網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無源性及耗散性(文件)
【正文】 存在某一函數(shù)，滿足，則系統(tǒng)是輸出反饋無源的；（6）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無源的。則稱為能量存儲函數(shù)，簡稱存儲函數(shù)，式稱為耗散不等式。如果視為系統(tǒng)在時(shí)刻所具有的能量總和，那么耗散不等式的左端就代表系統(tǒng)從初始時(shí)刻到時(shí)刻的能量的總增量。下面給出針對系統(tǒng)給出一些無源性相關(guān)定義。和分別為維和維的函數(shù)向量；為維的函數(shù)矩陣；為維的函數(shù)矩陣。 線性時(shí)不變最小實(shí)現(xiàn)為式系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為（1）如果是正實(shí)的，則系統(tǒng)是無源的；（2）如果是嚴(yán)格正實(shí)的，則系統(tǒng)是嚴(yán)格無源的。如果考慮更一般的供給率，即單位時(shí)間內(nèi)由外部注入的能量為輸入輸出信號的更一般的函數(shù)，那么耗散不等式為 同樣反映了所對應(yīng)的能量耗損特性。關(guān)于線性系統(tǒng)的耗散性研究，線性定常系統(tǒng)的無源性或傳遞函數(shù)的正實(shí)性首先是人們關(guān)注的焦點(diǎn)。Molan將KYP引理推廣到了仿射非線性系統(tǒng)的情形，并證明了對仿射非線性系統(tǒng)，在局部能控的假設(shè)下，輸入輸出無源性和基于狀態(tài)空間的無源性定義是等價(jià)的。這些研究成果為控制系統(tǒng)的無源性設(shè)計(jì)方法奠定了理論基礎(chǔ)。若存在半正定的存儲函數(shù)使得耗散不等式對于任意輸入成立，則稱該系統(tǒng)對能量供給率是耗散的。如果式系統(tǒng)對于式供給率是耗散的，則稱該系統(tǒng)是耗散的。若式或式成立，則稱式系統(tǒng)具有小于或等于的增益。 對于給定的正數(shù)，若式系統(tǒng)是耗散的，則該系統(tǒng)具有小于或等于的增益。 耗散性意義：耗散理論從一類耗能網(wǎng)絡(luò)中抽象出來具有廣泛的工程背景，已經(jīng)成為自適應(yīng)系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要工具。研究耗散性和無源性理論的主要出發(fā)點(diǎn)在于他們運(yùn)用基于能量的輸入輸出描述給出了控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的新框架，對系統(tǒng)控制的諸多方面都起到很大的推動(dòng)作用。不僅在控制理論方面有著重要的作用，耗散性和無源性理論在許多實(shí)際系統(tǒng)，如機(jī)器人系統(tǒng)，電機(jī)系統(tǒng)，內(nèi)燃機(jī)工程，化工過程等的研究中扮演著很重要的角色，有時(shí)甚至不可或缺。主要討論系統(tǒng)無源性與系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和系統(tǒng)輸入—輸出穩(wěn)定性之間的關(guān)系。無源性與穩(wěn)定性的關(guān)系： 考慮式系統(tǒng)，（1）如果系統(tǒng)是關(guān)于正定存儲函數(shù)無源的，那么的原點(diǎn)是穩(wěn)定的；（2）如果系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無源的，那么它是有限增益穩(wěn)定的；（3）如果系統(tǒng)是關(guān)于正定存儲函數(shù)輸出嚴(yán)格無源的，且是零狀態(tài)可觀的，那么的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；（4）如果系統(tǒng)是關(guān)于正定存儲函數(shù)輸出嚴(yán)格無源的，且是零狀態(tài)可檢測的，那么的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；（5）如果系統(tǒng)是關(guān)于正定存儲函數(shù)狀態(tài)嚴(yán)格無源的，那么的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。這表明系統(tǒng)是無源的。另外，如果系統(tǒng)是零狀態(tài)可觀測或零狀態(tài)可檢測的，則的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。顯然，無源性是耗散性的一種特例，即如果系統(tǒng)對于供給率是耗散的，那么就稱該系統(tǒng)是無源的。 無源性與耗散性的關(guān)系 考慮式系統(tǒng)及能量供給率。如果有更嚴(yán)格的條件 ，則系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無源的。例 考慮輸入輸出系統(tǒng)，其中，是局部Lipschitz的，和是連續(xù)的，且。 對于式系統(tǒng)，如果方程除了零解外，沒有其他的解恒保持在內(nèi)，則該系統(tǒng)被稱為是零狀態(tài)可觀測的。第5章 三者之間的關(guān)系 無源性與穩(wěn)定性關(guān)系無源性與穩(wěn)定性間的緊密聯(lián)系可以從兩方面得到體現(xiàn)：l、無源系統(tǒng)的KYP引理；無源系統(tǒng)的正定存儲函數(shù)可以作為李雅普諾夫函數(shù)。在現(xiàn)代理論中，經(jīng)常要用到李雅普諾夫函數(shù)，但其實(shí)際可行的構(gòu)造方法并不多，而無源系統(tǒng)的存儲函數(shù)在一定條件下便可以作為李雅普諾夫函數(shù)。不僅如此，耗散控制也是魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要方法。對于給定的正數(shù)，存在光滑可微的存儲函數(shù)使得系統(tǒng)是耗散的充分必要條件是 成立，且存在適合的函數(shù)向量和滿足 對于給定的，式系統(tǒng)對于二次型正定存儲函數(shù)是耗散的充分必要條件是存在適當(dāng)?shù)木仃囀沟? 成立。綜合上述討論。如果進(jìn)一步假設(shè)系統(tǒng)對于任意，有，那么，該系統(tǒng)作為輸入信號空間到輸出信號空間的算子，其誘導(dǎo)范數(shù)滿足 式中，為范數(shù)，或者 對于任意給定的成立。在非線性控制理論中，還有一種重要的供給率就是所謂的供給率 其中，為給定正數(shù)。本文從非線性系統(tǒng)出發(fā)，給出耗散性的定義和相關(guān)性質(zhì)。這就是說，對無源系統(tǒng)，只要零狀態(tài)可觀測。近年來，受魯棒穩(wěn)定性分析中參數(shù)化方法的刺激，正實(shí)性綜合受到了廣泛的關(guān)注。它們在控制領(lǐng)域里的應(yīng)用起源于Kalman、popov、Yakubocich和Willems等在超穩(wěn)定性，正實(shí)性等方面開創(chuàng)性的工作，后經(jīng)眾多控制工作者的共同努力形成了系統(tǒng)的耗散性和無源性理論。對系統(tǒng)耗散不等式的這種物理解釋實(shí)際上基于一種前提，即存儲函數(shù)表示系統(tǒng)在狀態(tài)所具有的能量綜合。 式系統(tǒng)是無源的充分必要條件是存在光滑可微的半正定存儲函數(shù)，使得該系統(tǒng)具有KYP特性。更進(jìn)一步，有（1）如果，且有，系統(tǒng)是無損的；（2）如果，即，系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無源的；（3）如果，即，系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無源的；（4）如果，即，系統(tǒng)是狀態(tài)嚴(yán)格無源的；（5）如果中多于一個(gè)為正，則可以合并命名，例如，則系統(tǒng)是輸入輸出嚴(yán)格無源的。因此，耗散不等式的物理意義就在于，它表明系統(tǒng)的能量由初
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