矩陣的轉(zhuǎn)置、乘法（初等變換）、逆(文件)
【正文】 ????????????????.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????????? 按照矩陣的乘法，線性方程組 可表示為矩陣的乘積 Ax = b 的形式，其中 ?????????????????????????????????????????????mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA?????????2121212222111211,如果 m=n, 可考慮 x=b/A ,111 ?? ?? aaaa一、概念的引入 在數(shù)的運(yùn)算中， 當(dāng)數(shù) 時， 0?a 有 aa11 ?? a其中 為 的倒數(shù)， a （或稱 的逆）； 在矩陣的運(yùn)算中， E單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中 的 1。 1?A例 設(shè) ,0112 ????????A .的逆陣求 A解 設(shè) 是 的逆矩陣 , ??????? dcbaBA則 ?????????????? dcbaAB0112 ???????001??????????????????100122badbca 利用待定系數(shù)法 ????????????????,1,0,02,12badbca?????????????.2,1,1,0dcba又因?yàn)? ??????? 0112 ?????? ?2110 ??????? 0112? ???????2110,10 01 ???????所以 .21 101 ?????? ???AAB AB矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法 11 21 n 112 22 n 21 n 2 n nn.ij ijA A AA A AAA A AA A a??????????????為 行 列 式 中 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式A矩 陣 的 伴 隨 矩 陣1 1 2 1 3 11 2 2 2 3 21 3 2 3 3 3A A AA A AA A A??????????????????????????a,1 1a,1 2a,1 3a,2 1a,2 2a,2 3a,3 1a,3 2a,3 3的 伴 隨 矩 陣EAAA ??.EAAA ?? 先就 3 階矩陣給出證明 . 證 設(shè) ?????????????????????????????????333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA于是有 13131212111111 AaAaAab ???23132212211112 AaAaAab ???33133212311113 AaAaAab ???13231222112121 AaAaAab ???23232222212122 AaAaAab ???0AaAaAab 33233222312123 ????., Ab0b0b 333231 ???因此 ????????????A000A000AAA 同理可證， .EAAA ??A?= 0 = 0 = 0 A?.EA?EAAA ?? .EAAA ?? 證 設(shè) A = ( a i j )n n , ),(ijbAA ??記???????????????????????????????????????????nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa?????????????????????也就是 于是有 ???? jnin2j2i1j1iij AaAaAab ??因此 EAAA ??同理可證 ， .EAAA ???????..時當(dāng)時當(dāng)ji0jiA 定理 1 矩陣 可逆的充要條件是 ，且 ,11 ?? ? AAAA 0?A證明 若 可逆， A .EAAA ??? 11 使即有,11 ??? ? EAA故 .0?A所以.的伴隨矩陣為矩陣其中 AA ?,0時當(dāng) ?A,0時當(dāng) ?A??????????????????????????????nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA??????????????212221212111212222111211AAaAaAa nn ???? 1112121111 ?AAaAaAa nnnnnnnn ???? ?2211,???????????????AAAAOO?EAAAAA ?? ?? ,EAAAAAA ??? ??.1 AAA?? ?按逆矩陣的定義得 證畢 .,0,0非奇異矩陣稱為時當(dāng)稱為奇異矩陣時當(dāng) AAAA ??奇異矩陣與非奇異矩陣的定義 .為非奇異矩陣是可逆陣的充要條件是由此可得 AA,1??? EBA ,0?A故,1 存在因而 ?A 于是EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??EA 1?? .1?? A 證畢? ? ., 1???? ABEBAEAB 則或若推論 證明 ? ? ? ? .,1 111 AAAA ???? 且亦可逆則可逆若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ? ? 且可逆則數(shù)可逆若 ,0,2 AA ?? ?? ? 且亦可逆則為同階方陣且均可逆若 ,3 ABBA? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB1?? AEA ,1 EAA ?? ?? ? .111 ??? ?? ABAB證明 ? ? ??1AB B 1? 1?A? ? .1 11 ?? ? AA ??? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE? ,E?? ? ? ? .11 TT AA ?? ??? ? .,0,
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