蘇教版高中數(shù)學(xué)（必修5）21《數(shù)列》3篇(文件)
【正文】 2 ，? ， 632 ① 正整數(shù) 1， 2， 3， 4，?的倒數(shù)排成一列數(shù)： 1， 21 ， 31 ， 41 ，?， n1 ，? ② 1的 1次冪， 2次冪， 3次冪， 4次冪，? 排成一列數(shù)： 1? ， 1， 1? ， 1，??? ③ 從 1984年到 2020年，我國體育健兒共參加了 6屆奧運會，獲得的金牌數(shù)排成的一列數(shù)： 15， 5， 16， 16， 28， 32 ④ 2．數(shù)列 按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列． 數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第 1項（或者首項），第 2 項，第 3 項，? ，第 n 項，?．數(shù)列的項通常用字母加右下角標表示，其中右下角標表示項的位置序號． 數(shù)列的一般形式可以寫成 1a ， 2a ， 3a ，?， na ，? 上面的數(shù)列可簡記為 }{na ．其中， na 表 示這個數(shù)列的第 n 項， n 表示這一項在數(shù)列中的位置序號， }{na 是數(shù)列的簡記符號． 例如，把數(shù)列 ?????? ,1,31,21, 1 n 簡記作 } 1 {n ． 分析數(shù)列①，說明在數(shù)列的項 na 與它的序號 n 之間存在著函數(shù)關(guān)系 請學(xué)生觀察上面的 4 個數(shù)列 ，能不能將每個數(shù)列的第 n 項 na 與項的序號 n 之間的函數(shù)關(guān)系用公式來表示呢？ 3．數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列 }{na 的第 n 項 na 與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式． )(nfan ? 其中，序號 n 是自變量，項 na 是函數(shù)值， na 是項的序號 n 在法則作用下而得到的，但值得注意的是定義域的問題． 我們還是來看數(shù)列①，其通項公式為 12 ?? nna ，它的定義域是什么呢？ 數(shù)列 ① 的通項公式是 )64( 2 1 ?? ? na nn ；數(shù)列 ② 的通項公式是 ?nan1；數(shù)列 ③ 的通項公式是 nna )1(?? ． 于是，數(shù)列是定義在正整數(shù)集 ?N （或它的有限子集 },3,2,1{ n??? ）的函數(shù)，其值域就是項的集合． 雖然數(shù)列④的通項公式的確存在，只是用解析式不容易表示，但我們能否用函數(shù)的其他表示方法來表示呢？ 函數(shù)還有什么表示方法呢？ 4．數(shù)列的圖象 數(shù)列既然是函數(shù)，可以用圖象直觀地的表示出來，其圖象是無限個或有 限個孤立的點． 5．數(shù)列的分類 根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可以對數(shù)列進行分類：項數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列；項數(shù)無限的數(shù)列叫無窮數(shù)列．上面的數(shù)列 ①② 是有窮數(shù)列，數(shù)列 ③④ 是無窮數(shù)列． 在寫數(shù)列時，對于有窮數(shù)列，要把末項（有窮數(shù)列的最后一項叫末項）寫出，例如數(shù)列 12,7,5,3,1 ???? n 表示 有窮數(shù)列；如 果把數(shù)列寫成 ,9,7,5,3,1 ?或,12,7,5,3,1 ???? n ?，它就表示無窮數(shù)列（無窮數(shù)列沒有末項）． 【 典型例題解析 】 例 1． 根據(jù)下面數(shù)列 }{na 的通項公式，寫出它的前 5項： ⑴1??nnan； ⑵ na nn )1(?? ． 分析：數(shù)列的通項公式給出了第 n 項 na 與它的位置序號之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的 n ，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項． 解： ⑴ 在通項公式中依次取 5,4,3,2,1?n ，得到數(shù)列 }{na 的前 5 項依次為65,54,43,32,21 ． ⑵ 在通項公式中依次取 5,4,3,2,1?n ，得到數(shù)列 }{na 的前 5項依次為 5,4,3,2,1 ??? ． 例 2． 根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式： ⑴ 3， 6， 9， 12，? ； ⑵ 1， 3， 5， 7，? ⑶ 4， 9， 16， 25，?； ⑷ ? ⑸ ,9 9 9 9 9,9 9 9 9,9 9 9,99,9 ?； ⑹ ,54 1,43 1,32 1,21 1 ?????? ?； ⑺ ? ⑻ ? 分析：寫出數(shù)列的通項公式，也就是要找出數(shù)列中的項與這一項的序號之間 的函數(shù)關(guān)系式，即 na 與 n 的關(guān)系． 解：⑴這個數(shù)列的前 4項都是序號的 3倍，所以它的一個通項公式為 nan 3? ； ⑵這個數(shù)列的前 4項都是序號的 2倍減去 1，所以它的一個通項公式為 12 ?? nan ； , 524 , 415 , 38 , 23, 54 1 , ) ( , 32 1 , 21 1 ????? , 161 4 , 813 , 41 2 , 211 ⑶這個數(shù)列的前 4項都是序號加 1之后取平方數(shù)，所以它的一個通項公式為 2)1( ?? nan ⑷這個數(shù)列的的前 4項的分母都是序號加 1，分子都是分母的平方減去 1，所以它的一個通項公式是 1 1)1(2? ??? nnan； ⑸各項分別加 1，變?yōu)????,1 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0 0,10 ，其一個通項公式可寫為 110 ?? nna ； ⑹這個數(shù)列的前 4項的絕對值都等于序號與序號加 1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是 )1( 1)1( ??? nna nn； ⑺11)1( 1 ???? ? nna nn； ⑻nn na 21??． 注意：對
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