第2章一階邏輯(文件)
【正文】 “對(duì)于一些”，“某個(gè)”等 2. ?xP(x), 3. ?x?yQ(x,y) 4. ?！ xP(x),存在唯一 一個(gè) x， x具有性質(zhì) P 18 所有的人都是要死的 蘇格拉底是人 所以蘇格拉底是要死的。 21 例題 例：每個(gè)自然數(shù)都是實(shí)數(shù) 引入特性謂詞 N(x)： x是自然數(shù) R(x)： x是實(shí)數(shù) ?x(N(x) → R(x)) 例：有的有理數(shù)是整數(shù) 引入特性謂詞 R(x)： x是有理數(shù) G(x)： x是整數(shù) ?x(R(x) ∧ G(x)) 22 使用量詞注意事項(xiàng) (6 5） 4. 個(gè)體域和謂詞的含義確定后 ,n元謂詞要轉(zhuǎn)化為命題至少需要 n 個(gè)量詞 . 5. 當(dāng)個(gè)體域?yàn)橛邢藜瘯r(shí)，如 D={a1, a2, …,an}，由量詞的意義可以看出，對(duì)于任意的謂詞 A(x)，都有 ?xA(x) ? A(a1) ∧ A(a2) ∧ …∧ A(an) ?xA(x) ? A(a1) ∨ A(a2) ∨ …∨ A(an) 23 使用量詞注意事項(xiàng) (66） 6. 多個(gè)量詞同時(shí)出現(xiàn)時(shí) ,不能隨意顛倒 它們的順序，顛倒后會(huì)改變?cè)}的含義 . 例：對(duì)任意的 x， 存在著 y,使得 x+y=5,個(gè)體域?yàn)閷?shí)數(shù)集，其中 H(x,y)： x+y=5， ?x?yH(x,y) 真命題 顛倒量詞的順序， ?y?xH(x,y) 假命題 意為“存在著 y，對(duì)任意的 x，都有x+y=5”，意義不符、假命題。 7. 技術(shù)符號(hào) :），（ 33 字母表涉及的函數(shù)是廣義的函數(shù)，它是一個(gè)從個(gè)體到個(gè)體的映射。 v1+v2 +1是項(xiàng)。 4. 只有有限次地應(yīng)用 14構(gòu)成的符號(hào)串才是合式公式（謂詞公式） 38 實(shí)例 1. ?x (x +1=0) 2. ?y (x+ y +10) 3. ?x (x+1=0 → ?y (x+ y +10) ) 都是公式 39 轄域、約束變?cè)妥杂勺冊(cè)? ?xA， ?xA中的 x稱為 指導(dǎo)變項(xiàng) ，A為相應(yīng)量詞的 轄域 ，在轄域中， x的所有出現(xiàn)稱為 約束出現(xiàn) ， x稱為 約束變?cè)?， A中不是約束出現(xiàn)的其他變項(xiàng)的出現(xiàn)稱為 自由出現(xiàn) ，這些變項(xiàng)稱為 自由變?cè)?。?v1的轄域是全公式， v1是約束變?cè)诙€(gè) v2是約束變?cè)?，第一個(gè) v2是自由變?cè)?. 41 閉式 公式常記作 φ(x1, x2, …, xn), φ中自由變?cè)荚?x1, x2, …, xn中。 1） ?y(P(y) → Q (y,y)) ∧ R (x,y) 2） ?z(P(z) → Q (x,y)) ∧ R (x,y) 3） ?z(P(z) → Q (z,y)) ∧ R (x,y) 3）正確 46 解釋 一個(gè)解釋 I由下面 4部分組成 D； 2. D中一部分特定元素； 3. D上一些特定的函數(shù)； 4. D上一些特定的謂詞。 L(x,y)為 L(2,2)= L(3,3)=1。 2. 命題公式中的重言式的代換實(shí)例在謂詞公式中可仍稱為重言式，這樣的重言式都是邏輯有效式。 53 一階邏輯等值式 1. 等值式 2. 定理 量詞否定等值式 量詞轄域收縮與擴(kuò)張等值式 量詞分配等值式 兩個(gè)成立的等值式 3. 謂詞公式的規(guī)范形式 —— 前束范式 54 等值式 1. 設(shè) A， B是一階邏輯中任意的兩公式，若 A? B為邏輯有效式 ，則稱 A與 B是等值的 ，記作 A?B,稱 A?B為等值式。其中每個(gè) Qi (1≤i≤k)為 ?或 ?,B為 不含量詞 的謂詞公式。,5,6。 68 一階邏輯推理理論 1. 關(guān)于量詞分配的推理定律 2. 全稱量詞消去規(guī)則 3. 全稱量詞引入規(guī)則 4. 存在量詞引入規(guī)則 5. 存在量詞消去規(guī)則 。,2。 60 定 理 定理 任何一個(gè)一階公式都等價(jià)于一個(gè)前束標(biāo)準(zhǔn)型公式。命題邏輯的等價(jià)形式也是一階邏輯的等價(jià)形式 ?x P(x) ??x P(x) ∧ ?x P(x) 55 定理 — 量詞否定等值式 ? ~?x P(x)??x~ P(x) ? ~?x P(x)??x~ P(x) 公式的驗(yàn)證 ： D={a1, a2, …,an} ? ~?x P(x) ? ~(P(a1)∧ P(a2)∧ … ∧ P(an)) ? ~P(a1) ∨ ~P(a2) ∨ … ∨ ~P(an)) ??x~ P(x) 56 量詞轄域收縮與擴(kuò)張等值式 A(x)是含 x自由出現(xiàn)的任意公式 ,而 B中不含 x的出現(xiàn) ? ?x (A(x)∨ B)??x A(x)∨ B ? ?x
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