【正文】 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 群的階、元素的冪 由于群里結(jié)合律是滿足的，所以元素連乘 a1a2… an有意義，它也是 G中的一個元．我們把 a的 n次連乘記為 an， 稱為 a的 n次冪（或稱乘方），即 ． 我們還將 a的逆元 a?1的 n次冪記為 a?n，即 群的逆元（ a?1） ? 1=a 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 群的階、元素的冪 若 ab=ba，則（ ab） n = anbn 另外： a?nan = e， aman = am+n， (an)m = anm 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 群的等價性質(zhì) 定理 一個群的乘法滿足 消去律 ： 如果 ax = ax ’，則 x = x ’；（左消去） 如果 ya = y ’ a，則 y = y ’． （右消去） 證明 假定 ax = ax ’，那么 a?1(ax) = a?1 (ax ’ )， ( a?1a)x = ( a?1a)x ’， ex = ex ’， x = x ’． 同理可證由 ya = y ’ a，得 y = y ’． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 群的等價性質(zhì) 定理 如果 G是一個群， ? a， b?G，方程 ax = b， ya = b有解； 反之，如果上述方程在非空集合 G中有解，而且其中的運算封閉且滿足結(jié)合律（即半群），則 G是一個群． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 群的等價性質(zhì) 證明 先證方程有解 如果 G是一個群，對于任一元素 a有逆元 a1，由 ax = b可得 a?1(ax)＝ a?1b， x = a?1b∈ G 于是 x = a?1b是方程 ax = b的解． 同理 y = ba?1是方程 ya = b的解． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 群的等價性質(zhì) 證明（續(xù)）： 對于方程有解時，半群（ G， 再證任 a ∈ G有左逆元：因為方程 ya=e有解，其解就是 a的左逆元。）和（ B， ⊙ ）是兩個群，若存在映射 f： A→B 滿足：任意 a， b∈ A，均有 f（ a 22:12:5522:12:5522:123/7/2023 10:12:55 PM ? 1以我獨沈久，愧君相見頻。 2023年 3月 7日星期二 下午 10時 12分 55秒 22:12: ? 1比不了得就不比，得不到的就不要。 下午 10時 12分 55秒 下午 10時 12分 22:12: ? 沒有失敗，只有暫時停止成功！。 22:12:5522:12:5522:12Tuesday, March 7, 2023 ? 1不知香積寺，數(shù)里入云峰。 2023年 3月 下午 10時 12分 :12March 7, 2023 ? 1少年十五二十時，步行奪得胡馬騎。 22:12:5522:12:5522:123/7/2023 10:12:55 PM ? 1越是沒有本領(lǐng)的就越加自命不凡。 :12:5522:12:55March 7, 2023 ? 1意志堅強(qiáng)的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 下午 10時 12分 55秒 下午 10時 12分 22:12: MOMODA POWERPOINT Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Fusce id urna blandit, eleifend nulla ac, fringilla purus. Nulla iaculis tempor felis ut cursus. 感 謝 您 的 下 載 觀 看 專家告訴 。 2023年 3月 下午 10時 12分 :12March 7, 2023 ? 1業(yè)余生活要有意義，不要越軌。 22:12:5522:12:5522:12Tuesday, March 7, 2023 ? 1知人者智，自知者明。 下午 10時 12分 55秒 下午 10時 12分 22:12: ? 楊柳散和風(fēng)，青山澹吾慮。 2023年 3月 7日星期二 下午 10時 12分 55秒 22:12: ? 1楚塞三湘接，荊門九派通。 22:12:5522:12:5522:123/7/2023 10:12:55 PM ? 1成功就是日復(fù)一日那一點點小小努力的積累。 2023年 3月 下午 10時 12分 :12March 7, 2023 ? 1行動出成果，工作出財富。 22:12:5522:12:5522:12Tuesday, March 7, 2023 ? 1乍見翻疑夢，相悲各問年。 同態(tài)映射也簡稱為同態(tài)．如果 f是單射，則稱 f是單同態(tài) ，如果 f是滿射，則稱 f是 滿同態(tài) ，如果 f是一一映射，則稱 f是同構(gòu)映射． 如果 G= G’ ，同態(tài) f稱為 自同態(tài) ，同構(gòu)映射 f稱為自同構(gòu)映射 ． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 例 假設(shè)整數(shù)集合 Z里的運算是加法， Z通過映射 f： a?ea 產(chǎn)生一個實數(shù)集合（這里的 e是自然常數(shù)）： ｛ ea｜ a?Z｝， 我們定義這個實數(shù)集合里的運算是乘法，于是有 f(a＋ b) = f(a)f(b)， 顯然 Z中的運算在｛ ea｜ a?Z｝中得到了保持， f就是一個同態(tài)映射 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 如果同態(tài)映射還是一一映射，則稱為 同構(gòu)映射 ． 例 f： a?ea就是一個一一映射，所以 f為同構(gòu)映射 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 定理 假設(shè) G和 G’是兩個群，在 G 到 G’的一個同態(tài)（映射） f之下，