蘇教版選修1-2高中數學221《直接證明》(文件)
【正文】 ， 所以 ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ C ＝ π ， ② 由 ①② 得 B ＝π3， ③ 由 a ， b ， c 成等比數列，有 b2＝ ac ④ 由余弦定理及 ③ ， 可得 b2＝ a2＋ c2－ 2 ac c os B ＝ a2＋ c2－ ac . 再由 ④ ，得 a2＋ c2－ ac ＝ ac . 即 ( a － c )2＝ 0 ， 因此 a ＝ c . 從而有 ∠ A ＝ ∠ C . ⑤ 由 ②③⑤ 得 ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝π3. 所以 △ ABC 為等邊三角形． 規(guī)律方法 用綜合法證明問題 ，應從題設入手得出各量之間的關系，找出已知與要求證問題的聯系． 【訓練 1 】 已知 a ， b 0 ，且 a ＋ b ＝ 1 ，求證：1a＋1b≥ 4. 證明 法一 ∵ a ， b 0 ，且 a ＋ b ＝ 1. ∴ a ＋ b ≥ 2 ab ， ∴ ab ≤12， ∴1a＋1b＝a ＋ bab＝1ab≥ 4. 當且僅當 a ＝ b 時，取 “ ＝ ” 號． 法二 ∵ a ， b 是正數， ∴ a ＋ b ≥ 2 ab 0 ，1a＋1b≥ 2 1ab0 ， ∴ ( a ＋ b )??????1a＋1b≥ 4. 又 a ＋ b ＝ 1 ， ∴1a＋1b≥ 4. 當且僅當 a ＝ b 時，取 “ ＝ ” 號． 法三 1a＋1b＝a ＋ ba＋a ＋ bb ＝ 1 ＋ba＋ab＋ 1 ≥ 2 ＋ 2 ba x － 2 ， 即 ? x － 1 ?? x － 4 ? ? x － 3 ?? x － 2 ? ， 只需證 [ ? x － 1 ?? x － 4 ? ]2 [ ? x － 3 ?? x － 2 ? ]2， 即證 x2－ 5 x ＋ 4 x2－ 5 x ＋ 6 即 4 6 這顯然成立． 故 x － 1 － x － 2 x － 3 － x － 4 ( x ≥ 4) 成立． 規(guī)律方法 對于已知條件簡單而要證明的結構較復雜，從正面很難入手時，可以運用分析法來化簡結構，尋求思路，在證明過程中 “ 要證 ”“ 只需證 ”“ 即證 ” 等詞語必不可少，否則會出現錯誤． 【訓練 2 】 已知 a 0 ，求證 a2＋1a
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