(shù)的定義域．19．根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x．20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．第4頁（共23頁）21．求下列函數(shù)的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函數(shù)f（x）為一次函數(shù)，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）22．已知函數(shù)y=f（x），滿足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．第5頁（共23頁）23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．24．已知函數(shù)f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函數(shù)f（x）．25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，則求f（x）的解析式．27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．28．已知函數(shù)f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．第6頁（共23頁）29．若f（x）滿足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）31．求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．32．已知二次函數(shù)滿足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．34．已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函數(shù)f（x）的解析式．第7頁（共23頁）35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．36．已知函數(shù)f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函數(shù)f（x）的解析式．37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．39．若函數(shù)f（）=+1，求函數(shù)f（x）的解析式．40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．第8頁（共23頁）第9頁（共23頁）函數(shù)的單調(diào)性證明參考答案與試題解析一．解答題（共40小題）1．證明：函數(shù)f（x）=在（﹣∞，0）上是減函數(shù)． 【解答】證明：設(shè)x1＜x2＜0，則：；∵x1＜x2＜0；∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)．2．求證：函數(shù)f（x）=4x+在（0，）上遞減，在[，+∞）上遞增． 【解答】證明：設(shè)0＜x1＜x2＜，則f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，則（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，）上遞減，設(shè)≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10頁（共23頁）），則（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，則f（x3）﹣f（x4）＜0，則函數(shù)f（x）在[，+∞）上遞增．3．證明f（x）=在定義域為[0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．【解答】證明：設(shè)x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，則：=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)．4．應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是減函數(shù)． 【解答】證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣（=；；因為0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上為減函數(shù)．5．證明函數(shù)